第四章导数的应用精选文档.ppt

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1、第四章导数的应用本讲稿第一页，共四十三页一、函数单调性的判别法一、函数单调性的判别法定理定理定理中的区间换成其它有限或无限区间，结定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立论仍然成立.本讲稿第二页，共四十三页例例1 1解解本讲稿第三页，共四十三页例例2 2 讨论函数讨论函数的单调性。的单调性。注：注：导数为零的点和不可导的点都有可能导数为零的点和不可导的点都有可能成为函数单调区间的分界点成为函数单调区间的分界点。本讲稿第四页，共四十三页注注:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来一区间上的符

2、号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性判别一个区间上的单调性例如例如,注：注：若若f (x)在某区间内的孤立点处为零（或不存在），在某区间内的孤立点处为零（或不存在），而在其余各点均为正（或均为负），则而在其余各点均为正（或均为负），则f(x)在该区间内在该区间内仍旧是单调增加（或单调减少）的。仍旧是单调增加（或单调减少）的。本讲稿第五页，共四十三页本讲稿第六页，共四十三页例例 证明证明 当当x 0时，时，因为仅在孤立点因为仅在孤立点x=2n（n为正整数）处为正整数）处令令 证证:f (x)=0，故故f(x)在在0,+)上单调增加。上单调增加。从而当从而当x 0时时，f(x

3、)f(0)=0，即即x sinx 0，于是于是x sinx.本讲稿第七页，共四十三页例例证证本讲稿第八页，共四十三页证明：证明：例例本讲稿第九页，共四十三页解解:设设则则本讲稿第十页，共四十三页由闭区间上连续函数的零值定理由闭区间上连续函数的零值定理本讲稿第十一页，共四十三页二、函数极值的定义二、函数极值的定义本讲稿第十二页，共四十三页定义定义函数的极大值与极小值统称为极值函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极使函数取得极值的点称为极值点值的点称为极值点.本讲稿第十三页，共四十三页三、函数极值的求法三、函数极值的求法定理定理2 2(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,本讲稿第十

4、四页，共四十三页例例解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.本讲稿第十五页，共四十三页定理定理3(3(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)本讲稿第十六页，共四十三页求极值的步骤求极值的步骤:(不是极值点情形不是极值点情形)本讲稿第十七页，共四十三页例例解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值本讲稿第十八页，共四十三页图形如下图形如下本讲稿第十九页，共四十三页定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件)证证同理可证同理可证(2).本讲稿第二十页，共四十三页例例解解图形如下图形如下本讲稿第二十一页，共四十三页注意注意:本讲稿第二十二

5、页，共四十三页本讲稿第二十三页，共四十三页解解:因为因为 根据局部保号性定理知根据局部保号性定理知,存在存在0点的某个去心邻域点的某个去心邻域,在此邻域内有在此邻域内有 ,所以有所以有 本讲稿第二十四页，共四十三页小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极极小值可能大于极大值小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)本讲稿第二十五页，共四十三页四、最值的求法四、最值的求法

6、本讲稿第二十六页，共四十三页最大值、最小值问题的步骤：最大值、最小值问题的步骤：（2）计算区间端点处的函数值；）计算区间端点处的函数值；求连续函数求连续函数f(x)在在a,b上的最大值与最小值：上的最大值与最小值：（1）计算函数驻点与不可导点处的函数值；）计算函数驻点与不可导点处的函数值；（3）对以上两类函数值进行比较即得。）对以上两类函数值进行比较即得。本讲稿第二十七页，共四十三页例例1 1解解计算计算本讲稿第二十八页，共四十三页比较得比较得本讲稿第二十九页，共四十三页2.2.如果函数如果函数 f(x)区间区间 X 上连续上连续,若若 f(x)在在 X 上只有上只有一个极值一个极值,则这个极

7、值就是最值则这个极值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)本讲稿第三十页，共四十三页注注1：一般地说，若函数一般地说，若函数f(x)的最大的最大(小小)值是在区间值是在区间(a,b)内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值，内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值，注注2：在实际问题中，往往根据问题的性质，就可在实际问题中，往往根据问题的性质，就可 断定断定可导函数可导函数f(x)在其区间内部确有最大值（或最小值），在其区间内部确有最大值（或最小值），此时，如果确定此时，如果确定f(x)在这个区间内部只有一个驻点在这个区间内部只有一个驻点x0（或导数不存在的点），（或导数不存在的点），那么

8、，这个点就是函数的最值点那么，这个点就是函数的最值点本讲稿第三十一页，共四十三页本讲稿第三十二页，共四十三页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟的速度向分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东处向正东追击，追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？本讲稿第三十三页，共四十三页解解(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系敌我相距函数敌我相距函数得唯一驻点得唯一驻点本讲稿第

9、三十四页，共四十三页实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;本讲稿第三十五页，共四十三页例例5 5某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租金元时，公寓会全部租出去当租金每月增加每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解设房租为每月设房租为每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每

10、月总收入为每月总收入为本讲稿第三十六页，共四十三页（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为本讲稿第三十七页，共四十三页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例6 6本讲稿第三十八页，共四十三页解解如图如图,本讲稿第三十九页，共四十三页解得解得本讲稿第四十页，共四十三页本讲稿第四十一页，共四十三页小结小结注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.本讲稿第四十二页，共四十三页思考题思考题结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例在在 有最小值，但有最小值，但本讲稿第四十三页，共四十三页