77套历年全国高中数学竞赛试卷及答案.docx

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1、2017年全国高中数学结合竞赛（四川初赛）（5月14日下午14:3016:30）题目一二三总成果13141516得分评卷人复核人考生留意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分 2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。 3.计算器，通讯工具不准待入考场。 4.解题书写不要超过封线一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1. 已知函数处有极值，则实数a的值是（ ）A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2.已知的两个根，则（ ）A. B. C. D. 3.在的绽开式。全部形如的项的系数之和是（ ）A. 112 B. 448 C. 1792 D. 143364.已知的左

2、，右焦点，该椭圆上存在两点A,B,使得,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. （0.） B.（0.） C.（，1） D.（，1）5.已知ABC中，的最大值时（ ）A. B. C.2 D.6.已知数列满意：，用表示不超过实数x的最大整数，则的个位数是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 二，填空题（本大题共6个小题，每条题5分，共30分）7. 已知函数=_.8. 设，其中是虚数单位，若成等比数 列，则实数a的值是_.9.若是双曲线上的点，则的最小值是_.10. 如图，设正方体的棱长为1，为过直线的平面，则 截该正方体的截面面积的取值范围是_.11.已知实数满意：的最大值是_.12.设集合则集

3、合A中元素的个数是_三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13.已知数列满意：（1）若a=3,求证：数列成等比数列，并求出数列的通项公式；（2）若对随意的正整数n,都有，务实数a的取值范围。14.1993年，美国数学家F.Smarandache提出很多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是闻名的Smarandache函数。正整数n的Smarandache函数定义为，比方： （1）求数S（16）和S（2016）的值； （2）若S（n）=7,求正整数n的最大值； （3）证明：存在无穷多个合数n，使得,其中的最大质因数. 15. 如图，轴上，且关于y轴对称，过点垂直于x轴的

4、直线与抛物线交于B,C,点D为线段AB上的动点，点E在线段AC上，满意 （1）求证：直线DE与此抛物线有且只有一个公共点； （2）设直线DE与此抛物线的公共点F，记BCF与ADE的面积分别为 ,求的值.16.设为实数，若对随意的实数恒成立，其中求的最大值和的最小值2017年全国高中数学联赛（四川初赛）试题草考答案及评分标准一，选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243 三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）13.

5、 证明：（1）因为所以，数列成等比数列 5分于是即数列的通项公式 10分（2） 法1：因为对随意的正整数n都成立，故由（1）知当3a4时，则b1 B|k|1 C1k1 D0|k|1 3平面上有三个点集M，N，P： M=(x，y)| |x|+|y|1， N=(x，y)| +2， P=(x，y)| |x+y|1，|x|1，|y|； 命题乙：a、b、c相交于一点则 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C都不对 5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示全部直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，

6、P表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达式 MNP=I； N M P中，正确的表达式的个数是 A1 B2 C3 D4 二填空题(本大题共4小题，每小题10分)：1设xy，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么= 2(+2)2n+1的绽开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 3在ABC中，已知A=，CD、BE分别是AB、AC上的高，则= 4甲乙两队各出7名队员，按事先排好依次出场参与围棋擂台赛，双方先由1号队员竞赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员竞赛，直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得成功，形成一种竞赛过程那么全部可能出现的竞赛过程的种数为 三(1

7、5分)长为，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积四(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z00，另一个动点Z满意Z1Z=1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形态和位置五(15分)已知a、b为正实数，且+=1，试证：对每一个nN*， (a+b)nanbn22n2n+11988年全国高中数学联赛二试题一已知数列an，其中a1=1，a2=2，an+2=试证：对一切nN*，an0二如图，在ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，ln，的直线族，它满意条

8、件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，)并证明你的结论1988年全国高中数学联赛解答一试题一选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)：1设有三个函数，第一个是y=(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( ) Ay=(x) By=(x) Cy=1(x) Dy=1(x) 解：第二个函数是y=1(x)第三个函数是x=1(y)，即y=

9、(x)选B2已知原点在椭圆k2x2+y24kx+2ky+k21=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A|k|1 B|k|1 C1k1 D0|k|1 解：因是椭圆，故k0，以(0，0)代入方程，得k210，选D3平面上有三个点集M，N，P： M=(x，y)| |x|+|y|1， N=(x，y)| +2， P=(x，y)| |x+y|1，|x|1，|y|； 命题乙：a、b、c相交于一点则 A甲是乙的充分条件但不必要 B甲是乙的必要条件但不充分 C甲是乙的充分必要条件 DA、B、C都不对 解：a，b，c或平行，或交于一点但当abc时，=当它们交于一点时，证明：作ABC及PQR的高CN、RH设AB

10、C的周长为1则PQ=则=，但AB，APABPQ，AC，从而三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，ln，的直线族，它满意条件： 点(1，1)ln，(n=1，2，3，)； kn+1=anbn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，)； knkn+10，(n=1，2，3，)并证明你的结论证明：设an=bn0，即kn1=1，或an=bn=0，即kn=1，就有kn+1=0，此时an+1不存在，故kn1现设kn0，1，则y=kn(x1)+1，得bn=1kn，an=1， kn+1=kn此时knkn+1=kn21 kn1或kn1或k11时，由

11、于0k2=k10，若k21，则又有k1k2k30，依此类推，知当km1时，有k1k2k3kmkm+10，且01，km+1=kmkm=km1km1k=k0，此时kk0即此时不存在这样的直线族 当k11时，同样有10，得k1k2=k10若k21，又有k1k2k30，依此类推，知当km1时，有k1k2k3kmkm+11，km+1=kmkm=km1km1k1由于k1随m的增大而线性增大，故必存在一个m值，m=m0，使k11，从而必存在一个m值，m=m1(m1m0)，使k1，而1k=k0，此时kk0即此时不存在这样的直线族综上可知这样的直线族不存在厦门市参与2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高

12、中数学联赛福建赛区竞赛的通知贵校教务处转数学教研组：根据闽科协发【2010】39号文件关于举办2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知，以及省数学会关于2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知，根据我市状况，有关竞赛工作通知如下： 一、赛制、竞赛时间和命题范围竞赛分预赛和复赛两个阶段。1预赛：（1）时间：2010年9月11日（星期六）9：0011：30，在本市考点进展。（2）试题来源：预赛试题由福建省数学学会组织命题，同时也作为2010年福建省高中数学竞赛的试题，试题类型以全国联赛类型为主，适当补充少量全国联赛加试局部的内容。（3）试卷构造：填空题10题，

13、每题6分，满分60分；解答题5题，每题20分，满分100分。全卷满分160分。考试时间150分钟。2复赛（1）时间与地点：2010年10月17日（星期日）8：0012：10，集中在福州一中旧校区进展考试。其中联赛时间为8：009：20，加试时间为9：4012：10。（2）试题来源与命题要求：复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试题。命题范围以现行高中数学教学大纲为准，加试试题的命题范围以数学竞赛大纲为准。根据现行“高中数学竞赛大纲”的要求，全国高中数学联赛（一试）所涉及的学问范围不超过教化部2000年全日制一般高级中学数学教学大纲中所规定的教学要求和内容，但方法的要求上有所进步。

14、主要考察学生对根底学问和根本技能的驾驭状况，以及综合、敏捷运用学问的实力。全国高中数学联赛加试（二试）与中国数学奥林匹克（冬令营）、国际数学奥林匹克接轨，在学问方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容。（3）试卷构造：全国高中数学联赛（一试）试卷构造为：填空题8题，每题8分，满分64分；解答题3题，分别为16分、20分、20分，满分56分。全卷满分120分。考试时间80分钟；全国高中数学联赛加试（二试）试卷构造为：4道解答题，涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。每题50分。满分200分。考试时间150分钟。二、参赛对象本学年度的在校高中学生均可报名，自愿参与，不影响学校的正常教学秩序。

15、三、报名、报名费和准考证采纳网上报名。在各校教务处的指导下，由高二年数学备课组长详细负责，组织学生报名参与竞赛。报名表请参照样表、统一用Excel文档并按要求仔细填写，根据省数学会要求，报名时需将全部参与考试的考生的花名册上交，为最终评奖、颁发获奖学生证书以及制作指导教师证书的根据，务必请各校仔细填写报名表，指导教师以报名表上登记的为准（每名学生只能上报1名指导教师），赛后不得更改。报名费（按省数学会通知）统一收取每生18元。各参赛学校请将报名表的电子文本用E.mail发送至电子油箱xmczm126 ；报名费请干脆汇入建立银行活期存折，存折户名：陈智猛，ATM卡号：43674219300362

16、57416。报名截止时间是6月25日，逾期不予受理。请保存汇款的凭单备查，将本校报名人数以及汇款的金额数用手机短信形式发送至13806039993，短信联络进展报名确实认。9月初召开考务会同时领取准考证，准考证请各校自行填写，由备课组长保管，考前30分钟再发给考生。四、考号支配学 校考号支配厦门一中1000110600双十中学1060111200厦门六中1120111800外国语学校1180112400科技中学1240113000厦门二中1300113200湖滨中学1320113400学 校考号支配松柏中学1340113600厦门三中1360113800华侨中学1380114000禾山中学14

17、00114200大同中学1420114400康桥中学1440114600 集美中学2000120400英才学校2040120600灌口中学2060128000乐安中学2080121000厦门十中2100121400杏南中学2140121600海沧中学2160121800海沧试验中学2180122000同安一中3000130600启悟中学3060130800第二外国语学校3080131000东山中学3100131200五显中学3120131400国祺中学3140131600翔安一中4000140400新店中学4040140600内厝中学4060140800诗扳中学4080141000五、考务：有

18、关考场的设置、监考等考务工作另行支配布置。六、奖项：按参赛人数的5%从高分到低分确定复赛入围者；预赛成果为本区第一名经省数学会审核无误后也可以干脆参与复赛。另外，符合下列条件之一者可干脆进入复赛：（1）2008年、2009年全国高中数学联赛（福建赛区）一、二等奖获得者；（2）2010年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者；（3）2010年福建省高一数学竞赛（省）前十五名获得者；（4）2010年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。复赛试卷经省数学会评定后，评出（省级）全国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、省教化厅审定，获得（省级）全国一、二、三等奖的选手及指导教师由省科协和省教化厅结合

19、颁发获奖证书。留意：一等奖、二等奖和三等奖均按联赛与加试的总分评定。省数学会评出2009年福建省高中数学竞赛一、二、三等奖后，我市在省奖之外再评出市一等奖、二等奖、三等奖，以及表扬奖若干名。为了激励各校参与高中数学联赛的主动性，讨论确定：按报名人数给学校不低于10%的市级（以上）获奖名额，激励学生。厦门市教化科学讨论院 根底教化讨论室厦门市教化学会 数学教学专业委员会2010年5月13日附：2010年全国高中数学联赛福建赛区（厦门）竞赛报名表考号学生姓名性别年级所在学校指导教师考生总数 （人）应交金额 （元）（注：报名表的指导教师栏请仔细填写，赛后不得更改）1992年全国高中数学联赛试卷第一试

20、一选择题(每小题5分，共30分)1. 对于每个自然数n，抛物线y(n2n)x2-(2n1)x1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的间隔 ，则|A1B1|A2B2|L|A1992B1992|的值是( )(A) (B) (C) (D)2. 已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一局部，则这一曲线的方程是( )(A)(x)(y)=0 (B)(x-)(y-)=0(C)(x)(y-)=0 (D)(x-)(y)=03. 设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记=/S，则肯定满意( )(A)24 (B)34 (C)2.54.5 (D)3.51) 2.用数学

21、归纳法证明：fn(x)=1993年全国高中数学结合竞赛试卷第 一 试一选择题(每小题5分，共30分)1 若M(x，y)| |tgpy|+sin2px0，N(x，y)| x2+y22，则MN的元素个数是（ ）(A)4 (B)5 (C)8 (D)92 已知f (x)asinx+b+4(a，b为实数)，且 f (lglog310)5，则f(lglg3)的值是（ ）(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随a，b取不同值而取不同值3 集合A，B的并集ABa1，a2，a3，当AB时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（ ）（A）8 （B）9 （C）26 （D）274 若直线

22、x被曲线C：(xarcsina)(xarccosa)(yarcsina)(yarccosa)0所截的弦长为d，当a变更时d的最小值是( )(A) (B) (C) (D)p5 在ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则的值是( )(A)1 (B) (C) (D)-16 设m，n为非零复数，i为虚数单位，zC，则方程| zni| zmi|n与| zni|zmi|m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( )二填空题（每小题5分，共30分）1 二次方程(1i)x2(li)x(1il)0(i为虚数单位，lR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为_2 实数x

23、，y满意4x25xy4y25，设 Sx2y2，则_ _3 若zC，arg(z2-4)，arg(z2+4)，则z的值是_ _4 整数的末两位数是_5 设随意实数x0x1x2x30，要使恒成立，则k的最大值是_ _6 三位数(100，101，L，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_ _张卡片三（本题满分20分） 三棱锥SABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直

24、线DP证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为，则为三棱锥SABC的外接球球心四（本题满分20分） 设0ab，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使与抛物线y2x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹五（本题满分20分） 设正数列a0，a1，a2，L，an，L满意(n2)且a0a11求an的通项公式1994年全国高中数学联赛试题第 一 试一选择题(每小题6分，共36分)1设a，b，c是实数，那么对任何实数x， 不等式都成立的充要条件是 (A)a，b同时为0，且c0 (B) (C) (D)2给出下列两个命题：(1)设a，b，c都是复数，假如，则；(2)设a，b，c都是复数，假如，则那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确，命题(2)也正确 (B)命题(1)正确，命题(2)错误 (C)命题(1)错误，命题(2)也错误 (D)命题(1)错误，命题(2)正确3已知数列满意，且，其前n项之和为，则满意不等式的最小整数n是 (A)5 (B)6 (C)7