2022年空间向量及其运算.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载空间向量及其运算【基础学问必备】一、必记学问精选1. 空间向量的定义1 向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 . 2 向量的表示有三种形式：a, AB ,有向线段 . 2. 空间向量的加法、减法及数乘运算 . 1 空间向量的加法 . 满意三角形法就和平行四边形法就,可简记为 : 首尾相连,由首到尾. 求空间如干个向量之和时,可通过平移将它们转化为首尾相接的向量 . 首尾相接的如干个向量如构成一个封闭图形,就它们的和为 0,即 A 1A 2 +

2、A 2A 3 +An A 1 =0. 2 空间向量的减法 . 减法满意三角形法就 , 让减数向量与被减数向量的起点相同 , 差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点 , 可简记为“ 起点相同 , 指向肯定”, 另外要留意OA - OB = BA的逆应用 . 3 空间向量的数量积 . 留意其结果仍为一向量 . 3. 共线向量与共面对量的定义 . 1 假如表示空间向量的有向线段在直线相互平行或重合, 那么这些向量叫做共线向量或平行向量 . 对于空间任意两个向量a,b b 0 ,a ba=b, 如A、B、P三点共线 , 就对空间任意一点 O, 存在实数 t, 使得 OP =1-tOA +t OB

3、, 当t=1 时,P是线段 AB的中点 , 就中点公式 2为 OP =1 OA +OB . 22 假如向量 a所在直线 OA平行于平面 或a在 内, 就记为 a , 平行于同一个平面的向量 , 叫作共面对量,空间任意两个向量,总是共面的. 假如两个向量 a、b不共线 . 就向量 p与向量 a、b共面的充要条件是存在实数对x、y. 使p=xa+yb . 对于空间任一点O和不共线的三点A、B、C, A、B、C、P共面的充要条件是OP =x OA +y OB +z OC （其中 x+y+z=1 ）. 共面对量定理是共线向量定理在空间中的推广,共线向量定理证三点共线,共面对量定理证四点共面 . 4.

4、空间向量基本定理假如三个向量 a、b、c不共面, 那么对空间任一向量p,存在一个惟一的有序实数组x、y、z,使 p=xa+yb+zc. 特殊的,如 a、b、c不共面,且 xa+yb+zc=O,就 x=y=z=0. 常以此列方程、求值 . 由于 0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共 第 1 页,共 16 页 - - - - - - - - - 面,隐含着三向量都不是0. 空间任意三个不共面对量都可以作为空间向量的一个基底. 要注意,一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一向量. 5. 两个向量的数量积. ab=| a| | b| cos（a,b ）,性

5、质如下：（1）ae=|a| cos；（ 2）abab=0. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）| a|2=a优秀教案欢迎下载a；（ 4）| a| | b| a b. 二、重点难点突破（一）重点空间向量的加法、减法运算法就和运算律；空间直线、 平面对量参数方程及线段中点的向量公式 . 空间向量基本定理及其推论,两个向量的数量积的运算方法及其应用 . （二）难点空间作图, 运用运算法就及运算律解决立体几何问题,把立体几何问题转化为向量运算问题 . 两个向量

6、数量积的几何意义以及对于重点学问的学习要挖掘其内涵,如从向量等式的学习中可以挖掘出：（1）向量等式也有传递性；（2）向量等式两边加（减）相同的量,仍得等式 . 即“ 移项法就” 仍成立； （3）向量等式两边同乘以相等的数或点乘相等的向量,仍是等式 . 这样知识把握更加深刻 . 用空间向量解决立体几何问题 . 一般可以按以下过程进行摸索：（1）要解决的问题可用什么向量学问来解决 .需要用到哪些向量？（2）所需要的向量是否已知？如未知,是否可用已知条件转化成的向量直接表示？（3）所需要的向量如不能直接用已知条件转化为向量表示, 就它们分别易用哪个未知向量表示？这些未知向量与已知条件转化而来的 向量

7、有何关系？4 怎样对已经表示出来的所需向量进行运算,才能得到所需要的结论 . 三、易错点和易忽视点导析两个向量的夹角应留意的问题：（ a,b）=（b,a）；（ a,b ）与表示点的符号 （a,b ）不同 ; 如图 9-5-1a 中的 AOB=. 图b 中的 AOB= -（ AO ,OB ）,= - （ AO , OB ）. 【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思维点拨【例 1】 已知两个非零向量e1、e2不共线,假如AB =e1+e2, AC =2e1+8e2, AD =3e1-3 e2.求证： A、B、C、D共面 . 思维入门指导：要证 A、B、C、D四点共面,只要能证明三向量 AB 、

8、AC 、 AD 共面,于是只要证明存在三个非零实数、 、 使 AB + AC + AD =0即可 . 证明 : 设 e1+e2+ 2 e1+8e2+ 3 e1-3 e2=0. 就 +2 +3 e 1+ +8 -3 e 2=0. e1、e2不共线,细心整理归纳 精选学习资料 230,而=-5, =1, =1就是其中的一组 ,于是可知 第 2 页,共 16 页 830.上述方程组有很多多组解 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载-5 A

9、B + AC + AD =0. 故 AB 、 AC 、 AD 共面,所以 A、B、C、D四点共面 . 点拨：查找到三个非零实数 待定系数法 . 二、应用思维点拨=-5, =1, =1使三向量符合共面对量基本定理的方法是【例 2】 某人骑车以每小时 公里的速度向东行驶,. 感到风从正北方向吹来,而当速度为2 时,感到风从东北方向吹来. 试求实际风速和风向思维入门指导：速度是矢量即为向量 解,求风速和风向实质是求一向量 . . 因而此题先转化为向量的数学模型,然后进行求解: 设a表示此人以每小时 公里的速度向东行驶的向量. 在无风时 , 此人感到风速为-a,设实际风速为 v, 那么此人感到的风速向

10、量为v-a . 如图 9-5-2. 设 OA =- a, OB =-2 a. 由于PO + OA = PA , 从而 PA =v-a . 这就是感受到的由正北方向吹来的风 . 其次,由于PO + OB = PB ,从而 v-2 = PB . 于是,当此人的速度是原先的 风就是 PB . 2倍时感受到由东北方向吹来的由题意 , 得 PBO=45 , PABO, BA=AO,从而PBO为等腰直角三角形. 故PO=PB= 2 . 即|v|=2 . 答：实际吹来的风是风速为2 的西北风 . 点拨：向量与物理中的矢量是同样的概念,因而物理中的有关矢量的求解运算在数学上可化归到平面对量或空间向量进行运算求

11、解 . 学问的交叉点正是高考考查的重点,也能表达以才能立意的高考方向 . 三、创新思维点拨【例 3】 如图 9-5-31,已知 E、F、G、H分别是空间四边形ABCD边 AB、BC、CD、DA的中点. （1）用向量法证明 E、F、G、 H四点共面；细心整理归纳 精选学习资料 （2）用向量法证明BD 平面 EFGH. 第 3 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载思维入门指导 :1 要证 E、F、G、H四点共面,依据共

12、面对量定理的推论,只要能找到实数x,y, 使 EG =x EF +y EH 即可 ;2 要证 BD 平面 EFGH,只需证向量BD 与 EH 共线即可 . 证明 :1 如图 9-5-32,连结 BG,就EG = EB + BG = EB + 2 1 BC + BD = EB + BF + EH = EF + EH . 由共面对量定理推论知,E、F、G、H四点共面 . 2 EH = AH - AE =1AD -1 AB = 21 AD - AB = 21 BD , 22EH BD. 又EH 面EFGH,BD 面EFGH, BD 平面 EFGH. 点拨： 利用向量证明平行、共面是创新之处,比较以前

13、纯几何的证明,显而易见用向量证明比较简洁明快 . 这也正是几何问题争论代数化的特点 . 【例 4】 如图 9-5-4 ,在正方体 ABCD A1B1C1D1中, E为D1C1的中点,试求 A1C1与 DE所成角 . 思维入门指导：在正方体AC1中,要求 A1C1与DE所成角 , 只需求A 1C 1与 DE 所成角即可 . 要求A 1C 1与 DE 所成角,就可利用向量的数量积,只要求出A 1C1 DE 及|A 1C 1| 和| DE | 即可 . 第 4 页,共 16 页 - - - - - - - - - 解: 设正方体棱长为m, AB =a, AD =b,AA =c. 就| a|=| b|

14、=| c|=m,ab=b c=ca=0. 又A 1C1=A 1B1+B 1C1= AB + AD =a+b, DE =DD1+D1E=DD11 + 2D1C1=c+ 2 1 a, A 1C1DE =a+bc+1 a= a c+b2c+1 a 22+1 a2b=1 a 22=1 m 2. 2又 |A 1C 1|=2 m,| DE |=5 m, 2cos=|A 1C 1DE|=21m2m=10 . 102A 1C1|DEm52=arccos10 . 即A1C1与DE所成角为 arccos 1010 . 10点拨：A1C1与DE为一对异面直线. 在以前的解法中求异面直线所成角要先找（作）,后求 .而

15、应用向量可以不作或不找直接求. 简化明白题过程,降低明白题的难度. 解题过程中先把A 1C1及 DE 用同一组基底表示出来, 再去求有关的量是空间向量运算常用的手段. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载四、高考思维点拨【例 5】 （2000,全国, 12分）如图 9-5-5 ,已知平行六面体 是菱形,且 C1CB=C1CD=BCD. 1 求证： C1CBD；2 当CD 的值为多少时 , 能使 A1C平面 C1BD.请给出证明 . CC 1A

16、BCD一A1B1C1D1的底面 ABCD思维入门指导：依据两向量的数量积公式 ab=| a| | b|cos知,两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为 0, 即 ab ab=0, 所以要证明两直线垂直 , 只要证明两直线对应的向量数量积为零即可 . 1 证明 : 设 CD =a, CB =b, CC =c. 由题可知 | a|=| b|. 设 CD 、 CB 、CC 中两两所成夹角为 , 于是 BD = CD - CB =a- b, CC BD =c a- b= ca- c b=| c| |a|cos-| c | |b|cos =0, C1CBD. 2 解: 如使 A1C平面 C1BD,只须

17、证 A1CBD,A1CDC1, 由于 : | CA C1D= CA +AA CD -CC = a+b+c a- c=| a|2+ab- bc-| c|2=| a|2+| b| a| cos-| b| | c|cos-| c|2=0, 得当| a|=| c| 时A1C DC1. 同理可证当 | a|=| c| 时,A 1C BD. CD =1时 ,A 1C平面 C1BD. CC 1. 点拨：对于向量数量积的运算一些结论仍是成立的（a- b） （ a+b）=a2- b 2； a b2=a2 2 ab+b 2. 五、经典类型题思维点拨【例 6】 证明：四周体中连接对棱中点的三条直线交于一点,且相互平

18、分 . （此点称为四周体的重心）思维入门指导：如图 9-5-6 所示四周体 ABCD中,E、F、G、H、P、Q分别为各棱中点 . 要证明EF、GH、PQ相交于一点 O,且 O为它们的中点 . 可以先证明两条直线 EF、GH相交于一点 O,然后证明 P、 O、Q三点共线,即OP 、 OQ 共线 . 从而说明 PQ直线也过 O点. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载证明： E、G分

19、别为 AB、AC的中点,EG1 BC.同理 HF21 BC. EG HF. 2从而四边形 EGFH为平行四边形,故其对角线 连接 OP、OQ. EF、GH相交于一点 O,且 O为它们的中点, OP =OG + GP , OQ = OH + HQ , 而O为GH的中点, OG +OH =0,GP1 CD,QH1 CD. 2 2 GP = 12 CD , QH = 2 1CD . OP +OQ = OG +OH + GP + HQ =0+ 1 CD - 2 1 CD =0. OP =- OQ . PQ经过 O点,且 O为PQ的中点 . 点拨 : 本例也可以用共线定理的推论来证明, 事实上 , 设E

20、F的中点为 O. 连接 OP、 OQ,就FQ = EQ - EF , 而 EQ = 2 1 AC =- FP , EF =-2 FO , 就 FQ =- FP +2 FO , FO = 2 1 FQ + FP ,从而看出 O、P、Q三点共线且 O为PQ的中点,同理可得 命题得证 . 六、探究性学习点拨GH边经过 O点且 O为 GH的中点,从而原【例 7】 如图 9-5-7 所示,对于空间某一点 O,空间四个点 A、B、C、 D（无三点共线）分别对应着向量 a= OA ,b= OB , c=OC , d= OD . 求证： A、 B、C、D四点共面的充要条件是存在四个非零实数 、 、 、 ,使

21、a+ b+ c+ d=0,且 + + + =0. 思维入门指导：分清充分性和必要性,应用共面对量定理 . 证明： 必要性 假设 A、 B、C、D共面,由于 A、B、C三点不共线,故AB , AC 两向量不 第 6 页,共 16 页 - - - - - - - - - 共线,因而存在实数x、y,使 AD =x AB +y AC , 即d-a=x b- a+y c- a, x+y -1 a- xb-yc+d=0.令 =x+y-1, =-x, =-y, =1. 就 a+ b+ c+ d=0, 且 + + + =0. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

22、-名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载（充分性）假如条件成立,就 =- + + , 代入得 a+ b+ c+ d= a+ b+ c- + + d=0. 即 a-d+ b-d+ c-d=0. 又a -d= OA - OD = DA ,b-d= DB ,c-d= DC , DA + DB + DC =0. 、 、 为非零实数 , 不妨设 0. 就 DC =-DA -DB . DC 与 DA 、 DB 共面,即 A、B、C、 D共面 . 点拨：在争论向量共线或共面时,必需留意零向量与任意向量平行,. 并且向量可以平移,因而不能完全依

23、据它们所在直线的平行性、共面关系来确定向量关系【同步达纲训练】A卷: 教材跟踪练习题（60分 45 分钟）一、挑选题（每道题 5分,共 30分）1. 点O、A、B、C为空间四个点,又 确的是（）OA 、 OB 、 OC 为空间一个基底,就以下结论不正A. O、A、B、C四点不共线 B. O、A、B、C四点共面,但不共线p是命 第 7 页,共 16 页 C. O、A、B、C四点中任三点不共线 D. O、A、B、C四点不共面2. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中, 以下各式中运算的结果为的共有 （ AB + BC ）+CC1（AA +A 1D1）+D1C1（ AB +BB ）+B1C1（AA

24、+A 1B1） +B 1C1A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个3. 设命题 p：a、b、c是三个非零向量; 命题 q： a, b, c 为空间的一个基底,就命题题q的（）AD =0,A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4. 设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满意 AB AC =0, AC AD =0, AB 就 BCD是（）A. 钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定5. 以下命题中,正确选项（）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳

25、总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载A. 如a与b共线,就 a与 b所在直线平行 B. 如a 平面 ,a所在直线为 a,就 a C.如 a,b,c 为空间的一个基底,就 a-b,b-c,c-a 构成空间的另一个基底D.如 OP = 1 OA + 2 1 OB , 就P、 A、B三点共线6. 如a=e1+e2+e3,b=e1- e2- e3,c=e1+e2,d=e1+2e23e3,且 d=xa+yb+zc,就x、y、z分别为（）5 , 21 ,1 2A.5 ,-21 ,-1 B. 2C.-5 , 21 ,1 D. 25 ,-21 ,1

26、2二、填空题（每道题4分,共 16分）7. 设向量 a与b相互垂直,向量 c与它们构成的角都是60 ,且 | a|=5 ,| b|=3 ,| c|=8 ,那么（ a+3c） （ 3b-2 a）；（ 2a+b-3 c）2= . 3 ,就A 1A 2+A2A3+ +An1An在向8. 已知向量A1A n=2a,a与 b的夹角为 30 ,且 |a|=量b的方向上的射影的模为 . 9. 如图 9-5-8 ,已知空间四边形OABC,其对角线为 OB、AC,M是边 OA的中点 ,G是 ABC的重心,就用基向量OA 、 OB 、 OC 表示向量 MG 的表达式为 . 4 OB + 3OC , 就10. 已知

27、 P、A、B、C四点共面且对于空间任一点O都有 OP =2OA += . 三、解答题（每道题 7分,共 14分）11. 如图 9-5-9 ,已知点 O是平行六面体 ABCDA1B1C1D1体对角线的交点,点 P是空间任意 一点 . 求证： PA + PB + PC + PD +PA +PB +PC +PD =8 PO . 12. 如图 9-5-10 ,已知线段 AB在平面 内,线段 AC ,线段 BDAB,且与 所成角是 30 . 假如 AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离 . B卷: 综合应用创新练习题（ 90分 90 分钟）一、学科内综合题 10 分 1. 如图 9-5-11 所示,

28、已知 ABCD,O是平面 AC外一点,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -OA =2OA ,OB =2 OB ,OC =2OC , 优秀教案欢迎下载OD =2 OD . 求证： A1、B1、C1、D1四点共面 . 二、应用题（ 10分）2. 在 ABC中,C=60 ,CD为 C的平分线 ,AC=4,BC=2,过B作BNCD于N延长交 CA于 E,将 BDC沿CD折起,使 BNE=120 ,求折起后

29、线段 AB的长度 . 三、创新题（ 60分）（一）教材变型题10 分 ABCD的每条边和对角线的长都等于a,求3.（P35练习 2变型）如图 9-5-12 已知空间四边形AB 与 CD 的夹角 . （二）一题多解 15 分 4. 已知矩形 ABCD,P为平面 ABCD外一点,且 PA平面 ABCD,M、N分别为 PC、PD上的点,且M分 PC 成定比 2,N分 PD 成定比 1,求满意 MN =x AB +y AD +z AP 的实数 x、y、 z的值 . （三）一题多变15 分 ,且 | a|=1 ,| b|=2 ,| c|=3 ,求 | a+b+c|. 5. 设a b,=3,=6（1）一变

30、：设 ab,=（2）二变：设 ab, =3,=6,且 |a|=1 ,|b|=2 ,|c|=3 ,求 |a+2b-c|. 3,且 |a|=1 ,|b|=2 ,|c|=3 ,|a+b+c|=1763,求-b 与 c的夹角 . （四）新解法题（10分）6. 如图 9-5-13 ,正方形 ABCD和正方形 ABEF交于 AB,M、N分别是 BD、AE上的点,且 AN=DM,试用向量证明 MN 平面 EBC. 7. O为空间任意一点,A、B、 C是平面上不共线的三点,动点P满意细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 16 页 - - - -

31、 - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -OP = OA +|AB|AC|, 优秀教案欢迎下载ABAC 0,+ , 就P的轨迹肯定通过ABC的（）A. 外心 B.内心 C.重心 D.垂心四、高考题 10 分 8. （2002, 上海 ,5 分）如 a、b、c为任意向量, m R,就以下等式不肯定成立的是 A. a+b+ c=a+ b+c B. a+bc=ac+bcC.ma+b=ma+mb D. ab c=a bc 加试题：竞赛趣味题（10分）证明：a 2 b 2 ab + a 2c 2acb 2c 2bc a ,b, c为正实数

32、 . 【课外阅读 】用向量表示三角形的四心由高中数学新教材中的向量学问动身,利用定比分点的向量表达式,可以简捷地导出三角形的重心、内心、垂心、外心这四心的向量表达式 . 【例】如图 9-5-14 ,在 ABC中, F是 AB上的一点 ,E 是AC上的一点 , 且AF = m , AE = n 通分总可以使两个异分母分数化为同分母分数 ,连结 CF、BE交于点 D. 求FB l EC lD点的坐标 . 解：在平面上任取一点 式,得：O,连结 OA、OB、OC、OD、 OE、OF,由定比分点的向量表达OF = OA +m lOB 1+m lFD = DC,BDu. =lOAmOBlmOE =OA1

33、nnOC=lOAnOCllnl 其中又 OD =OF1OC=OB1uuOEDEOB +ln整理、式得=n1. mnOC所以 OD =llnOA +lmnmmm由式动身,可得三角形四心的向量表达式：细心整理归纳 精选学习资料 （1）如 BE、CF是 ABC两边上的中线,交点G为重心 . 由式可得重心G的向量表达式： 第 10 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -OG =1 OA +OB + OC . 3优秀教案欢迎下载（2）如 BE、

34、CF是 ABC两内角的平分线,交点I 是内心 . aAcCcOC. 由于AF = FBb , aAE = ECc , a由式可得内心I 的向量表达式：OI =aacOA +abcOB +accOC . bbb（3）如 BE、CF是 ABC两边上的高,交点H是垂心 . cAE = ECccosA=cos C. acosCacosAb同理AF = FBcos aB. cosA由式可得垂心H的向量表达式：abOH =acosCcOA+acos CcOB+cosbbbcosAcosBcos CcosAcosBcosCcoscosBcos C（4）如 BE、CF的交点 O 是OA=OB=OC. 依据正弦

35、定理：ABC的外心,即三边中垂线交点,就AE = ECBEsinEBA=sinCsin1AOB . 好记, 好用 . 新教材的sin ABE2 1sinCBEsinAsinBOCsinC2=sinCcos C=sin2 C. sinAcosAsin2 A同理AF = FBsin2B. sin2A由式可得外心O 的向量表达式：OO =sin2Asin2Asin2 COA +sin2Asin2Bsin2 COBsin2 Bsin2B+sin2Asin2Csin2 COC. sin2B这四个向量表达式,都由式推出, 都有着各自轮换对称的性质优越性 , 由此可见 . 细心整理归纳 精选学习资料 - -

36、 - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载参考答案A卷一、 1.B 点拨：空间向量的一组基底是不共面的 . 2.D 点拨 : AB + BC + CC = AC + CC = AC , 同理依据空间向量的加法运算法就可知2 、3 、4 的运算结果也为 AC . 3.B 点拨：当三个非零向量a、b、c共面时, a、b、c不能构成空间的一个基底,但是a,b,c 为空间的一个基底时,必有 a、b、c都是非零向量 . 因此由

37、 P推不出 q,而由 q可推出P. 4.B 点拨： AC AB =0ACAB.同理可得 ACAD,ABAD. 2. 设AB=a,AC=b,AD=c.就BC=a2b2,CD=b2c2,BD=a2ccosBCD=BC2CD2BD20, 故 BCD为锐角 . 2BCCD同理 CBD、 BDC亦为锐角 . 就 BCD为锐角三角形 . 5.D 点拨 : 向量共线就其所在直线平行或重合 , 故A错误 ; 向量平行于平面 , 就向量在面内或所在直线与面平行 , 故 B错误 ; 取 1= 2= 3=1, 就 1a-b+ 2b-c+ 3c-a=0, 即a-b,b-c,c-a 是共面对量 , 不能构成空间的基底 , 故C错. x+y+z=1 x= 5 , 26.A 点拨 : x-y+z=2 y=-1 , 2 x-y=3 z=-1. 二、7.-62 ,373 点拨：（a+3c）（3b-2a ）=3a b-2a2+9c b-6a c=3|a| |b| cos90-2|a|2+ 第 12 页,共 16 页 - - - - - - - - - 9|c| |b| cos60-6|a| |c| c