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1、第二章方程求根本讲稿第一页，共七十五页2.1 引言引言解代数方程是工程计算中经常遇到的数学问题。解代数方程是工程计算中经常遇到的数学问题。代数方程可以分类如下：代数方程可以分类如下：本章只讨论单个非线性方程本章只讨论单个非线性方程f(x)=0的求根问题。的求根问题。本讲稿第二页，共七十五页方方程程的的根根可可能能是是实实(数数)根根也也可可能能是是复复(数数)根根，可可能能是是单单根根也也可可能能是是多多重重根根。关关于于单单根和重根，有如下定义：根和重根，有如下定义：本讲稿第三页，共七十五页 方方方方程程程程的的的的根根根根可可可可能能能能只只只只有有有有一一一一个个个个，也也也也可可可可能

2、能能能有有有有几几几几个个个个或或或或无无无无穷穷穷穷多多多多个个个个，但但但但也也也也可可可可能能能能不不不不存存存存在在在在。例例例例如如如如，对对对对于于于于多多多多项项项项式式式式方方方方程程程程，其其其其根根根根的的的的个个个个数数数数与与与与方方方方程程程程的的的的次次次次数数数数相相相相同同同同；对对对对于于于于超超超超越越越越方方方方程程程程，其其其其根根根根则则则则可可可可能能能能是是是是一一一一个个个个、几几几几个个个个或或或或无无无无穷穷穷穷多多多多个个个个，也也也也可可可可能能能能不不不不存存存存在在在在。因此在解方程时，因此在解方程时，因此在解方程时，因此在解方程时，

3、有必要弄清楚方程根的性质有必要弄清楚方程根的性质有必要弄清楚方程根的性质有必要弄清楚方程根的性质。此此此此外外外外，在在在在实实实实际际际际问问问问题题题题中中中中，有有有有的的的的问问问问题题题题要要要要求求求求解解解解出出出出方方方方程程程程所所所所有有有有的的的的根根根根，有有有有的的的的则则则则只只只只要要要要找找找找到到到到其其其其中中中中某某某某一一一一个个个个特特特特殊殊殊殊根根根根；有有有有的的的的要要要要求求求求将将将将根根根根的的的的近近近近似似似似值值值值逐逐逐逐步步步步精精精精确确确确化化化化，或或或或者者者者已已已已知知知知根根根根所所所所在在在在的的的的区区区区间间

4、间间求求求求此此此此根根根根；有有有有的的的的则则则则只只只只要要要要求求求求判判判判断断断断某某某某个个个个区区区区域或范围内是否有根，而不要求把根求出来，等等。域或范围内是否有根，而不要求把根求出来，等等。域或范围内是否有根，而不要求把根求出来，等等。域或范围内是否有根，而不要求把根求出来，等等。因因因因此此此此，也也也也有有有有必必必必要要要要弄弄弄弄清清清清楚楚楚楚解解解解方方方方程程程程的的的的具具具具体体体体要要要要求求求求。总总总总之之之之，上上上上述述述述情情情情况况况况可可可可归归归归结为判断和确定根的分布区间这一重要问题。结为判断和确定根的分布区间这一重要问题。结为判断和确

5、定根的分布区间这一重要问题。结为判断和确定根的分布区间这一重要问题。本讲稿第四页，共七十五页2.1 方程根的分布区间方程根的分布区间2.2.1 根的分布区间根的分布区间方程方程f(x)=0f(x)=0的根的分布情况可能会很复杂，的根的分布情况可能会很复杂，当采用各种计算方当采用各种计算方法求方程的根时，都期望在较小的含根区间内进行，以保证根的唯法求方程的根时，都期望在较小的含根区间内进行，以保证根的唯一性和计算方法的收敛性或有效性一性和计算方法的收敛性或有效性。因此，在求方程的根之前，。因此，在求方程的根之前，搜索方程根的分布区间，掌握方程根的分布情况是非常重要的。搜索方程根的分布区间，掌握方

6、程根的分布情况是非常重要的。下面介绍几种通常采用的确定根的分布区间或单根分布区间的下面介绍几种通常采用的确定根的分布区间或单根分布区间的方法。方法。本讲稿第五页，共七十五页2.1 方程根的分布区间方程根的分布区间2.2.2 确定方程根的分布区间的方法确定方程根的分布区间的方法在在工工程程计计算算中中，确确定定方方程程根根的的分分布布区间的常用方法有：区间的常用方法有：n草图法草图法n搜索法搜索法n图像法图像法本讲稿第六页，共七十五页1.草图法草图法 对对于于方方程程f(x)=0f(x)=0，先先在在函函数数f(x)f(x)的的定定义义域域内内(任任意意)选选取取一一些些点点，先先计计算算出出它

7、它们们的的函函数数值值(在在一一般般情情况况下下这这些些函函数数值值不不会会为为零零)，再再根根据据这这些些已已经经计计算算出出来来的的点点，描描绘绘出出函函数数f(x)f(x)的的图图像像，而而函函数数f(x)f(x)的的零零点点，即即图图像像和和坐坐标标轴轴x x的的交交点点，就就是是方方程程f(x)=0f(x)=0的的根根。这这种种寻寻找找函函数数零零点点的的方方法法称称为草图法。为草图法。本讲稿第七页，共七十五页 它它适适合合人人工工计计算算且且计计算算量量不不太太大大的的场场合合，但但在在计计算算过过程程中中，要要保保证证所所选选取取的的自自变变量量能能使计算出的函数值有正负符号的变

8、化。使计算出的函数值有正负符号的变化。当当函函数数的的性性态态(单单调调性性交交化化、凸凸凹凹变变化化、拐拐点点和和极极值值点点等等)比比较较复复杂杂时时，用用草草图图法法一一般般难难以以精精确确表表现现出出函函数数的的图图像像、因因而而在在搜搜索索方方程程根根过过程程中中，可可能能会会造造成成某某个个根根的的遗遗漏漏。因因此此，草图法只能对根的分布区间作大致判断。草图法只能对根的分布区间作大致判断。本讲稿第八页，共七十五页本讲稿第九页，共七十五页2.搜索法搜索法本讲稿第十页，共七十五页3.图象法图象法 图图像像法法是是指指用用数数学学软软件件，如如MATLAB等等来来精精确确描描绘绘函函数数

9、图图像像的的方方法法。图图像像法法能能够够准准确确、直直观观、全全面面地地表表示示出出方方程程根根的的分分布布情情况况和和函函数数的的性性态态，因因此此，图图像像法法在在求求解解方方程根的过程中有着重要的作用。程根的过程中有着重要的作用。本讲稿第十一页，共七十五页本本书书采采用用MATLAB语语言言编编程程来来描描绘绘函函数数的的图图像像。例例如如，下下面面的的程程序序fxg.m就就是是专专门门描描绘绘函函数数图图像像的的MATLAB程程序：序：本讲稿第十二页，共七十五页根根根根据据据据上上上上述述述述函函函函数数数数图图图图像像像像，很很很很容容容容易易易易看看看看清清清清楚楚楚楚例例例例2

10、.22.2函函函函数数数数的的的的性性性性态态态态，从从从从而而而而能能能能恰恰恰恰当当当当地地地地确确确确定定定定出出出出方方方方程程程程根根根根的的的的分分分分布布布布区区区区间间间间。当当当当函函函函数数数数比比比比较较较较复复复复杂杂杂杂时时时时，使使使使用用用用图图图图像像像像法法法法格格格格外外外外方方方方便便便便和和和和重要。重要。重要。重要。本讲稿第十三页，共七十五页2.3 二分搜索法二分搜索法 所所谓谓二二分分搜搜索索法法，就就是是将将根根的的分分布布区区间间划划分分成成两两个个部部分分，而而方方程程的的根根必必定定会会落落在在其其中中的的一一个个部部分分或或者者就就在在划划

11、分分点点上上，再再对对其其中中包包含含方方程程根根的的一一个个部部分分重重复复上上述述划划分分过过程程，从从而而不不断断缩缩小小根根的的分分布布区区间间，直直到到根根的的分分布布区区间间的的长长度度达达到到指指定定的的精精度度要要求求为为止止。此此时时，根根的的分分布布区区间间内内的的任任何何一一点点，都都是是方方程程根根的的近近似似值值。如如果果将将根根的的分分布布区区间间划划分分成成两两个个相相等等的的部部分，即将区间折半，这种二分法常常称为对分法。分，即将区间折半，这种二分法常常称为对分法。本讲稿第十四页，共七十五页在在一一般般情情况况下下，使使用用二二分分搜搜索索法法求求方方程程的的根

12、根，为为了了不不漏漏掉掉方方程程的的某某些些根根，应应该该满足下面定理：满足下面定理：本讲稿第十五页，共七十五页1、用对分法求方程的单根、用对分法求方程的单根1）第一次对分）第一次对分2）第二次对分）第二次对分3）继续对分计算）继续对分计算4）第）第n次对分次对分单调连续，两端点函数值异号单调连续，两端点函数值异号本讲稿第十六页，共七十五页1）、第一次对分）、第一次对分本讲稿第十七页，共七十五页2）、第二次对分）、第二次对分本讲稿第十八页，共七十五页3）、继续对分计算）、继续对分计算4）、第）、第n次对分次对分本讲稿第十九页，共七十五页2、用对分法搜索方程的单、用对分法搜索方程的单重重实根实根

13、（不限于一个，而指所有的单重实根）（不限于一个，而指所有的单重实根）这这样样，一一个个步步长长、一一个个步步长长地地向向右右搜搜索索，直直至至超超过过区区间间右右端端点点c c为为止止，即可找到方程定义区间即可找到方程定义区间(a(a，c)c)内所有单重实根。内所有单重实根。显显然然，恰恰当当地地选选择择步步长长h h是是十十分分重重要要的的。应应使使在在所所选选择择的的一一个个步步长内只有一个根，太大则会丢掉所要找的根太小则会增加计算量。长内只有一个根，太大则会丢掉所要找的根太小则会增加计算量。二二分分搜搜索索法法除除用用于于求求方方程程的的根根之之外外，实实际际应应用用中中，常常用用于于查

14、查表表，即即在在一一组组按按大大小小顺顺序序排排列列的的数数据据中中，寻寻找找所所需需要要的的那那个个数数。它它比比用用顺顺序序查查表表法法的的查查表表效效率大大提高。率大大提高。本讲稿第二十页，共七十五页3、对分法的、对分法的MATLAB程序程序本讲稿第二十一页，共七十五页例例2.3 求下列两个函数的交点：求下列两个函数的交点：本讲稿第二十二页，共七十五页本讲稿第二十三页，共七十五页本讲稿第二十四页，共七十五页 使使用用对对分分法法求求方方程程的的根根，计计算算方方法法简简单单易易用用，只只需需知知道道方方程程根根的的单单根根分分布布区区间间即即可可。由由公公式式(2(24)4)和和上上面面

15、的的两两个个例例题题可可知知，使使用用对对分分法法需需要要经经过过很很多多步步的的计计算算过过程程才才能能得得到到方方程程的的近近似似根根。为为了了加加快快方方程程的的求求根根过过程程，有有必必要要改改进进计计算算方方法法或或采采用用其其他他较较好好的计算方法。的计算方法。本讲稿第二十五页，共七十五页本讲稿第二十六页，共七十五页2.4 一般迭代法一般迭代法2.4.1 2.4.1 2.4.1 2.4.1 基本原理和迭代公式基本原理和迭代公式基本原理和迭代公式基本原理和迭代公式2.4.2 2.4.2 2.4.2 2.4.2 迭代法的收敛性迭代法的收敛性迭代法的收敛性迭代法的收敛性2.4.3 2.4

16、.3 2.4.3 2.4.3 迭代法的收敛速度迭代法的收敛速度迭代法的收敛速度迭代法的收敛速度2.4.4 2.4.4 2.4.4 2.4.4 收敛过程的加速收敛过程的加速收敛过程的加速收敛过程的加速本讲稿第二十七页，共七十五页2.4.1 2.4.1 2.4.1 2.4.1 基本原理和迭代公式基本原理和迭代公式基本原理和迭代公式基本原理和迭代公式本讲稿第二十八页，共七十五页本讲稿第二十九页，共七十五页本讲稿第三十页，共七十五页本讲稿第三十一页，共七十五页本讲稿第三十二页，共七十五页2.4.2 2.4.2 2.4.2 2.4.2 迭代法的收敛性迭代法的收敛性迭代法的收敛性迭代法的收敛性本讲稿第三十

17、三页，共七十五页本讲稿第三十四页，共七十五页本讲稿第三十五页，共七十五页本讲稿第三十六页，共七十五页本讲稿第三十七页，共七十五页本讲稿第三十八页，共七十五页 这这里里也也可可再再来来分分析析一一下下例例2.52.5。由由于于同同一一方方程程一一般般可可以以构构造造出出多多个个选选代代函函数数，为为了了保保证证迭迭代代过过程程收收敛敛，如如何何确确定定收收敛敛的的迭迭代代函函数数以以及及如如何何选选取取迭迭代代初初始始值值呢呢?根根据据定定理理2.22.2就就能能找找到到正正确答案。确答案。一一般般说说来来，定定理理2.22.2中中的的两两个个条条件件在在较较大大的的有有根根区区间间上上是是很很

18、难难保保证证的的，因因此此要要尽尽可可能能寻寻找找足足够够小小的的方方程程根根的的分分布布区区间间。通通常常可可在在真真实实根根附附近近来来考考察察其其收收敛敛性性。于于是是，就就有有下下面的一般迭代法的局部收敛定理。面的一般迭代法的局部收敛定理。本讲稿第三十九页，共七十五页本讲稿第四十页，共七十五页本讲稿第四十一页，共七十五页 用用迭迭代代法法求求方方程程的的根根，选选用用不不同同的的迭迭代代函函数数，所所得得到到的的收收敛敛性性和和收敛速度是不一样的。收敛速度是不一样的。因因此此，在在实实际际计计算算中中，应应该该选选用用收收敛敛的的迭迭代代法法以以及及收收敛敛速速度度快快的的计算方法。计

19、算方法。本讲稿第四十二页，共七十五页2.4.3 2.4.3 2.4.3 2.4.3 迭代法的收敛速度迭代法的收敛速度迭代法的收敛速度迭代法的收敛速度 迭迭迭迭代代代代过过过过程程程程的的的的收收收收敛敛敛敛速速速速度度度度，是是是是指指指指迭迭迭迭代代代代误误误误差差差差的的的的下下下下降降降降速速速速度度度度。迭迭迭迭代代代代法的收敛速度一般用收敛阶来描述。法的收敛速度一般用收敛阶来描述。法的收敛速度一般用收敛阶来描述。法的收敛速度一般用收敛阶来描述。本讲稿第四十三页，共七十五页本讲稿第四十四页，共七十五页本讲稿第四十五页，共七十五页2.4.4 2.4.4 2.4.4 2.4.4 收敛过程的

20、加速收敛过程的加速收敛过程的加速收敛过程的加速 一一一一个个个个收收收收敛敛敛敛的的的的选选选选代代代代过过过过程程程程，只只只只要要要要迭迭迭迭代代代代次次次次数数数数足足足足够够够够多多多多，就就就就可可可可以以以以使使使使计计计计算算算算结结结结果果果果达达达达到到到到任任任任意意意意指指指指定定定定的的的的精精精精度度度度。但但但但是是是是，如如如如果果果果收收收收敛敛敛敛过过过过程程程程过过过过于于于于缓缓缓缓慢慢慢慢、计计计计算算算算工工工工作作作作量量量量过过过过大大大大，则则则则在在在在实实实实际际际际计计计计算算算算过过过过程程程程往往往往往往往往就就就就要要要要考考考考虑虑

21、虑虑加加加加速速速速收收收收敛敛敛敛过过过过程的问题。程的问题。程的问题。程的问题。1 1 1 1、迭代公式的改进、迭代公式的改进、迭代公式的改进、迭代公式的改进2 2 2 2、AitkenAitkenAitkenAitken（埃特金）加速法（埃特金）加速法（埃特金）加速法（埃特金）加速法本讲稿第四十六页，共七十五页1 1 1 1、迭代公式的改进、迭代公式的改进、迭代公式的改进、迭代公式的改进本讲稿第四十七页，共七十五页2 2 2 2、AitkenAitkenAitkenAitken（埃特金）加速法（埃特金）加速法（埃特金）加速法（埃特金）加速法本讲稿第四十八页，共七十五页本讲稿第四十九页，共

22、七十五页本讲稿第五十页，共七十五页2.5 Newton（牛顿）法（牛顿）法2.5.1 2.5.1 2.5.1 2.5.1 基本原理和迭代公式基本原理和迭代公式基本原理和迭代公式基本原理和迭代公式2.5.2 Newton2.5.2 Newton2.5.2 Newton2.5.2 Newton法的收敛性与收敛速度法的收敛性与收敛速度法的收敛性与收敛速度法的收敛性与收敛速度本讲稿第五十一页，共七十五页2.5.1 2.5.1 2.5.1 2.5.1 基本原理和迭代公式基本原理和迭代公式基本原理和迭代公式基本原理和迭代公式本讲稿第五十二页，共七十五页本讲稿第五十三页，共七十五页本讲稿第五十四页，共七十五

23、页2.5.2 Newton2.5.2 Newton2.5.2 Newton2.5.2 Newton法的收敛性与收敛速度法的收敛性与收敛速度法的收敛性与收敛速度法的收敛性与收敛速度本讲稿第五十五页，共七十五页本讲稿第五十六页，共七十五页本讲稿第五十七页，共七十五页本讲稿第五十八页，共七十五页本讲稿第五十九页，共七十五页本讲稿第六十页，共七十五页本讲稿第六十一页，共七十五页本讲稿第六十二页，共七十五页本讲稿第六十三页，共七十五页本讲稿第六十四页，共七十五页2.6 Newton迭代法的改进迭代法的改进2.6.1 Newton2.6.1 Newton2.6.1 Newton2.6.1 Newton下山

24、法下山法下山法下山法2.6.2 2.6.2 2.6.2 2.6.2 简化简化简化简化NewtonNewtonNewtonNewton法法法法2.6.3 2.6.3 2.6.3 2.6.3 弦截法弦截法弦截法弦截法本讲稿第六十五页，共七十五页2.6.1 Newton2.6.1 Newton2.6.1 Newton2.6.1 Newton下山法下山法下山法下山法本讲稿第六十六页，共七十五页本讲稿第六十七页，共七十五页2.6.2 2.6.2 2.6.2 2.6.2 简化简化简化简化NewtonNewtonNewtonNewton法法法法本讲稿第六十八页，共七十五页2.6.3 2.6.3 2.6.3

25、2.6.3 弦截法弦截法弦截法弦截法本讲稿第六十九页，共七十五页本讲稿第七十页，共七十五页本讲稿第七十一页，共七十五页本讲稿第七十二页，共七十五页本讲稿第七十三页，共七十五页本本本本 章章章章 小小小小 结结结结 非非非非线线线线性性性性方方方方程程程程求求求求根根根根的的的的数数数数值值值值解解解解法法法法，首首首首先先先先要要要要求求求求确确确确定定定定根根根根的的的的分分分分布布布布区区区区间间间间，且且且且具具具具有有有有局局局局部部部部收收收收敛敛敛敛性性性性的的的的迭迭迭迭代代代代格格格格式式式式其其其其初初初初始始始始区区区区间间间间要要要要尽尽尽尽可可可可能能能能小小小小。在在

26、在在运运运运用用用用各各各各种种种种数数数数值值值值求求求求解解解解方方方方法法法法时时时时，要要要要考考考考虑虑虑虑解解解解的的的的收收收收敛敛敛敛性性性性，进进进进而而而而要要要要考考考考虑虑虑虑收收收收敛敛敛敛速速速速和计算量。本章要求掌握如下内容：和计算量。本章要求掌握如下内容：和计算量。本章要求掌握如下内容：和计算量。本章要求掌握如下内容：(1)(1)(1)(1)对对对对于于于于二二二二分分分分搜搜搜搜索索索索法法法法的的的的解解解解题题题题思思思思想想想想，如如如如何何何何确确确确定定定定有有有有根根根根区区区区间间间间以以以以及及及及如如如如何何何何在在在在容许误差范围内确定根的

27、近似值。容许误差范围内确定根的近似值。容许误差范围内确定根的近似值。容许误差范围内确定根的近似值。(2)(2)(2)(2)对对对对于于于于简简简简单单单单迭迭迭迭代代代代法法法法的的的的基基基基本本本本思思思思想想想想，如如如如何何何何构构构构造造造造迭迭迭迭代代代代函函函函数数数数，如如如如何何何何判判判判定定定定迭代格式的收敛性。迭代格式的收敛性。迭代格式的收敛性。迭代格式的收敛性。(3)(3)(3)(3)对对对对于于于于牛牛牛牛顿顿顿顿迭迭迭迭代代代代法法法法的的的的解解解解题题题题思思思思想想想想，牛牛牛牛顿顿顿顿迭迭迭迭代代代代格格格格式式式式是是是是如如如如何何何何建建建建造造造造

28、的的的的，熟悉迭代的计算过程和迭代值对迭代速度的影响。熟悉迭代的计算过程和迭代值对迭代速度的影响。熟悉迭代的计算过程和迭代值对迭代速度的影响。熟悉迭代的计算过程和迭代值对迭代速度的影响。(4)(4)(4)(4)保保保保证证证证牛牛牛牛顿顿顿顿迭迭迭迭代代代代法法法法收收收收敛敛敛敛性性性性的的的的条条条条件件件件，下下下下山山山山因因因因子子子子，牛牛牛牛顿顿顿顿下下下下山山山山法法法法的的的的迭代过程。迭代过程。迭代过程。迭代过程。(5)(5)(5)(5)弦弦弦弦截截截截法法法法的的的的迭迭迭迭代代代代方方方方法法法法，弦弦弦弦截截截截法法法法可可可可以以以以避避避避免免免免计计计计算算算算

29、导导导导函函函函数数数数的的的的原原原原理理理理，弦截法的迭代过程。弦截法的迭代过程。弦截法的迭代过程。弦截法的迭代过程。(6)(6)(6)(6)方程求根的方程求根的方程求根的方程求根的MATLABMATLABMATLABMATLAB函数及其调用格式。函数及其调用格式。函数及其调用格式。函数及其调用格式。本讲稿第七十四页，共七十五页 根根根根据据据据收收收收敛敛敛敛阶阶阶阶的的的的概概概概念念念念，可可可可以以以以证证证证明明明明，当当当当方方方方程程程程f(x)=0f(x)=0f(x)=0f(x)=0有有有有单单单单根根根根时时时时，牛牛牛牛顿顿顿顿法法法法是是是是二二二二阶阶阶阶收收收收敛

30、敛敛敛的的的的，即即即即它它它它是是是是平平平平方方方方收收收收敛敛敛敛的的的的。但但但但当当当当方方方方程程程程f(x)=0f(x)=0f(x)=0f(x)=0有有有有重重重重根根根根时时时时，牛牛牛牛顿顿顿顿法法法法仅仅仅仅是是是是线线线线性性性性收收收收敛敛敛敛的的的的。而而而而对对对对弦弦弦弦截截截截法法法法，可可可可以以以以证证证证明明明明它它它它的的的的收收收收敛敛敛敛阶阶阶阶P P P P1 1 1 1618618618618。对对对对分分分分法法法法的的的的收收收收敛敛敛敛速速速速度度度度和和和和公公公公比比比比为为为为1 1 1 12 2 2 2的的的的等等等等比比比比级级级

31、级数数数数相相相相同同同同。因因因因此此此此，从从从从序序序序列列列列的的的的收收收收敛敛敛敛速速速速度度度度这这这这一一一一角角角角度度度度看看看看，在在在在x*x*x*x*为为为为方方方方程程程程f(x)=0f(x)=0f(x)=0f(x)=0的的的的单单单单根根根根的的的的情情情情况况况况下下下下，牛牛牛牛顿顿顿顿法法法法的的的的收收收收敛敛敛敛速速速速度度度度最最最最快快快快，弦弦弦弦截截截截法法法法其其其其次次次次，对对对对分分分分法法法法最最最最慢慢慢慢。但但但但对对对对分分分分法法法法简简简简单单单单有有有有效效效效，它它它它一一一一定定定定收收收收敛敛敛敛到到到到有有有有根根根

32、根区区区区间间间间内内内内的的的的某某某某个个个个根根根根。牛牛牛牛顿顿顿顿法法法法要要要要用用用用到到到到导导导导数数数数，当当当当导导导导数数数数比比比比较较较较复复复复杂杂杂杂时时时时，要要要要花花花花费费费费时时时时间间间间计计计计算算算算导导导导数数数数的的的的值值值值，而而而而弦弦弦弦截截截截法法法法的的的的收收收收敛敛敛敛速速速速度度度度虽虽虽虽然然然然比比比比牛牛牛牛顿顿顿顿法法法法慢慢慢慢一一一一些些些些，但但但但它它它它不不不不用用用用计计计计算算算算导导导导数数数数。因因因因此此此此，在实际计算时，弦截法比牛顿法更节省计算时间。在实际计算时，弦截法比牛顿法更节省计算时间。在实际计算时，弦截法比牛顿法更节省计算时间。在实际计算时，弦截法比牛顿法更节省计算时间。本讲稿第七十五页，共七十五页