《高等数学.同济五版》讲稿WORD版-第08章 多元函数微分学及其应用.docx

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1、高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组第八章第八章多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用教学目的：教学目的：1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握多元复合函数偏导数的求法。6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。8、了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多

2、元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。教学重点：教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。教学难点：教学难点：1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）

3、的偏导数；6、拉格郎日乘数法；7、多元函数的最大值和最小值。高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组8 1 多元函数的基本概念多元函数的基本概念一、平面点集一、平面点集 n 维空间维空间1平面点集由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点 P 与有序二元实数组(x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y)与平面上的点 P 视作是等同的这种建立了坐标系的平面称为坐标平面二元的序实数组(x y)的全体 即 R2RR(x y)|x yR就表示坐标平面坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记作E(x y)|(x y)具有性质 P例

4、如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C(x y)|x2y2r2如果我们以点 P 表示(x y)以|OP|表示点 P 到原点 O 的距离 那么集合 C 可表成CP|OP|r邻域设 P0(x0 y0)是 xOy 平面上的一个点是某一正数 与点 P0(x0 y0)距离小于的点 P(x y)的全体 称为点 P0的邻域 记为 U(P0 即|),(00PPPPU或 )()(|),(),(20200yyxxyxPU邻域的几何意义 U(P0)表示 xOy 平面上以点 P0(x0 y0)为中心、0 为半径的圆的内部的点 P(x y)的全体点 P0的去心邻域 记作),(0PU 即|0|),(00

5、PPPPU注 如果不需要强调邻域的半径 则用 U(P0)表示点 P0的某个邻域 点 P0的去心邻域记作)(0PU点与点集之间的关系任意一点 PR2与任意一个点集 ER2之间必有以下三种关系中的一种(1)内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P)使得 U(P)E 则称 P 为 E 的内点(2)外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P)使得 U(P)E 则称 P 为 E 的外点(3)边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点 也有不属于 E 的点 则称 P 点为 E 的边点E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作EE 的内点必属于 E E 的外点必定不属于 E 而 E 的边界点可能属于

6、E 也可能不属于 E 聚点高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组如果对于任意给定的0 点 P 的去心邻域),(PU内总有 E 中的点 则称 P 是 E 的聚点由聚点的定义可知 点集 E 的聚点 P 本身 可以属于 E 也可能不属于 E 例如 设平面点集E(x y)|1x2y22满足 1x2y22 的一切点(x y)都是 E 的内点 满足 x2y21 的一切点(x y)都是 E 的边界点 它们都不属于 E 满足x2y22 的一切点(x y)也是E 的边界点 它们都属于E 点集E 以及它的界边E上的一切点都是 E 的聚点开集 如果点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集闭集 如果点

7、集的余集 Ec为开集 则称 E 为闭集开集的例子 E(x y)|1x2y20 h0内取定一对值(r h)时 V 对应的值就随之确定例 2 一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系VRTp其中 R 为常数 这里 当 V、T 在集合(V T)|V0 T0内取定一对值(V T)时 p 的对应值就随之确定例 3 设 R 是电阻 R1、R2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系2121RRRRR这里 当 R1、R2在集合(R1 R2)|R10 R20内取定一对值(R1 R2)时 R 的对应值就随之确定定义定义 1 设 D 是 R2的一个非空子集 称映射 f DR 为定义在

8、 D 上的二元函数 通常记为zf(x y)(x y)D(或 zf(P)PD)高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组其中点集 D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量上述定义中 与自变量 x、y 的一对值(x y)相对应的因变量 z 的值 也称为 f 在点(x y)处的函数值 记作 f(x y)即 zf(x y)值域 f(D)z|zf(x y)(x y)D函数的其它符号 zz(x y)zg(x y)等类似地可定义三元函数 uf(x y z)(x y z)D 以及三元以上的函数一般地 把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间 Rn内的点集 D 映射 f DR

9、 就称为定义在 D 上的 n 元函数 通常记为uf(x1 x2 xn)(x1 x2 xn)D或简记为uf(x)x(x1 x2 xn)D也可记为uf(P)P(x1 x2 xn)D 关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如函数 zln(xy)的定义域为(x y)|xy0(无界开区域)函数 zarcsin(x2y2)的定义域为(x y)|x2y21(有界闭区域)二元函数的图形 点集(x y z)|zf(x y)(x y)D称为二元函数 zf(x y)

10、的图形 二元函数的图形是一张曲面例如 zaxbyc 是一张平面 而函数 z=x2+y2的图形是旋转抛物面三三 多元函数的极限多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在 P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值 f(x y)无限接近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限定义定义 2设二元函数 f(P)f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果存在常数 A 对于任意给定的正数总存在正数 使得当),(),(0PUDyxP时 都有|f(P)A|f(x y)A|成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y)(x

11、0 y0)时的极限 记为Ayxfyxyx),(lim),(),(00 或 f(x y)A(x y)(x0 y0)也记作APfPP)(lim0或 f(P)A(PP0)上述定义的极限也称为二重极限高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组例 4.设22221sin)(),(yxyxyxf 求证0),(lim)0,0(),(yxfyx证因为2222222222|1sin|01sin)(|0),(|yxyxyxyxyxyxf可见0 取 则当22)0()0(0yx即),(),(OUDyxP时 总有|f(x y)0|因此0),(lim)0,0(),(yxfyx必须注意(1)二重极限存在 是指

12、P 以任何方式趋于 P0时 函数都无限接近于 A(2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在讨论函数0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf在点(0 0)有无极限？提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时00lim)0 ,(lim),(lim00)0,0(),(xxyxxfyxf当点 P(x y)沿 y 轴趋于点(0 0)时00lim),0(lim),(lim00)0,0(),(yyyxyfyxf当点 P(x y)沿直线 ykx 有22222022 )0,0(),(1limlimkkxkxkxyxxyxkxyyx因此 函数 f(x y

13、)在(0 0)处无极限极限概念的推广 多元函数的极限多元函数的极限运算法则与一元函数的情况类似例 5 求xxyyx)sin(lim)2,0(),(高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组解yxyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(yxyxyyxyx)2,0(),()2,0(),(lim)sin(lim122四四 多元函数的连续性多元函数的连续性定义定义 3 设二元函数 f(P)f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0D 如果),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx则称函数 f(x y)在

14、点 P0(x0 y0)连续如果函数 f(x y)在 D 的每一点都连续 那么就称函数 f(x y)在 D 上连续 或者称 f(x y)是 D上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数 f(P)上去例 6 设 f(x,y)sin x 证明 f(x y)是 R2上的连续函数证 设 P0(x0 y0)R2 0 由于 sin x 在 x0处连续 故0 当|xx0|时 有|sin xsin x0|以上述作 P0的邻域 U(P0)则当 P(x y)U(P0)时 显然|f(x y)f(x0 y0)|sin xsin x0|即 f(x y)sin x 在点 P0(x0 y0)连续 由 P0的任

15、意性知 sin x 作为 x y 的二元函数在 R2上连续证 对于任意的 P0(x0 y0)R2 因为),(sinsinlim),(lim000),(),(),(),(0000yxfxxyxfyxyxyxyx所以函数 f(x,y)sin x 在点 P0(x0 y0)连续 由 P0的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数在 R2上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的定义 4 设函数 f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果函数 f(x y)在点 P0(x0 y0)不连续 则称 P0(x0 y0)为

16、函数 f(x y)的间断点例如函数0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf其定义域 DR2 O(0 0)是 D 的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以点 O(0 0)是该函数的一个间断点又如 函数11sin22yxz 其定义域为 D(x y)|x2y21 圆周 C(x y)|x2y21上的点都是 D 的聚点 而 f(x y)在 C 上没有定义 当然 f(x y)在 C 上各点都不连续 所以圆周 C 上各点都是该函数的间断点注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数

17、 连续函数的商在分母不为零处仍连续多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的例如2221 yyxx sin(xy)222zyxe都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数 f(P)在点 P0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则)()(lim00PfPfpp例 7 求xyyxyx)2,1(),(lim解函数xyyxyxf),(是初等函

18、数 它的定义域为D(x y)|x0 y0P0(1 2)为 D 的内点 故存在 P0的某一邻域 U(P0)D 而任何邻域都是区域 所以 U(P0)是 f(x y)的一个定义区域 因此23)2,1(),(lim)2,1(),(fyxfyx一般地 求)(lim0PfPP时 如果 f(P)是初等函数 且 P0是 f(P)的定义域的内点 则 f(P)在点 P0处连续 于是)()(lim00PfPfPP例 8 求xyxyyx11lim)0 ,0(),(解)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(xyxyxyxyxyxyyxyx21111lim)0 ,0(),(xyyx多元

19、连续函数的性质性质性质 1(有界性与最大值最小值定理有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域 D 上的多元连续函数 必定在 D 上有界且能取得它的最大值和最小值高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组性质 1 就是说 若 f(P)在有界闭区域 D 上连续 则必定存在常数 M0 使得对一切 PD 有|f(P)|M 且存在 P1、P2D 使得f(P1)maxf(P)|PDf(P2)minf(P)|PD性质性质 2(介值定理介值定理)在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值8 2偏导数偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数 z

20、f(x y)如果只有自变量 x 变化 而自变量 y 固定 这时它就是 x 的一元函数 这函数对 x 的导数 就称为二元函数 zf(x y)对于 x 的偏导数定义设函数 zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当 y 固定在 y0而 x 在 x0处有增量x时 相应地函数有增量f(x0 x y0)f(x0 y0)如果极限xyxfyxxfx),(),(lim00000存在 则称此极限为函数 zf(x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作00yyxxxz00yyxxxf00yyxxxz 或),(00yxfx例如xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000类似地

21、 函数 zf(x y)在点(x0 y0)处对 y 的偏导数定义为yyxfyyxfy),(),(lim00000记作00yyxxyz00yyxxyf00yyxxyz 或 fy(x0 y0)偏导函数如果函数 zf(x y)在区域 D 内每一点(x y)处对 x 的偏导数都存在 那么这个偏导数就是 x、y 的函数 它就称为函数 zf(x y)对自变量x的偏导函数 记作高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组xzxfxz 或),(yxfx偏导函数的定义式xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0类似地 可定义函数 zf(x y)对 y 的偏导函数 记为yzyf zy 或),(y

22、xfy偏导函数的定义式yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0求xf时 只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数 求yf时 只要把 x 暂时看作常量而对 y 求导数讨论 下列求偏导数的方法是否正确？00),(),(00yyxxxxyxfyxf00),(),(00yyxxyyyxfyxf0),(),(000 xxxyxfdxdyxf0),(),(000yyyyxfdydyxf偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数uf(x y z)在点(x y z)处对x的偏导数定义为xzyxfzyxxfzyxfxx),(),(lim),(0其中(x y z)是函数 uf(x y z)的定义

23、域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例 1 求 zx23xyy2在点(1 2)处的偏导数解yxxz32 yxyz23 8231221yxxz7221321yxyz例 2 求 zx2sin 2y 的偏导数解yxxz2sin2yxyz2cos22例 3 设)1,0(xxxzy 求证zyzxxzyx2ln1证1yyxxzxxyzyln高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组zxxxxxyxyxyzxxzyxyyyy2lnln1ln11例 4 求222zyxr的偏导数解rxzyxxxr222ryzyxyyr222例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数)求证1

24、pTTVVp证 因为VRTp2VRTVppRTV pRTVRpVT RVpT所以12pVRTRVpRVRTpTTVVp例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商二元函数 zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义fx(x0 y0)f(x y0)x是截线 zf(x y0)在点 M0处切线 Tx对 x 轴的斜率fy(x0 y0)f(x0 y)y是截线 zf(x0 y)在点 M0处切线 Ty对 y 轴的斜率偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf在点(0 0)有 fx

25、(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续提示0)0 ,(xf0),0(yf高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组0)0 ,()0 ,0(xfdxdfx0),0()0 ,0(yfdydfy当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 有00lim)0 ,(lim),(lim00)0,0(),(xxyxxfyxf当点 P(x y)沿直线 ykx 趋于点(0 0)时 有22222022 )0,0(),(1limlimkkxkxkxyxxyxkxyyx因此),(lim)0,0(),(yxfyx不存在 故函数 f(x y)在(0 0)处不连续类似地 可定义函数 zf

26、(x y)对 y 的偏导函数 记为yzyf zy 或),(yxfy偏导函数的定义式yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0二二 高阶偏导数高阶偏导数设函数 zf(x y)在区域 D 内具有偏导数),(yxfxzx),(yxfyzy那么在 D 内 fx(x y)、fy(x y)都是 x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数 zf(x y)在区域 D 内的偏导数 fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数 zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有下列四个

27、二阶偏导数),()(22yxfxzxzxxx),()(2yxfyxzxzyxy),()(2yxfxyzyzxyx),()(22yxfyzyzyyy其中),()(2yxfyxzxzyxy),()(2yxfxyzyzxyx称为混合偏导数高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组22)(xzxzxyxzxzy2)(xyzyzx2)(22)(yzyzy同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例 6 设 zx3y23xy3xy1 求22xz、33xz、xyz2和yxz2解yyyxxz32233xxyyxyz23922226xyxz2336yxz196222

28、yyxyxz196222yyxxyz由例 6 观察到的问题yxzxyz22定理 如果函数 zf(x y)的两个二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域 D 内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例 7 验证函数22lnyxz满足方程02222yzxz证 因为)ln(21ln2222yxyxz 所以22yxxxz22yxyyz222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz因此0)()(22222222222222yxxyy

29、xyxyzxz例 8证明函数ru1满足方程0222222zuyuxu其中222zyxr证32211rxrxrxrrxu52343223131rxrxrrxrxu同理5232231ryryu5232231rzrzu因此)31()31()31(523523523222222rzrryrrxrzuyuxu033)(3352352223rrrrzyxr提示6236333223)()(rxrrxrrrxxrrxxxu8 8 3 3 全微分及其应用全微分及其应用一、全微分的定义一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系有偏增量与偏微分f(xx y)f(x y)fx(x y)xf(xx y)f(x

30、 y)为函数对 x 的偏增量 fx(x y)x 为函数对 x 的偏微分f(x yy)f(x y)fy(x y)y高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组f(x yy)f(x y)为函数)对 y 的偏增量 fy(x y)y 为函数对 y 的偏微分全增量z f(xx yy)f(x y)计算全增量比较复杂我们希望用x、y 的线性函数来近似代替之定义定义如果函数 zf(x y)在点(x y)的全增量z f(xx yy)f(x y)可表示为)()()(22yxoyBxAz其中 A、B 不依赖于x、y 而仅与 x、y 有关 则称函数 zf(x y)在点(x y)可微分 而称 AxBy为函数

31、zf(x y)在点(x y)的全微分 记作 dz 即dzAxBy如果函数在区域 D 内各点处都可微分 那么称这函数在 D 内可微分可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续这是因为 如果 zf(x y)在点(x y)可微则z f(xx yy)f(x y)AxByo()于是0lim0z从而),(),(lim),(lim0)0,0(),(yxfzyxfyyxxfyx因此函数 zf(x y)在点(x y)处连续可微条件定理定理 1(必要条件必要条件)如果函数 zf(x y)在点(x y)可微分 则函数在该点的偏导数xz、yz必定存在 且函数 zf(xy)在点(x y)的全微分为yyzxxzdz证

32、 设函数 zf(x y)在点 P(x y)可微分 于是 对于点 P 的某个邻域内的任意一点 P(xxyy)有zAxByo()特别当y0 时有f(xx y)f(x y)Axo(|x|)上式两边各除以x 再令x0 而取极限 就得Axyxfyxxfx),(),(lim0从而偏导数xz存在 且Axz同理可证偏导数yz存在 且Byz 所以高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组yyzxxzdz简要证明设函数 zf(x y)在点(x y)可微分 于是有zAxByo()特别当y0 时有f(xx y)f(x y)Axo(|x|)上式两边各除以x 再令x0 而取极限 就得AxxoAxyxfyxxf

33、xx|)(|lim),(),(lim00从而xz存在 且Axz同理yz存在 且Byz 所以yyzxxzdz偏导数xz、yz存在是可微分的必要条件 但不是充分条件例如函数0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf在点(00)处虽然有 fx(0 0)0 及 fy(0 0)0但函数在(00)不可微分即zfx(0 0)xfy(0 0)y不是较高阶的无穷小这是因为当(x y)沿直线 yx 趋于(0 0)时)0 ,0()0 ,0(yfxfzyx021)()()()(2222xxxxyxyx定理定理 2(充分条件充分条件)如果函数 zf(x y)的偏导数xz、yz在点(x y)连续 则函数在该点可微

34、分定理 1 和定理 2 的结论可推广到三元及三元以上函数按着习惯x、y 分别记作 dx、dy 并分别称为自变量的微分则函数 zf(x y)的全微分可写作dyyzdxxzdz二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数 uf(x y z)的全微分为dzzudyyudxxudu例 1 计算函数 zx2y y2的全微分高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组解 因为xyxz2yxyz22所以 dz2xydx(x22y)dy 例 2 计算函数 zexy在点(2 1)处的全微分解 因为xyyexzxyxeyz212exz

35、yx2122eyzyx所以dze2dx2e2dy 例 3 计算函数yzeyxu2sin的全微分解 因为1xuyzzeyyu2cos21yzyezu所以dzyedyzeydxduyzyz)2cos21(*二、全微分在近似计算中的应用二、全微分在近似计算中的应用当二元函数 zf(x y)在点 P(x y)的两个偏导数 fx(x y)fy(x y)连续 并且|x|y|都较小时有近似等式z dz fx(x y)xfy(x y)y 即f(xx yy)f(x y)fx(x y)xfy(x y)y 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算例 4有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由 20cm 增大到 2

36、0 05cm 高度由 100cu 减少到 99cm 求此圆柱体体积变化的近似值解设圆柱体的半径、高和体积依次为 r、h 和 V 则有Vr2h 已知 r20 h100 r0 05 h1 根据近似公式 有VdVVrrVhh2rhrr2h2201000 05202(1)200(cm3)即此圆柱体在受压后体积约减少了 200cm3例 5计算(1 04)202的近似值解设函数f(x y)xy 显然 要计算的值就是函数在x104 y202时的函数值f(104 202)取 x1 y2 x004 y002 由于高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组f(xx yy)f(x y)fx(x y)xf

37、y(x y)yxyyxy1xxyln x y 所以(104)20212212100412ln1002108例 6利用单摆摆动测定重力加速度 g 的公式是224Tlg现测得单摆摆长 l 与振动周期 T 分别为 l=1000.1cm、T=20.004s.问由于测定 l 与 T 的误差而引起 g 的绝对误差和相对误差各为多少？解如果把测量 l 与 T 所产生的误差当作|l|与|T|,则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224Tlg的全增量的绝对值|g|.由于|l|T|都很小因此我们可以用 dg 来近似地代替g这样就得到 g 的误差为|TTgllgdggTlTglg|)21(4322TlTlT其

38、中l与T为 l 与 T 的绝对误差 把 l=100 T=2,l=0.1,T=0.004 代入上式 得 g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322g)/(93.45.022scm.002225.0210045.0gg从上面的例子可以看到对于一般的二元函数 z=f(x,y),如果自变量 x、y 的绝对误差分别为x、y,即|x|x,|y|y,则 z 的误差|yyzxxzdzz|yyzxxz高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组yxyzxz|从而得到 z 的绝对误差约为yxzyzxz|z 的相对误差约为yxzzyzzxzz|8 4多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导

39、法则设 zf(u v)而 u(t)v(t)如何求dtdz？设 zf(u v)而 u(x y)v(x y)如何求xz和yz？1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理 1 如果函数 u(t)及 v(t)都在点 t 可导 函数 zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数则复合函数 zf(t)(t)在点 t 可导 且有dtdvvzdtduuzdtdz简要证明 1 因为 zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有dvvzduuzdz又因为 u(t)及 v(t)都可导 因而可微 即有dtdtdududtdtdvdv代入上式得dtdtdvvzdtdtduuzdzdtdtdvvzdtduuz

40、)(从而dtdvvzdtduuzdtdz简要证明 2 当 t 取得增量t 时 u、v 及 z 相应地也取得增量u、v 及z 由 zf(u v)、u(t)及 v(t)的可微性 有)(ovvzuuzz)()()(ototdtdvvztotdtduuz高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组)()()()(otovzuztdtdvvzdtduuztottovzuzdtdvvzdtduuztz)()()(令t0 上式两边取极限 即得dtdvvzdtduuzdtdz注0)()(0)()()(lim)(lim222200dtdvdtdutvuotott推广 设 zf(u v w)u(t)v(

41、t)w(t)则 zf(t)(t)(t)对 t 的导数为dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz上述dtdz称为全导数2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理 2 如果函数 u(x y)v(x y)都在点(x y)具有对 x 及 y 的偏导数 函数 zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数 zf(x y)(x y)在点(x y)的两个偏导数存在 且有xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz推广 设 zf(u v w)u(x y)v(x y)w(x y)则xwwzxvvzxuuzxzywwzyvvzyuuzyz讨论(1)设 zf(u v)u(x y)v(y)则xz？yz？

42、提示xuuzxzdydvvzyuuzyz(2)设 zf(u x y)且 u(x y)则xz？yz？提示xfxuufxzyfyuufyz这里xz与xf是不同的xz是把复合函数 zf(x y)x y中的 y 看作不变而对 x 的偏导数xf高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组是把 f(u x y)中的 u 及 y 看作不变而 对 x 的偏导数yz与yf也朋类似的区别3复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形定理 3 如果函数 u(x y)在点(x y)具有对 x 及对 y 的偏导数 函数 v(y)在点 y 可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函

43、数 zf(x y)(y)在点(x y)的两个偏导数存在且有xuuzxzdydvvzyuuzyz例 1 设 zeusin v uxy vxy 求xz和yz解xvvzxuuzxzeusin vyeucos v1ex yy sin(xy)cos(xy)yvvzyuuzyzeusin vxeucos v1exyx sin(xy)cos(xy)例 2 设222),(zyxezyxfu 而yxzsin2 求xu和yu解xzzfxfxuyxzexezyxzyxsin222222222yxyxeyxx2422sin22)sin21(2yzzfyfyuyxzeyezyxzyxcos222222222yxyxey

44、yxy2422sin4)cossin(2例 3 设 zuvsin t 而 uet vcos t 求全导数dtdz高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组解tzdtdvvzdtduuzdtdzvetu(sin t)cos tetcos tetsin tcos tet(cos tsin t)cos t 例 4 设 wf(xyz xyz)f 具有二阶连续偏导数 求xw及zxw2解 令 uxyz vxyz 则 wf(u v)引入记号uvuff),(1vuvuff),(12 同理有2f11f 22f 等21fyzfxvvfxuufxw zfyzf yzffyzfzzxw 221212)(2

45、222121211f zxyfyzf yfxyf 22221211)(f zxyf yfzxyf 注1211111fxyfzvvfzuufzf 2221222fxyfzvvfzuufzf 例 5 设 uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式(1)22)()(yuxu(2)2222yuxu解 由直角坐标与极坐标间的关系式得uf(x y)f(cossin)F()其中 xcos ysin22yx xyarctan应用复合函数求导法则 得xuxuxu2yuxusincosyuuyuyuyu2xuyucossinuu两式平方后相加 得高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等

46、数学课程建设组22222)(1)()()(uuyuxu再求二阶偏导数 得xxuxxuxu)()(22cos)sincos(uusin)sincos(uu22222222sincossin2cosuuu22sincossin2uu同理可得2222222222coscossin2sinuuuyu22coscossin2uu两式相加 得22222222211uuyuxu)(1222uu全微分形式不变性全微分形式不变性设 zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分dvvzduuzdz如果 zf(u v)具有连续偏导数 而 u(x y)v(x y)也具有连续偏导数 则dyyzdxxzdz高等数学教案8多元

47、函数微分法及其应用高等数学课程建设组dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz)()()()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuzdvvzduuz由此可见 无论 z 是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性例 6 设 zeusin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分解dvvzduuzdz eusin vdu eucos v dv eusin v(y dxx dy)eucos v(dxdy)(yeusin v eucos v)dx(xeusin v eucos v)dyexyy sin(xy)cos(xy)dx e

48、xyx sin(xy)cos(xy)dy 8 5 隐函数的求导法则隐函数的求导法则一一、一个方程的情形一个方程的情形隐函数存在定理隐函数存在定理 1设函数 F(x y)在点 P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0 在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 yf(x)它满足条件 y0f(x0)并有yxFFdxdy求导公式证明 将 yf(x)代入 F(x y)0 得恒等式F(x f(x)0等式两边对 x 求导得0dxdyyFxF由于 Fy连续 且 Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域

49、 在这个邻域同 Fy0 于是得高等数学教案8多元函数微分法及其应用高等数学课程建设组yxFFdxdy例 1 验证方程 x2y210 在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 x0 时 y1的隐函数 yf(x)并求这函数的一阶与二阶导数在 x0 的值解 设 F(x y)x2y21 则 Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理 1 可知 方程x2y210 在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当 x0 时 y1 的隐函数 yf(x)yxFFdxdyyx00 xdxdy332222221)(yyxyyyxxyyyxydxyd1022xdxyd隐函

50、数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程 F(x y)0 可以确定一个一元隐函数一个三元方程 F(x y z)0 可以确定一个二元隐函数隐函数存在定理隐函数存在定理 2设函数 F(x y z)在点 P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且 F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0z0)0 则方程 F(x y z)0 在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 zf(x y)它满足条件 z0f(x0 y0)并有zxFFxzzyFFyz公式的证明 将 zf(x y)代入 F(x y z)0 得 F(x y f(x y)0将上式两端分别对 x