空间位置关系、空间角与距离突破练- 新高考数学二轮专题复习.docx

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1、专题突破练15空间位置关系、空间角与距离1.(2021黑龙江大庆一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD平面ABCD,M,N分别为PC,CD的中点,PD=AD=2,AB=4.(1)求证:BNAM;(2)求点P到平面AMD的距离.2.(2021广东韶关一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA平面CDP,已知PA=3,PD=4.(1)若E为PD中点,求证:PB平面ACE;(2)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.3.(2019全国,理17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面E

2、B1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.4.(2021浙江温州二模)如图,在三棱锥A-BCD中,BCD=90°,BC=CD=1,ACB=ACD=.(1)证明:ACBD;(2)有三个条件:=60°直线AC与平面BCD所成的角为45°二面角A-CD-B的余弦值为33.请你从中选择一个作为条件,求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.5.(2021山西临汾一模)如上图,在多面体BCE-ADF中,四边形ABCD与ABEF都是直角梯形,且BAD=BAF=90°,BC􀱀12AD,BE􀱀12AF.(1)证明:C

3、E平面ADF;(2)若平面ABEF平面ABCD,且AB=BC=BE,求二面角A-CD-E的余弦值.6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAD为正三角形,AD=2,AB=3,平面PAD平面ABCD,E为棱PB上一点(不与P,B重合),平面ADE交棱PC于点F.(1)求证:ADEF;(2)若二面角B-AC-E的余弦值为33020,求点B到平面AEC的距离.7.(2021天津一模)如上图,在多面体ABCDEF中,AE平面ABCD,AEFC是平行四边形,且ADBC,ABAD,AD=AE=2,AB=BC=1.(1)求证:CDEF;(2)求二面角A-DE-B的余弦值;(3)若点P在棱

4、CF上,直线PB与平面BDE所成角的正弦值为33,求线段CP的长.8.(2020山东,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.参考答案1.(1)证明 连接MN,AN,M,N分别为PC,CD的中点,MNPD.又PD平面ABCD,MN平面ABCD.又BN平面ABCD,MNBN.而四边形ABCD为矩形且AD=2,DN=CN=2,故AN=BN=22,在ABN中,AN2+BN2=AB2,即ANBN.又MNAN=N,则BN平面AMN,又AM

5、平面AMN,BNAM.(2)解 (解法1)过P作PEDM,垂足为E.PD平面ABCD,PDAD.又ADCD,PDCD=D,AD平面PCD.又PE平面PCD,ADPE.又ADDM=D,PE平面AMD,PE为点P到平面AMD的距离.M为PC中点,SPDM=12SPDC=2,DM=12PC=5,又SPDM=12PE·DM,解得PE=455,点P到平面AMD的距离为455.(解法2)PD平面ABCD,PDAD.又ADCD,PDCD=D,AD平面PCD.又DM平面PCD,ADDM.M为PC中点,SPDM=12SPDC=2,DM=12PC=5,VA-PDM=13SPDM·AD=43,S

6、ADM=12AD·DM=5.设点P到平面AMD的距离为h,由VA-PDM=13SADM·h=43,得h=455,点P到平面AMD的距离为455.2.(1)证明 如图,连接BD交AC于点M,连接ME.因为四边形ABCD为正方形,所以M为BD中点,又E为DP中点,所以MEPB.因为 ME平面ACE,PB平面ACE,所以PB平面ACE.(2)解 如图,过P作PHAD,垂足为H,连接BH.因为四边形ABCD为正方形,所以CDAD.因为PA平面CDP,CD平面CDP,所以CDAP.因为ADAP=A,所以CD平面ADP.因为PH平面ADP,所以CDPH.又PHAD,ADCD=D,所以P

7、H平面ABCD,则BH为斜线PH在平面ABCD内的射影,所以PBH为直线PB与平面ABCD所成的角.在RtPAD中,AD=PA2+PD2=5,由AD·PH=AP·PD,得PH=AP·PDAD=125.在RtPAB中,PB=PA2+AB2=34.所以sinPBH=PHPB=63485.所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为63485.3.(1)证明 由已知得,B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)解 由(1)知BEB1=90°.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=45

8、76;,故AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,|DA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),CB=(1,0,0),CE=(1,-1,1),CC1=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则CB·n=0,CE·n=0,即x=0,x-y+z=0,所以可取n=(0,-1,-1).设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),则CC1·m=0,CE·m=0,即2z=0,x-y+z=0,所以可取m=(1,1,0).于是cos<

9、;n,m>=n·m|n|m|=-12.所以,二面角B-EC-C1的正弦值为32.4.(1)证明 取BD中点O,连接OA,OC,因为BC=CD,所以OCBD.由BC=DC,ACB=ACD=,AC=AC,得ABCADC,所以AB=AD,所以OABD.又OAOC=O,所以BD平面AOC.又AC平面AOC,所以ACBD.(2)解 在直线CA上取点P,使得POC=90°,连接PB,PD,由(1)知BD平面AOC,所以BDPO,又OCBD=O,所以PO平面BCD,以O为坐标原点建立空间直角坐标系,如图,BD=2,OC=22=OB,因此PB=PC,同理PD=PC.选,=60

10、6;,则PCD是等边三角形,PD=CD=PC=1,OP=22,则P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0,B0,-22,0,BC=22,22,0,DC=22,-22,0,DP=0,-22,22,设平面PCD的一个法向量是n=(x,y,z),则n·DC=22x-22y=0,n·DP=-22y+22z=0,取x=1,则y=z=1,即n=(1,1,1),记直线BC与平面PCD(即平面ACD)所成的角为,则sin =|cos<BC,n>|=|BC·n|BC|n|=22+22+01×3=63.选,由PO平面BCD,得PCO是PC(即AC)与平面B

11、CD所成的角,所以PCO=45°,OP=OC,以下同选.选,作PMCD,垂足为M,连接OM,由PO平面BCD,CD平面BCD,得POCD,又POPM=P,所以CD平面POM,而OM平面POM,所以CDOM,所以PMO是二面角P-CD-B即二面角A-CD-B的平面角,所以cosPMO=33,则tanPMO=2,又OM=CD2=12,所以OP=OMtanPMO=22=OC,以下同选.5.(1)证明 因为BCAD,BEAF,BCBE=B,ADAF=A,所以平面BCE平面ADF.又因为CE平面BCE,所以CE平面ADF.(2)解 (解法1)取AD中点M,连接AC,CF,CM,设AB=a,则B

12、C=BE=a,又因为BC􀱀12AD,BE􀱀12AF,所以AD=AF=2a,BAD=90°,所以AC=2a.又因为BC􀱀AM,所以四边形ABCM是正方形,CMD为等腰直角三角形,于是ACCD,因为平面ABEF平面ABCD,平面ABEF平面ABCD=AB,AFAB,AF平面ABEF,所以AF平面ABCD,所以AC是FC在平面ABCD内的射影,因为CD平面ABCD,所以AFCD,又AFAC=A,所以CD平面ACF,因为CF平面ACF,所以CDCF,所以ACF为二面角A-CD-E的平面角,因为tanACF=AFAC=2a2a=2,所以co

13、sACF=11+tan2=13=33,故二面角A-CD-E的余弦值为33.(解法2)因为平面ABEF平面ABCD,平面ABEF平面ABCD=AB,AFAB,AF平面ABEF,所以AF平面ABCD.以A为原点,AB,AD,AF所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,设AB=1,则AD=AF=2,则A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(1,0,1),CD=(-1,1,0),CE=(0,-1,1).设平面CDFE的法向量为m=(x,y,z),则m·CD=-x+y=0,m·CE=-y+z=0,取y=1,则x=z=1,即m=(1,1,1),因为AF

14、平面ACD,所以取n=(0,0,1)为平面ABCD的法向量,所以|cos<m,n>|=|m·n|m|n|=13=33.由图知二面角A-CD-E为锐角,所以二面角A-CD-E的余弦值为33.6.(1)证明 底面ABCD为矩形,ADBC.又AD平面PBC,BC平面PBC,AD平面PBC.又AD平面ADE,平面ADE平面PBC=EF,ADEF.(2)解 如图,取AD的中点O,连接PO,过点O作OHAB交BC于点H,侧面PAD为正三角形,POAD.平面PAD平面ABCD,且交线为AD,PO平面ABCD,底面ABCD为矩形,ABAD,OHAD.以O为原点,OA,OH,OP所在直线分

15、别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,则O(0,0,0),P(0,0,3),A(1,0,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),PB=(1,3,-3),AC=(-2,3,0).设PE=PB(0<<1),则E(,3,33),AE=(-1,3,33),设平面AEC的法向量为n=(x1,y1,z1),则n·AC=0,n·AE=0,即-2x1+3y1=0,(-1)x1+3y1+(3-3)z1=0,令x1=3,则y1=2,z1=3(3-1)-1.平面AEC的一个法向量为n=3,2,3(3-1)-1.易知OP=(0,0,3)是平面ABC的一个法向量.|cos

16、<OP,n>|=|OP·n|OP|n|=9+3-13×13+3(3-1)2(-1)2=33020,解得=23.BE=-13,-1,33,n=(3,2,-33),点B到平面AEC的距离为|BE·n|n|=6210=31010.7.解 因为AE平面ABCD,AD平面ABCD,故AEAD,同理AEAB,而ABAD,故可建立如图所示的空间直角坐标系,其中A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(2,0,0),E(0,0,2),F(1,1,2),(1)CD=(1,-1,0),EF=(1,1,0),故CD·EF=0,故CDEF.(2)DE

17、=(-2,0,2),DB=(-2,1,0).平面ADE的法向量为AB,而AB=(0,1,0),设平面DBE的法向量为n=(x,y,z),由n·DE=0,n·DB=0,可得-2x+2z=0,-2x+y=0,取x=1,则y=2,z=1,故n=(1,2,1),故|cos<AB,n>|=|AB·n|AB|n|=26=63.由图可知二面角A-DE-B的平面角为锐角,故其余弦值为63.(3)设P(1,1,t)(0t2),故PB=(-1,0,-t),设PB与平面BDE所成角为,则sin =|cos<PB,n>|=|PB·n|PB|n|=t+16

18、·t2+1=33,解得t=1.故CP=t=1.8.解 (1)因为PD底面ABCD,所以PDAD.又底面ABCD为正方形,所以ADDC.所以AD平面PDC.因为ADBC,AD不在平面PBC中,所以AD平面PBC,又因为AD平面PAD,平面PAD平面PBC=l,所以lAD.所以l平面PDC.(2)以D为坐标原点,分别以DA,DC,DP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.由PD=AD=1,得D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),则DC=(0,1,0),PB=(1,1,-1).由(1)可设Q(a,0,1),则DQ=(a,0,1).设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量,则n·DQ=0,n·DC=0,即ax+z=0,y=0.可取n=(-1,0,a).所以cos<n,PB>=n·PB|n|PB|=-1-a31+a2.设PB与平面QCD所成角为,则sin =33×|a+1|1+a2=331+2aa2+1.因为331+2aa2+163,当且仅当a=1时,等号成立,所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为63.11