2022年点线面关系知识总结和练习题有答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点线面位置关系总复习学问梳理一、直线与平面平行1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点；（2）判定定理：a b/ /ba/ /a（3）其他方法：a/ /a/ /a/ /a/ /b2.性质定理：ab二、平面与平面平行1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点；（2）判定定理：a/ / /b/ /ab（3）其他方法：abP/ /; a/ / /aa/ / /2.性质定理：aa/ /bb三、直线与平面垂直（1）定义：假如一条直线与一个平面内的全部直线都垂直,就这条直线和这个平面垂直；（2）判定方法用定义 . 第 1 页,共 14

2、页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 判定定理 :abAa学习必备欢迎下载acbcbc推论 :a/ /bba（3）性质a baba ba/ /b四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交,假如它们所成的二面角是直线二面角,就说这两个平面相互垂直；（2）判定定理a a（3）性质性质定理alAAlPallP A垂足为lPPAPA“ 转化思想”面面平行线面平行线线平行第 2 页,共 14 页面面垂直线面垂直线线垂直名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求二面角1.找出垂直于棱的

3、平面与二面角的两个面相交的两条交线 ,它们所成的角就是二面角的平面角 . 2.在二面角 的棱上任取一点 O,在两半平面内分别作射线 OAl,OB l,就 AOB叫做二面角的平面角例 1如图,在三棱锥 S-ABC中,SA 底面 ABC,AB BC,DE垂直平分 SC,且分别交 AC于 D,交 SC于 E,又 SA=AB,SB=BC,求以 BD 为棱,以 BDE和 BDC为面的二面角的度数；求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线,与线面交点相连,利用直角三角形有关学问求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角；例 1：在

4、棱长都为 1 的正三棱锥 SABC中,侧棱 SA与底面 ABC所成的角是 _例 2：在正方体 ABCDA1B1C1D1中,BC1与平面 AB1 所成的角的大小是_；60 ,试求 OA 与平面 BOC所成的角的大小第 3 页,共 14 页BD1 与平面 AB1 所成的角的大小是_；CC1与平面 BC1D所成的角的大小是_；BC1 与平面 A1BCD1所成的角的大小是_；BD1 与平面 BC1D所成的角的大小是_；例 3：已知空间内一点O 动身的三条射线OA、OB、OC 两两夹角为名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求线线距离

5、说明： 求异面直线距离的方法有：1（直接法）当公垂线段能直接作出时,直接求此时,作出并证明异面直线的公垂线段,是求异面直线距离的关键b 与2（转化法）把线线距离转化为线面距离,如求异面直线a 、 b 距离,先作出过a 且平行于 b 的平面,就距离就是 a 、 b 距离（线面转化法） （面面也可以转化为过a 平行 b 的平面和过 b 平行于 a 的平面,两平行平面的距离就是两条异面直线距离转化法）3（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求4（构造函数法）经常利用距离最短原理构造二次函数,利用求二次函数最值来解两条异面直线间距离问题,教科书要求不高（要求会运算已给出公垂线时的距离）,这

6、方面的问题的其他解法,要适度接触,以开阔思路,供学有余力的同学探求例： 在棱长为a的正方体中,求异面直线BD 和B1C之间的距离；线面平行（包括线面距离）例 ：已知点 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,且 SA SB SC, SG为 SAB上的高, D 、 E 、 F分别是 AC 、 BC 、 SC的中点,试判定 SG与平面 DEF 内的位置关系,并赐予证明面面平行（包括面面距离）例 1：已知正方体ABCDA B C D 1,求证平面B AD1/ /平面BC D第 4 页,共 14 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2：在棱

7、长为 a 的正方体中,求异面直线学习必备欢迎下载BD 和B1 C之间的距离面面垂直例 1：已知直线 PA垂直正方形 ABCD所在的平面, A 为垂足；求证：平面 PAC 平面 PBD；例 2：已知直线 PA垂直于 O 所在的平面, A 为垂足, AB 为 O 的直径, C 是圆周上异于 A、B 的一点；求证：平面 PAC 平面 PBC；课后作业：一、挑选题1.教室内任意放一支笔直的铅笔,就在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线 A. 平行B.相交C.异面D.垂直2.如 m、n 是两条不同的直线,、 、 是三个不同的平面,就以下命题中的真命题是A. 如 m. ,就 m 名师归纳总结 - - -

8、 - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载B. 如 m, n,m n,就 C.如 m, m ,就 D.如 ,就 3.改编题 设 P 是 ABC 所在平面外一点,P 到 ABC 各顶点的距离相等,而且 P 到 ABC 各边的距离也相等,那么ABC A. 是非等腰的直角三角形 B. 是等腰直角三角形 C.是等边三角形 D.不是 A、B、C 所述的三角形4.把等腰直角ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角BADC,就 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 A.2B.2C.1D.3235.如图,已知ABC 为直角三角形,其中ACB90

9、,M 为 AB 的中点, PM 垂直于ACB 所在平面,那么 A. PAPBPC B.PAPBPC C.PAPBPC D.PA PB PC二、填空题：6. 正四棱锥 SABCD 的底面边长为 2,高为 2,E 是边 BC 的中点, 动点 P 在表面上运动, 并且总保持 PEAC,就动点 P 的轨迹的周长为 . 7. 、 是两个不同的平面,m、n 是平面 及 之外的两条不同直线,给出四个论断： mn；n； m . 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题：. 三、解答题11.如图 1,等腰梯形 ABCD 中, AD BC,ABAD, ABC60, E 是 BC 的中

10、点,如图 2,将 ABE 沿 AE 折起,使二面角 BAEC 成直二面角,连接 BC,BD, F 是 CD 的中点, P 是棱 BC 的中点 . 1求证： AEBD；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12. 学习必备欢迎下载2求证：平面PEF平面 AECD ；AB PC的中点；3判定 DE 能否垂直于平面ABC？并说明理由 . 如图,已知PA矩形ABCD所在平面；M N分别是（）求证：MN 面 PAD（ ）求证：MN CD（ ）如 PDA 45 , O 求证：MN 面 PCD12.如下列图,已知BCD 中, BCD

11、90,BCCD 1,AB平面 BCD, ADB60,E、F 分别是 AC、AD上的动点,且AE ACAF AD01. AB、 CD 的中点, EP平面 ABCD . 1求证：不论 为何值,总有平面BEF平面 ABC；2当 为何值时,平面BEF平面 ACD？13.如图,在矩形ABCD 中, AB2BC,P、Q 分别为线段名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1求证： DP平面 EPC；2 问在 EP上是否存在点F 使平面 AFD平面 BFC？如存在,求出FP AP的值 .参考答案名师归纳总结 - - -

12、 - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求二面角分析 :找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角. 解：在 Rt SAC中, SA=1,SC=2 ECA=30 ,在 Rt DEC中, DEC=90 EDC=60, 所求的二面角为 60 ；求线线距离解法 1：（直接法）如图：取BC的中点 P ,连结 PD 、PB 分别交 AC 、BC 于 M 、 N 两点,易证：DB /MN,DB1AC,DB 1BC 1MN1DB13aBC 的公垂线段,易证：MN为异面直线A

13、C与33小结： 此法也称定义法,这种解法是作出异面直线的公垂线段来解但通常查找公垂线段时,难度较大解法 2：（转化法）如图：名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载AC / 平面 A 1 C 1 B,AC与 BC 的距离等于 AC 与平面 A 1 C 1 B 的距离,在 Rt OBO 1 中,作斜边上的高 OE ,就 OE 长为所求距离,OB2 2 a,OO1 a,O 1 B 32 a,OE OOO 11 B OB3 3a小结： 这种解法是将线线距离转化为线面距离解法 3：（转化法）如图：平面ACD /

14、 平面A 1C 1B,AC与 BC 的距离等于平面 ACD 与平面 A 1 C 1 B 的距离DB 1 平面 ACD ,且被平面 ACD 和平面 A 1 C 1 B 三等分；1 3B 1 D a所求距离为 3 3小结： 这种解法是线线距离转化为面面距离解法 4：（构造函数法）如图：任取点QBC 1,作QRBC于 R 点,作PKAC于 K 点,设RCx,就BRQRax,CKKR,且KR2CK2CR2第 10 页,共 14 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距KR21CR21x22

15、2就QK21x2ax223x2a21a21a2,2333故QK的最小值,即AC 与BC 的距离等于3a3小结： 这种解法是恰当的挑选未知量,构造一个目标函数,离解法 5：（体积桥法）如图：当求AC与BC 的距离转化为求AC 与平面A 1 C 1B的距离后,设C点到平面A 1C 1B的距离为h,就VCA 1C 1BVA 1BCC13a1h32a 21a1a2,3432h3a即AC与BC 的距离等于33小结： 本解法是将线线距离转化为线面距离,再将线面距离转化为锥体化为锥体的高,然后用体积公式求之这种方法在后面将要学到线面平行例：分析 1：如图,观看图形,即可判定SG/平面 DEF ,要证明结论成

16、立,只需证明SG与平面 DEF 内的一条直线平行观看图形可以看出：连结CG 与 DE 相交于 H ,连结 FH , FH 就是适合题意的直线第 11 页,共 14 页怎样证明SG/FH？只需证明H 是CG的中点名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载证法 1：连结CG交 DE 于点 H , DE 是ABC的中位线,DH /AG,DE /AB在ACG 中, D 是 AC 的中点,且 H 为CG的中点FH是 SCG的中位线,FH / SG又SG 平面 DEF , FH 平面 DEF ,SG / 平面 DEF 分析 2：要证明 SG

17、 / 平面 DEF ,只需证明平面 SAB / 平面 DEF ,要证明平面 DEF/平面SAB,只需证明SA/ DF,SB/ EF 而 SA/ DF,SB/ EF 可由题设直接推出证法 2：EF为 SBC的中位线,EF / SBEF 平面SAB,SB 平面SAB,EF / 平面SAB同理：DF / 平面 SAB,EF DF F,平面SAB /平面 DEF ,又SG 平面SAB,SG / 平面 DEF 面面平行例一：证明： ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,第 12 页,共 14 页D 1A/C 1B,又C1B平面C1BD,故D 1A/平面C1BD名师归纳总结 - - - - - -

18、-精选学习资料 - - - - - - - - - 同理D 1B 1/平面C1BD学习必备欢迎下载又D 1AD 1B 1D 1, 平面AB 1D 1/平面C1BD例二：依据正方体的性质,易证：BD/B 1D 1平面A 1BD/平面CB 1D 1ACBDA 1B/D 1C连结AC ,分别交平面A1BD和平面CB 1D 1于 M 和N由于CC 和AC 分别是平面ABCD 的垂线和斜线,AC 在平面 ABCD 内,由三垂线定理：AC1BD,同理：AC 1A 1DAC 1平面A1BD,同理可证：AC 1平面CB 1D 1平面A1 BD和平面CB 1D 1间的距离为线段MN 长度如下列图：在对角面AC

19、中,O 为A 1C 1的中点,O为AC的中点AMMNNC11AC13a和CB 1D 1的距离为3a33BD和B1 C的距离等于两平行平面A1BD3面面垂直例 1：名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 2：AB是圆 O的直径C是圆周上异于 A、 B的一点BCACBC平面 PAC平面 PAC平面 PBC；PA平面 ABCBCPABC平面 ABC平面 PACBC平面 PBCAC平面 PAC,PAACPAA作业：一、挑选题：1. D 2. C 3. C 4. B 5. C 6.解析：如图,取 CD 的中点 F、SC的中点 G,连接 EF,EG, FG,EF交 AC于点 H,易知 ACEF,又 GH SO,GH平面 ABCD,ACGH, AC平面 EFG,故点 P 的轨迹是 EFG,其周长为26.7. . ；. 第 14 页,共 14 页名师归纳总结 - - - - - - -