第八章二阶电路精选文档.ppt

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1、第八章二阶电路本讲稿第一页，共五十五页1.1.二阶电路：二阶电路：变量用二阶微分方程描述的电路；变量用二阶微分方程描述的电路；从结构上看，含有两个独立从结构上看，含有两个独立初始状态初始状态动态元件的电路。动态元件的电路。2.2.二阶电路的分析方法：二阶电路的分析方法：根据两类约束，列写二阶电路微分方程；根据两类约束，列写二阶电路微分方程；求特征方程的根，即固有频率；求特征方程的根，即固有频率；根据根的性质确定解答形式（公式）。根据根的性质确定解答形式（公式）。初始状态求解与一阶电路方法相同。初始状态求解与一阶电路方法相同。引引 言言本讲稿第二页，共五十五页8-1 LC电路中的正弦振荡电路中的

2、正弦振荡一、已知一、已知u uC C(0)=1V(0)=1V，i iL L(0)=0(0)=0，L=1HL=1H，C=1FC=1F，求求u uC C，i iL L。C CL Li iL Lu uC C+_ _得到二阶微分方程：得到二阶微分方程：解答形式：解答形式：储能：储能：解：解：图图8-1 LC振荡回路振荡回路本讲稿第三页，共五十五页二、二、LC 振荡电路波形振荡电路波形t1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t12TTuC(t)iL(t)U0U0ooImImttt1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t

3、9t9t10t10t11t11t12t12 图图8-28-2 LC LC 振荡电路波形振荡电路波形本讲稿第四页，共五十五页三、三、LC 振荡电路的物理过程振荡电路的物理过程1、0,1/4T :C放电，放电，L充电，电场能向磁场能转化；充电，电场能向磁场能转化；2、1/4T,1/2T：L放电，放电，C反向充电，磁场能向电能转化；反向充电，磁场能向电能转化；3、1/2T,3/4T：C放电，放电，L反向充电，电场能向磁场能转化；反向充电，电场能向磁场能转化；4、3/4T,T ：L放电，放电，C充电，磁场能向电场能转化。充电，磁场能向电场能转化。本讲稿第五页，共五十五页 纯纯LC电路，储能在电场和磁场

4、之间往返转移，产生振荡的电压和电路，储能在电场和磁场之间往返转移，产生振荡的电压和电流。振荡是等幅的，等副振荡是按正弦方式随时间变化的。电流。振荡是等幅的，等副振荡是按正弦方式随时间变化的。四、结论四、结论想一想：若回路中含有电阻，还是等幅振荡吗？想一想：若回路中含有电阻，还是等幅振荡吗？本讲稿第六页，共五十五页82 RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应一、一、RLC串联电路的微分方程串联电路的微分方程 图图8-3 RLC串联二阶电路串联二阶电路 为了得到图为了得到图8-3所示所示RLC串联串联电路的微分方程，先列出电路的微分方程，先列出KVL方方程程本讲稿第七页，共五十五页 根据前

5、述方程得到以下微分方程根据前述方程得到以下微分方程 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。其特征方程为其特征方程为 其特征根为其特征根为 零输入响应方程为零输入响应方程为 本讲稿第八页，共五十五页 电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况 1.时，时，为不相等的实根。过阻尼情况。为不相等的实根。过阻尼情况。2.时，时，为两个相等的实根。临界阻尼为两个相等的实根。临界阻尼情况。情况。3.时，时，为共轭复数根。欠阻尼情况。为

6、共轭复数根。欠阻尼情况。本讲稿第九页，共五十五页二、过阻尼情况二、过阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为两个不相同的实为两个不相同的实数，齐次微分方程的解答具有下面的形式数，齐次微分方程的解答具有下面的形式 式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uc(0)确定。确定。对式对式(95)求导，再令求导，再令t=0得到得到 本讲稿第十页，共五十五页 求解以上两个方程，可以得到求解以上两个方程，可以得到 由此得到电容电压的零输入响应，再利用由此得到电容电压的零输入响应，再利用KCL方程和电容方程和电容的的VCR可以得到电感电流的零输入响应。

7、可以得到电感电流的零输入响应。本讲稿第十一页，共五十五页例例8-1 电路如图电路如图8-4所示，已知所示，已知R=3,L=0.5H,C=0.25F,uC(0)=2V,iL(0)=1A，求电容电压和电感电流的零输，求电容电压和电感电流的零输 入响应。入响应。解：将解：将R，L，C的量值代入特征根表达式，计算出固有频率的量值代入特征根表达式，计算出固有频率图图84 RLC串联二阶电路串联二阶电路本讲稿第十二页，共五十五页 将固有频率将固有频率s1=-2和和s2=-4代入式（代入式（85）得到）得到 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=2V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0

8、)=1A得到以下两个方程：得到以下两个方程：K1=6K2=-4 最后得到电容电压的零输入响应为最后得到电容电压的零输入响应为 本讲稿第十三页，共五十五页 利用利用KCL和电容的和电容的VCR方程得到电感电流的零输入响应方程得到电感电流的零输入响应 从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元从图示电容电压和电感电流的波形曲线，可以看出电路各元件的能量交换过程。件的能量交换过程。本讲稿第十四页，共五十五页二、临界情况二、临界情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1,s2为两个相同的实数为两个相同的实数s1=s2=s。齐次微分方程的解答具有下面的形式。齐次微分方程的解答具有下面

9、的形式 式中的两个常数式中的两个常数K1，K2由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0)确定。令式确定。令式(8-5)中的中的t=0得到得到 本讲稿第十五页，共五十五页 联立求解以上两个方程，可以得到联立求解以上两个方程，可以得到 将将 K1,K2的计算结果，代入式（的计算结果，代入式（88）得到电容电压的零输）得到电容电压的零输入响应，再利用入响应，再利用KCL方程和电容的方程和电容的VCR可以得到电感电流的零可以得到电感电流的零输入响应。输入响应。对式对式(85)求导，再令得到求导，再令得到 本讲稿第十六页，共五十五页例例8-2 电路如图电路如图8-5所示。已知已知所示。已知已知R=1

10、，L=0.25 H，C=1 F，uC(0)=-1V，iL(0)=0，求电容电压和电感电，求电容电压和电感电 流的零输入响应。流的零输入响应。解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(8-4)计算出固有频率的数值计算出固有频率的数值图图85 RLC串联二阶电路串联二阶电路本讲稿第十七页，共五十五页 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=-1V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0得到以下两个方程得到以下两个方程 将两个相等的固有频率将两个相等的固有频率s1=s2=-2 代入式（代入式（88）得到）得到 本讲稿第十八页，共五十五页 得到电感电流的零输入响应得到电感电

11、流的零输入响应 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=-1和和K2=-2，得到电容电压的零，得到电容电压的零输入响应输入响应 本讲稿第十九页，共五十五页 根据以上两个表达式用计算机程序根据以上两个表达式用计算机程序DNAP画出的波形曲线，画出的波形曲线，如图如图86所示。所示。(a)电容电压的波形电容电压的波形 (b)电感电流的波形电感电流的波形图图86 临界阻尼情况临界阻尼情况 本讲稿第二十页，共五十五页三、欠阻尼情况三、欠阻尼情况 当当 时，电路的固有频率时，电路的固有频率s1，s2为为两个共轭复数为为两个共轭复数根，它们可以表示为根，它们可以表示为 其中其中 本讲稿第二十

12、一页，共五十五页 齐次微分方程的解答具有下面的形式齐次微分方程的解答具有下面的形式 式中式中 由初始条件由初始条件iL(0)和和uC(0)确定常数确定常数K1，K2后，得到电容电压的后，得到电容电压的零输入响应，再利用零输入响应，再利用KCL和和VCR方程得到电感电流的零输入响应。方程得到电感电流的零输入响应。本讲稿第二十二页，共五十五页例例8-3 电路如图电路如图8-7所示。已知所示。已知R=6,L=1H,C=0.04F,uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的，求电容电压和电感电流的 零输入响应。零输入响应。解：将解：将R，L，C的量值代入式的量值代入式(8-4)计

13、算出固有频率的数值计算出固有频率的数值图图87 RLC串联二阶电路串联二阶电路本讲稿第二十三页，共五十五页 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A得到以下两个方程得到以下两个方程 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=3和和K2=4，得到电容电压和，得到电容电压和电感电流的零输入响应电感电流的零输入响应:将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率 s1=-3+j4 和和 s2=-3-j4 代入式（代入式（811）得到）得到 本讲稿第二十四页，共五十五页 用计算机程序画出的波形曲线，如图用计算机程序画出

14、的波形曲线，如图88所示所示(a)衰减系数为衰减系数为3的电容电压的波形的电容电压的波形 (b)衰减系数为衰减系数为3的电感电流的波形的电感电流的波形(c)衰减系数为衰减系数为0.5的电容电压的波形的电容电压的波形 (d)衰减系数为衰减系数为0.5的电感电流的波形的电感电流的波形 图图88 欠阻尼情况欠阻尼情况本讲稿第二十五页，共五十五页 欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成欠阻尼情况的特点是能量在电容与电感之间交换，形成衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越衰减振荡。电阻越小，单位时间消耗能量越少，曲线衰减越慢。慢。当例当例83中电阻由中电阻由R=6减小到减小到R=

15、1，衰减系数由，衰减系数由3变为变为0.5时，可以看出曲线衰减明显变慢。时，可以看出曲线衰减明显变慢。假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形假如电阻等于零，使衰减系数为零时，电容电压和电感电流将形成无衰减的等幅振荡。成无衰减的等幅振荡。本讲稿第二十六页，共五十五页例例8-4 电路如图电路如图8-9所示。已知所示。已知R=0,L=1H,C=0.04F,uC(0)=3V,iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零，求电容电压和电感电流的零 输入响应。输入响应。解：将解：将R，L，C的量值代入式（的量值代入式（84）计算出固有频率的）计算出固有频率的 数值数值 图图89 RL

16、C串联二阶电路串联二阶电路本讲稿第二十七页，共五十五页 将两个不相等的固有频率将两个不相等的固有频率s1=j5和和s2=-j5代入式（代入式（8-11）得到）得到 利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值和电感电流的初始值iL(0)=0.28A 得到以下两个方程得到以下两个方程 求解以上两个方程得到常数求解以上两个方程得到常数K1=3和和K2=1.4，得到电容电压和电，得到电容电压和电感电流的零输入响应感电流的零输入响应:本讲稿第二十八页，共五十五页 用计算机程序画出的电容电压和电感电流的波形曲线，用计算机程序画出的电容电压和电感电流的波形曲线，如图如图810

17、所示。所示。图图810 无阻尼情况无阻尼情况 本讲稿第二十九页，共五十五页 从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路从电容电压和电感电流的表达式和波形曲线可见，由于电路中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形中没有损耗，能量在电容和电感之间交换，总能量不会减少，形成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为成等振幅振荡。电容电压和电感电流的相位差为90，当电容电压，当电容电压为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于为零，电场储能为零时，电感电流达到最大值，全部能量储存于磁场中；而当电感电流为零，磁场储能为零时，电容电压达到最磁场中；而当电感电流为零，磁

18、场储能为零时，电容电压达到最大值，全部能量储存于电场中。大值，全部能量储存于电场中。从以上分析计算的结果可以看出，从以上分析计算的结果可以看出，RLC二阶电路的零输入二阶电路的零输入响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在响应的形式与其固有频率密切相关，我们将响应的几种情况画在图图811上。上。本讲稿第三十页，共五十五页图图8-11本讲稿第三十一页，共五十五页 由图由图811可见：可见：1.在过阻尼情况，在过阻尼情况，s1和和s2是不相等的负实数，固有频率出现是不相等的负实数，固有频率出现在在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。2.在临界阻

19、尼情况，在临界阻尼情况，s1=s2是相等的负实数，固有频率出现在是相等的负实数，固有频率出现在s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。3.在欠阻尼情况，在欠阻尼情况，s1和和s2是共轭复数，固有频率出现在是共轭复数，固有频率出现在s平面平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越快。衰越大，衰减越快。衰减振荡的角频率减振荡的角频率 d 越大，振荡周期越小，振荡越快。越大，振荡周期越小，振荡越快。本讲稿第三十二页，共五十五

20、页 图中按图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范围。围。4.在无阻尼情况，在无阻尼情况，s1和和s2是共轭虚数，固有频率出现在是共轭虚数，固有频率出现在s平面上平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角频率为 0的的等幅振荡。等幅振荡。显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固有频率均处于s平面平面上的左半平面上时

21、，电路是稳定的。上的左半平面上时，电路是稳定的。本讲稿第三十三页，共五十五页83 RLC串联电路的全响应串联电路的全响应 对于图示直流激励的对于图示直流激励的RLC串联电路，当串联电路，当uS(t)=US时，可以得时，可以得到以下非齐次微分方程到以下非齐次微分方程 本讲稿第三十四页，共五十五页 电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的电路的全响应由对应齐次微分方程的通解与微分方程的特解之和组成特解之和组成 微分方程的特解为：微分方程的特解为：微分方程的通解微分方程的通解 与固有频率有关，有四种解答与固有频率有关，有四种解答本讲稿第三十五页，共五十五页1.1.过阻尼过阻尼2.2.临界阻尼

22、临界阻尼3.3.欠阻尼欠阻尼4.4.无阻尼无阻尼K1、K2由初始条件确定由初始条件确定四种解答形式的全响应：四种解答形式的全响应：本讲稿第三十六页，共五十五页例例8-5 电路如图所示。已知电路如图所示。已知 R=4，L=1H，C=1/3F，uS(t)=2V，uC(0)=6V，iL(0)=4A。求。求t0时，电容电时，电容电 压和电感电流的响应。压和电感电流的响应。解：先计算固有频率解：先计算固有频率本讲稿第三十七页，共五十五页 这是两个不相等的负实根，其通解为这是两个不相等的负实根，其通解为 特解为特解为 全响应为全响应为 利用初始条件得到利用初始条件得到 本讲稿第三十八页，共五十五页 联立求

23、解以上两个方程得到联立求解以上两个方程得到 最后得到电容电压和电感电流的全响应最后得到电容电压和电感电流的全响应 本讲稿第三十九页，共五十五页二阶电路一般分析步骤：二阶电路一般分析步骤：1.1.列电路方程：列电路方程：根据两个约束，确定未知量。根据两个约束，确定未知量。2.2.由特征方程求特征根由特征方程求特征根;3.3.根据根的性质确定解答形式：根据根的性质确定解答形式：有四种有四种4.4.由由初始条件初始条件确定确定 K K1 1、K K2 2 ：若若u uC C(0)(0)和和i iL L(0)(0)未知，与一阶电路求法相同：未知，与一阶电路求法相同：画画t=0t=0-，0 0+时的等效

24、电路，求时的等效电路，求u uC C(0(0+)和和 i iL L(0(0+)5.5.全响应：全响应：特解与一阶电路求法相同：特解与一阶电路求法相同：直流：直流：阶跃：阶跃：本讲稿第四十页，共五十五页84 RLC并联电路的响应并联电路的响应 RLC RLC并联电路如上图所示，为了得到电路的二阶微分方程，列出并联电路如上图所示，为了得到电路的二阶微分方程，列出KCLKCL方程方程 本讲稿第四十一页，共五十五页代入电容，电阻和电感的代入电容，电阻和电感的VCRVCR方程方程 得到微分方程得到微分方程 这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。这是一个常系数非齐次线性二阶微分方程。其特征方程为其特征方程

25、为 由此求解得到特征根由此求解得到特征根 本讲稿第四十二页，共五十五页 当电路元件参数当电路元件参数G G,L L,C C的量值不同时，特征根可能出现以的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况：下三种情况：1.1.时，时，s s1 1,s s2 2为两个不相等的实根。为两个不相等的实根。2.2.时，时，s s1 1,s s2 2为两个相等的实根。为两个相等的实根。3.3.时，时，s s1 1,s s2 2为共轭复数根。为共轭复数根。当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个当两个特征根为不相等的实数根时，称电路是过阻尼的；当两个特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特

26、征根特征根为相等的实数根时，称电路是临界阻尼的；当两个特征根为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。为共轭复数根时，称电路是欠阻尼的。本讲稿第四十三页，共五十五页GLC并联电路的分析方法完全同并联电路的分析方法完全同RLC串联电路。串联电路。根据对偶性质根据对偶性质RLC：uC L C R US RLC二阶方程解答二阶方程解答GLC：iL C L G IS GLC二阶方程解答二阶方程解答本讲稿第四十四页，共五十五页例例8-7 8-7 电路如图所示，已知电路如图所示，已知G G=3S,=3S,L L=0.25H,=0.25H,C C=0.5F,=0.5F,i iS S(t t)=)=(t t)A)A。

27、求。求t t00时电感电流和电容电压的零状时电感电流和电容电压的零状态响应。态响应。解：根据解：根据G G,L L,C C 的量值，计算出固有频率的量值，计算出固有频率 本讲稿第四十五页，共五十五页利用电容电压的初始值利用电容电压的初始值u uC C(0)=0(0)=0和电感电流的初始和电感电流的初始i iL L(0)=0(0)=0，得到得到以下两个方程以下两个方程 求得常数求得常数K K1 1=-2,=-2,K K2 2=1=1。最后得到电感电流和电容电压。最后得到电感电流和电容电压 这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为这是两个不相等的实根，电感电流的表达式为 本讲稿第四十六页，共五十五

28、页85 一般二阶电路一般二阶电路 除除了了RLC串串联联和和并并联联二二阶阶电电路路以以外外，还还有有很很多多由由两两个个储储能能元元件件以以及及一一些些电电阻阻构构成成的的二二阶阶电电路路。本本节节讨讨论论这这些些电电路路的的分分析析方方法法，关关键键的的问问题题是是如如何何建建立立电电路路的的二二阶阶微微分分方方程以及确定相应的初始条件。程以及确定相应的初始条件。本讲稿第四十七页，共五十五页例例8-9 如如 下下 图图 所所 示示 电电 路路 在在 开开 关关 转转 换换 前前 已已 经经 达达 到到 稳稳 态态，已已 知知uS(t)=6e-3tV，t=0闭闭 合合 开开 关关。试试 求求

29、t 0时时 电电 容容 电电 压压 uC(t)的全响应。的全响应。解：先求出电容电压和电感电流的初始值为解：先求出电容电压和电感电流的初始值为 由此得到由此得到t0的电路如图的电路如图(b)所示。所示。本讲稿第四十八页，共五十五页 以电容电压以电容电压uC(t)和电感电流和电感电流iL(t)为变量，列出两个网孔的为变量，列出两个网孔的KVL方程方程 从这两个微分方程中消去电感电流从这两个微分方程中消去电感电流iL(t)，可以得到以，可以得到以电容电压电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是为变量的二阶微分方程。一种较好的方法是引用微分算子引用微分算子 将以上微分方程变换成代数方

30、程将以上微分方程变换成代数方程 本讲稿第四十九页，共五十五页 用克莱姆法则求得用克莱姆法则求得 将上式改写为将上式改写为 最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的二阶微最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的二阶微分方程分方程 本讲稿第五十页，共五十五页 从特征方程从特征方程 求得特征根，即固有频率为求得特征根，即固有频率为 uC(t)的固有响应为的固有响应为 uC(t)的强制响应为的强制响应为 本讲稿第五十一页，共五十五页 代入微分方程中得到代入微分方程中得到 求得求得B=-9，即强制响应为，即强制响应为uCp(t)=-9e-3t。uC(t)的全响应为的全响应为 现在利用初始条件确定常数

31、现在利用初始条件确定常数K1 和和K2。将。将uC(0+)=6V代入上式代入上式得到得到 本讲稿第五十二页，共五十五页 另外一个初始条件另外一个初始条件 可以从代数方程中求得可以从代数方程中求得 得到得到 反变换得到反变换得到 与与uC(0+),iL(0+),uS(0+)的关系式的关系式 本讲稿第五十三页，共五十五页 联立求解以上两个代数方程可以得到联立求解以上两个代数方程可以得到 最后得到电容电压最后得到电容电压uC(t)的全响应表达式的全响应表达式 从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程变换成从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程变换成代数方程，采用代数运算的方法可以求得微

32、分方程和求解微分方代数方程，采用代数运算的方法可以求得微分方程和求解微分方程所需的初始条件。程所需的初始条件。本讲稿第五十四页，共五十五页 建立二阶微分方程的主要步骤如下：建立二阶微分方程的主要步骤如下：1.以以uC(t)和和iL(t)为变量列出两个电路微分方程。为变量列出两个电路微分方程。2.利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程。利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程。3.联立求解两个代数方程得到解答联立求解两个代数方程得到解答x=P(s)/Q(s),其中其中x表示表示电容电压电容电压uC(t)或电感电流或电感电流iL(t)，P(s),Q(s)是是s的多项式。的多项式。4.将将x=P(s)/Q(s)改写为改写为Q(s)x=P(s)形式，再反变换列出二阶形式，再反变换列出二阶微分方程。微分方程。本讲稿第五十五页，共五十五页