第六节方向导数与梯度精选文档.ppt

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1、第六节方向导数与梯度本讲稿第一页，共三十七页实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行（即梯度方

2、向）爬行一、问题的提出一、问题的提出本讲稿第二页，共三十七页二、方向导数的定义二、方向导数的定义回顾函数回顾函数 在点在点 处关于处关于的偏导数定义：的偏导数定义：本讲稿第三页，共三十七页（如图）（如图）讨论函数讨论函数 在一点在一点 沿任意方沿任意方向的变化率问题就是方向导数问题向的变化率问题就是方向导数问题本讲稿第四页，共三十七页当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，是否存在？是否存在？本讲稿第五页，共三十七页1、方向导数的定义、方向导数的定义本讲稿第六页，共三十七页 依定义，函数依定义，函数 在点在点 沿着沿着 轴正向轴正向 、轴正向轴正向 的方向导数分别的方向导数分别为为 .沿着沿着 轴负

3、向、轴负向、轴负向的方向导数轴负向的方向导数分别是：分别是：.本讲稿第七页，共三十七页2、方向导数的计算、方向导数的计算本讲稿第八页，共三十七页证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为本讲稿第九页，共三十七页注：注：(1)仅由函数在一点可偏导，未必可推出函数在该仅由函数在一点可偏导，未必可推出函数在该点处沿各方向的方向导数存在点处沿各方向的方向导数存在.此例同时也说明函数在一点连续也未必能推出此例同时也说明函数在一点连续也未必能推出函数在该点处沿各方向的方向导数都存在函数在该点处沿各方向的方向导数都存在.本讲稿第十页，共三十七页(2)函数在一点处沿各方向的方向导数都存在

4、，函数在一点处沿各方向的方向导数都存在，也未必在该点处连续也未必在该点处连续.此例同时也说明函数可微并不是函数沿任一方向的此例同时也说明函数可微并不是函数沿任一方向的方向导数存在的必要条件方向导数存在的必要条件.本讲稿第十一页，共三十七页解解这里方向这里方向 即为即为 ,本讲稿第十二页，共三十七页3、方向导函数方向导函数 若若 在区域在区域 内任何一点方向内任何一点方向 的的方向导数都存在，则方向导数都存在，则 是是 上的一个函数，上的一个函数，称为称为方向导函数方向导函数.本讲稿第十三页，共三十七页4、推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义本讲稿第十四页，共三十七页本讲

5、稿第十五页，共三十七页本讲稿第十六页，共三十七页*5、方向导数的几何意义：方向导数的几何意义：是函数是函数 沿方向沿方向 的变化率的变化率,本讲稿第十七页，共三十七页*6、二阶方向导数二阶方向导数如果如果 在在 沿沿 仍有方向导数仍有方向导数 ,就把它称为就把它称为 在在 沿沿 的的二阶方向二阶方向导数导数并记作并记作 .本讲稿第十八页，共三十七页本讲稿第十九页，共三十七页二阶方向导数几何意义：二阶方向导数几何意义：，则说明在，则说明在 的近旁的近旁 的的切线斜率沿切线斜率沿 方向单调增加，曲线为下凸；方向单调增加，曲线为下凸；，的切线斜率沿的切线斜率沿 方向单调减少，曲线方向单调减少，曲线为

6、上凸为上凸.本讲稿第二十页，共三十七页三、梯度的概念三、梯度的概念1、定义、定义本讲稿第二十一页，共三十七页方向：方向：f(x,y)变化率最大的方向变化率最大的方向模模:f(x,y)的最大变化率之值的最大变化率之值本讲稿第二十二页，共三十七页2、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系2)在点在点 处沿与梯度处沿与梯度 垂直方向的方向导数等于零垂直方向的方向导数等于零.3)在点在点 沿方向沿方向 的方向导数等于梯度的方向导数等于梯度在方向在方向 上的投影上的投影.本讲稿第二十三页，共三十七页在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy

7、面上投影如图面上投影如图等高线等高线梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量本讲稿第二十四页，共三十七页3、梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值最大值.本讲稿第二十五页，共三十七页解解由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故本讲稿第二十六页，共三十七页4、梯度应用实例、梯度应用实例本讲稿第二十七页，共三十七页1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、

8、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）五、小结五、小结本讲稿第二十八页，共三十七页1、方向导数的概念方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）五、小结五、小结二元函数二元函数 f(x,y)在点在点 P(x,y)沿方向沿方向 (方向方向角为角为 )的方向导数为的方向导数为:三元函数三元函数 f(x,y,z)在点在点 P(x,y,z)沿方向沿方向 (方方向角为向角为 )的方向导数为的方向导数为:本讲稿第二十九页，共三十七页2、梯度的概念梯度的概念（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）二元函数二元函数 f(x,y)在点在点 P(x,y)的梯度为的梯度为:三元函数三元函数 f(x,y,z)在点在点 P(x,y,z)的梯度为的梯度为:本讲稿第三十页，共三十七页3.关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在可微可微梯度在方向梯度在方向 上的投影上的投影.本讲稿第三十一页，共三十七页思考题思考题本讲稿第三十二页，共三十七页思考题解答思考题解答本讲稿第三十三页，共三十七页本讲稿第三十四页，共三十七页练练 习习 题题本讲稿第三十五页，共三十七页本讲稿第三十六页，共三十七页练习题答案练习题答案本讲稿第三十七页，共三十七页