2022年《离心率》专题复习资料》.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载20XX届高考备考资料圆锥曲线的离心率圆锥曲线求离心率范畴问题一样是近几年高考的重点和热点,特别是新课标卷在选 择题中显现的次数比较频繁；下面本文将对求离心率问题的常见求法进行较为系统的总 结,期望能对同学们有所帮忙；一.直接利用条件查找a c 的关系求解1,例 1 设双曲线的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B , 假如直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 （ A）2（ B）3（C）31（D）5122解析：选 D. 不妨设双曲线的焦点在x 轴上,设其方程为：2 xy

2、21 a0,b0,a2b2就一个焦点为F c ,0,B0, 一条渐近线斜率为：b,直线 FB 的斜率为：b,bbacacb2ac2 ca2ac0,解得ec51.a2例2 斜率为 2的直线过中心在原点且焦点在x 轴上的双曲线的右焦点,与双曲线的两个交点分别在左、右两支上,就双曲线的离心率的取值范畴是 c0,b250. A.e2 B.1e3 C.1e5 D.e5解析设双曲线的方程为x2y21 a0,b0,右焦点的坐标为a2b2直线 l 的方程为y2 xc . 由x2y21,得b24a2x28a2cxa24 c2a2b2y2 xc 依据题意得x 1x264a4c244a2 b24a24c2b20,b

3、24a2220,c25 a20. e. c2ba0b24a2x1x20. 小结 将直线的方程与双曲线的方程联立后,使判别式大于零,同时留意二、利用圆锥曲线的第肯定义或其次定义求解例 1 设F 1,F 2分别是双曲线x2y2的左、右焦点,如双曲线上存在点A ,使F AF290 第 1 页,共 5 页 a22 b且AF 13AF 2,就双曲线的离心率为 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A 5B10学习必备15欢迎下载D5C

4、222解 . . AFAF 11- 2 AF+ 2AF =2 2 AF2 = 22 = 2 a2 . a 210 c . e 1022 2例2 双曲线 x2 y2 1 a 0 , b 0 的两个焦点为 F 1, F 2,如 P 为其上一点,| PF 1 | 2 | PF 2 |,a b就双曲线离心率的取值范畴是 A. ,1 3 B. 3,1 C. 3 , D. ,3 解析 由双曲线的定义得 | PF 1 | | PF 2 | | PF 2 | 2 a |, PF 1 | 2 | PF 2 | 4 a . | PF 1 | | PF 2 | | F 1 F 2 | . 6 a 2 c , c3

5、. a故双曲线离心率的取值范畴是 3,1 ,选 B. 2 2例3 双曲线 x2 y2 1 a 0 , b 0 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,就双a b曲线离心率的取值范畴是 A. ,1 2 B. 2 , C. 1,1 2 D. 1 2 , 2 2解析 利用双曲线的焦半径公式有 ex 0 a e 1 x 0 aa a a e 1 a . c ce 1 1 a e 2 2 e 1 0 1 2 e 1 2 . 又双曲线的离心率 e 1,所以选 C. c小结 圆锥曲线上的点到焦点的距离或到准线的距离,通常要用它们的第肯定义或其次定义来建立联系 .三、利用圆锥曲线的范畴 有界性 求解2

6、 2例1 椭圆 M : x2 y2 1 a b 0 的左、右焦点分别为 F 1, F 2, P 为椭圆 M 上的任意一点,且a b2 2 2 2PF 1PF 2 的最大取值范畴是 c 3, c ,其中 c a b,就 M 的离心率 e的范畴为 A. 1, 1 B. 1, 2 C. 21, D. 11, 4 2 2 2 2 22 2解析 设 F 1 c , 0 , F 2 c , 0 , P x , y ,就 PF 1 PF 2 x 2y 2c 2. 又 x2 y2 1,a b2 2 2 2y 2b 2 b x2 , 0 x 2a 2. PF 1 PF 2 1 b2 x 2b 2c 2 c2 x

7、 2b 2c 2,a a a2 2 2 2 2 2 2 2 1 2x ,0 a . 当 x a 时,| PF 1 PF 2 | max b,c b 3 c e . 选B. 2 2小结 确定椭圆上点 P x , y 与 a , b , c 的等量关系, 由椭圆的范畴, 即 | x | a |, y | b 建立不等关系.假如涉及到曲线上的点到焦点的距离的有关问题,可用曲线的焦半径公式分析 .四、利用数形结合求解2 2例1 如右图所示,椭圆 x2 y2 1 a b 0a b四个不同的交点,求椭圆的离心率的取值范畴和圆x2y2bc2 其中 c 为椭圆的半焦距有2. 第 2 页,共 5 页 y O x

8、 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解析学习必备欢迎下载bca,要使椭圆与圆有四个不同的交点,只需满意b22 2b 2 c b 4 c即b 2 a 2 c b 24 a 28 ac 4 c 22aa 22 cc 22 44 ca 22 8 ac 4 c 2 aa 2c 5 c3 2a 5 c 0 3 caa 25 5c 5 5 e 35 . 小结 将数用形来表达,直接得到 a , b , c 的关系,这无疑是解决数学问题

9、最好的一种方法,也是重要的解题途径 . 2 2例 2 如图, F 1,F2 分别是双曲线x a 2yb 21a0,b 0的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 |OF 1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 F2AB 是等边三角形,就双曲线的离心率为 A. 3 B. 5 5C. 2 D.1 3 从以上四种求圆锥曲线离心率的范畴的策略来看,我们要明确求离心率的范畴的关键是建立一个a,b ,c的不等关系,然后利用椭圆与双曲线中a2,b2,c2的默认关系以及本身离心率的限制范畴,最终求出离心率的范畴. 【高考题回忆】2 21. 已知双曲线 C 1 : x2 y2 1 a 0, b 0 的

10、左、右焦点分别为 1F 、F ,抛物线 C 的顶点在原点,准线与双a b曲线 C 的左准线重合,如双曲线 1 C 与抛物线 1 C 的交点 P 满意 2 PF 2 F F ,就双曲线 1 2 C 的离心率为（1）A2 B3 C2 3 D 2 232 2解：由已知可得抛物线的准线为直线 x a, 方程为 y 2 4a x；c c2 2 2 2由双曲线可知 P c , b , b 2 4 a c,b 22 a 2 b2 2,e 21 2,e 3a a c a2 22椭圆 x2 y2 1（a b 0）的两个焦点分别为 F 、F ,以 F 、F 为边作正三角形,如椭圆恰好平分三a b角形的另两边,就椭

11、圆的离心率 e 为（ B ）A 3 1B3 1 C 4 2 3 D3 2 y2 4 PF 1 O F 2 x细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载解析：设点 P 为椭圆上且平分正三角形一边的点,如图,由平面几何学问可得 | PF 2 |:| PF 1 |:| F F 2 | 1: 3 : 2,所以由椭圆的定义及 e c得：ae 2 c | F F 2 | 23 1,应选 B2 a |

12、 PF 1 | | PF 2 | 3 1变式提示 ：假如将椭圆改为双曲线,其它条件不变,不难得出离心率 e 3 12 23. 过双曲线a x2 b y2 1 a 0, b 0 的右顶点 A 作斜率为 1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B C 如 AB 1 BC ,就双曲线的离心率是 2A2 B3 C5 D10【 解 析 】 对 于 A a ,0, 就 直 线 方 程 为 x y a 0, 直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 为 B , C ,2 2 2 2B a, ab, C a, ab,BC 22 a b2 , 22 a b2 , AB ab, ab,a b a b a

13、 b a b a b a b a b a b因此 2 AB BC , 4 a 2b 2, e 5答案： C 2 24. （ 09 江西理）过椭圆 x2 y2 1 a b 0 的左焦点 1F 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ,F 为右焦点,如a bF PF 2 60,就椭圆的离心率为（） A2B3 C1 D12 3 2 32 2【解析】由于 P c , b,再由 F PF 2 60 有 3 b2 , 从而可得 e c 3,应选 B a a a 32 25 已知双曲线 x2 y2 1 a ,0 b 0 的左、右焦点分别为 F 1,F 2,如在双曲线的右支上存在一点 P,使得a bPF 1 3PF

14、2,就双曲线的离心率 e的取值范畴为（答案： 1 e 2）解析：由 PF 1 3PF 2 及双曲线第肯定义式 | PF 1 | | PF 2 | 2 a ,得：| PF 1 | 3 a ,| PF 2 | a ,又 | F F 2 | 2 c 细心整理归纳 精选学习资料 第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由于点 P 在右支上运动,所以|PF 1|PF 2学习必备|,欢迎下载| |F F 1 2得 4 a2 c ,即c2,又e1,故填 1e2 第 5 页,共 5 页 a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -