新审定人教版数学六上第8单元教学设计.docx

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1、数学广角数与形教材分析数形结合是一种非常重要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，使抽象的问题变得更直观。数与形相结合的例子在小学数学教材与教学中随处可见。有些情况下，是图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。本单元的例1以及相关练习就属于这种情况。例如，第109页第2题（如下图），使学生通过观察，发现第2个图比第1个图增加2个小圆，第3个图比第2个图增加3个小圆，第4个图比第3个图增加4个小圆这样依次下去，各个图形中的小圆个数分别是1，3，6，10，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，如果是第个图，小圆的个数是。等学生将来学习了等差数列的有关知

2、识，就知道第个图形中小圆的个数是。而有些情况下，是利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实，让人一目了然。尤其是对于小学生，其思维的抽象程度还不够高，经常需要借助直观模型来帮助理解。例如，利用长方形模型来教学分数乘法的算理，利用线段图来帮助学生理解分数除法的算理，利用面积模型来解释两位数乘两位数的算理、乘法分配律、完全平方公式等。还有的时候，数与形密不可分，可用“数”来解决“形”的问题，也可用“形”来解决“数”的问题。例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具，互为解释，有机融合。小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反映了这样的思想。本单元教材以“”“”为例，引导学生认识利

3、用数和形的结合解决一些有趣的数学问题。教材例题分析例1：连续奇数的等差数列之和等于某平方数。本例让学生计算从1开始的连续若干奇数之和。在计算时，即使不借助图形，也可以通过，发现规律：从1开始，连续个奇数之和，就是的平方。但把图形与算式对应起来，更具直观性，更能让学生体会到数学之美。图中有的规律显而易见（每个图都是一个大的正方形，第个图形中，大正方形的每行、每列都有个小正方形，因此，小正方形的总数是），有的规律相对比较隐蔽(从左下角到右上角，每个“”形的小正方形的个数分别是1，3，5，7，)。每个图中都“隐藏”着一个等式，如第个图中的等式就是。从图形的角度直观理解“正方形数”或“平方数”的特点，

4、显然，使学生通过数与形的对照，利用图形直观形象的特点得到关于数的规律。例2：等比数列之和等于1。本例让学生计算的得数。学生在计算过程中发现，加数有规律，即后一个加数是前一个加数的；和也有规律，每次相加所得的和都等于1减去最后一个加数；加数的项数越多，和越接近1。这些加数无限地加下去，最后的和无限接近于1。但这个无限接近于1的数到底是多少呢？教材利用“分数的认识”中的面积模型和长度模型，在圆上和线段上表示出这些加数，使学生借助图理解：无限加下去，最终的得数为1。由此，教材借助图形解决了比较抽象的、复杂的、不好解决的问题。但在实际教学中，即使有了图形的直观支持，仍有学生对最终结果为1这一事实不能理

5、解，这也是非常正常的。可以有两种解释的方法：第一种，如果学生认为和为，教师可以追问：如果再加上一项呢？加上，和就变成了。不管找到一个多么接近1的数，总还能再加一项，得到一个比它更接近1的和，这恰恰是极限思想的精髓所在。第二种，可以利用反推的方法来使学生明白其中的道理：本单元的教学重点是自主探索图形中隐藏着的数的规律，会利用图形来解决一些有关数的问题，并学会应用所发现的规律。教学难点是体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。连续奇数数列之和与正方形的关系教学设计教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第107页例1及相关练习。教学目标：1体会数与形的联系，进一步积累数形结合数学活动经验，

6、培养学生数形结合的数学思想意识。2体验数形结合的数学思想方法价值，激发学生用数形结合思想方法解决问题的兴趣，感受数学的魅力。3在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想。教学重点、难点：积累数形结合数学活动经验，体验数学思想方法的价值，激发兴趣。教学准备：课件，不同颜色的小正方形。学具准备：不同颜色的小正方形，吸铁板，作业纸。教学过程：一、谈话导入，出示课题教师：最近老师发现，我有一项非常神奇的本领。什么本领呢？我发现只要从1开始的连续奇数相加，比如，1+3,1+3+5像这样的算式，我都算得特别快。你们信吗？教师：不信也没关系，我们现场来比一比。 师生比赛，看谁算得快

7、。教师：这个方法快吗？你们想不想也像老师一样算得快呢？教师：老师给你们一点点提示，我是借助图形发现这个方法的，今天这节课我们就来研究数与形（板书）。二、动手实践，以形解数1教师：我先根据算式中的加数拿出若干个图形。比如，1+3，我就先拿一个小正方形，再拿三个小正方形（贴在黑板上），我发现这些数量的小正方形刚好可以拼成一个大正方形，那我就把它们拼成一个大的正方形。教师：接着，我观察图形和算式之间的关系，就发现了可以快速算得结果的方法，你们想不想自己试试看？教师：先来两个加数的，再来三个加数的。请同学们在小组内先完成第一步，再完成第二步，看看哪个小组最先发现老师的方法。2小组动手操作，教师巡视。3

8、学生汇报，全班交流分析。先讨论1+3，再讨论1+3+5。教师：根据同学们的汇报，大家认为1+3=22，1+3+5=32。除了这两组同学的汇报，你们还有其他发现吗？学生：算式中加数的个数是几，和就等于几的平方。教师：你们认同他的方法吗？能不能举个具体的例子来说一说？学生1：1+3+5+7+9=52。学生2：1+3+5+7+9+11=62。教师：那我们从头来看一看。请看屏幕：1+3+5+7+9=（52）。教师：一个小正方形可以看成12，想要拼成一个更大的正方形，再增加1个是不够的，增加的个数要比前一个加数再多2（也就是3）；想拼成更大的正方形，再增加3个是不够的，还要比3个再多2个（也就是5个），

9、此时是1+3+5；再往下去，要加7才能拼成更大的正方形，依此类推，加到了9，就能排成每行、每列的个数是5的大正方形。教师：那看来只要是1开始的，连续的奇数相加，就能排成每行、每列个数是几的大正方形，和也就是几的平方。4练习。（1）1+3+5+7+9=（ ）2； 1+3+5+7+9+11+13=（ ）2；_=92。教师请学生独立完成，然后全班核对答案。（2）利用规律，算一算。1+3+5+7+5+3+1=（ ）；1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）。全班交流，请学生说明计算结果和原因。5小结。教师：我们同学都很细心，现在不但能很快算出从1开始的连续奇数的和，稍加一点变化

10、，你们也照样算得很快。现在知道老师是用什么方法来快速计算这些题的吧？教师：这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？（图形）。看来，有的计算问题借助图形解决会更容易。就像这个题一样，我们借助图形发现了更巧妙、更简便的方法。三、练习巩固1下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？学生回答，课件出示答案。教师：请你认真思考、观察，上边的图形和对应的数之间有什么规律？四人小组交流。教师：刚才有一个同学说，蓝色的小正方形顺次增加1个，红色的小正方形顺次增加2个。为什么蓝色的小正方形每次增加1个，而红色的小正方形每次增加2个呢？教师：我们一起来看一看。第一个图形，若要增加1个蓝色小正方形，其上

11、方、下方就要各增加1个红色小正方形；依此类推，第三个图形在第二个图形的基础上增加了1个蓝色小正方形，则红色小正方形就要增加几个？教师：如果不让你看图，照这样画下去，第6个和第10个图形各有几个红色小正方形和蓝色小正方形呢？你能写出来吗？在草稿本上写一写。教师请学生介绍，说说是怎么算出来的。教师：观察发现，图形中左右两侧的红色小正方形个数固定不变（为6个），在中间部分，蓝色小正方形的个数乘以2就是红色小正方形的个数。即使在蓝色小正方形个数较多的情况下，仍然可以算得很快，看来图形问题确实也蕴涵着数的规律。找到了其中的规律，解决问题就清晰、容易多了。2课件出示教材第109页练习二十二第2题。（1）教

12、师：上方有图，下方有对应的数字，请你观察和思考，图和数之间有什么规律？小组交流一下。全班交流。学生：第2个图形中小圆的个数为1+2，第3个图形中小圆的个数为1+2+3，第4个图形中小圆的个数为1+2+3+4。学生：是第几个图形，其中就有几行小圆。教师：照这个规律往下画，你能画出来吗？图形下方的数字表示的是什么？第5个、第6个、第7个图形下方的数，你能不能很快写出来？教师请学生独立完成在练习纸上。教师请学生汇报，说说是怎么得到结果的。教师：图形中的最后一行是第几行？含有几个小圆？教师：现在如果老师不让你画图，你能不能想象一下第10个图形，它是什么样子的？一共有多少个小圆呢？现在我们就不画图，算一

13、算，第10个图形下方的那个数是多少？能算出来吗？动笔试一试。展示学生作品，请学生介绍方法。（2）教师介绍“三角形数”“正方形数”。教师：同学们发现没有，55个小圆能排成什么图形？（三角形）而且这个三角形的每一行的小圆的个数分别是从1到10。教师：回过头来看看。3、6、10、15、21呢？它们是否也具有同样的特点？教师：在数学上，我们把1、3、6、10、15、21、28这样的数称为“三角形数”。请同学们想一想，28后面的下一个三角形数是多少？（36）教师：大家再看，一个图形，如果是4个小正方形可以拼成大正方形，如果是9个小正方形可以拼成大正方形，16个小正方形也可以拼成大正方形。像这样的数，我们

14、称之为“正方形数”。四、回顾反思教师：今天这节课，我们一起学习了“数与形”，说说你有什么收获？利用图形求等比数列之和教学设计教学内容：人教版小学数学教材六年级上册第107108页例2及相关练习。教学目标：1在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。2让学生经历猜想与验证的过程，体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本数学思想。教学重难点：探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。教学准备：教学课件。教学过程：一、直接导入，揭示课题同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究有关数与图形之间的联系。

15、（板书课题：数与形）二、探索发现，学习新知（一）教师与学生比赛算题1教师：你知道等于多少吗？（学生：）教师：那等于多少呢？（学生计算需要时间）教师紧接着说：我已经算好了，是，不信你算算。2只要按照这个分子是1，分母依次扩大2倍的规律写下去，不管有多少个分数相加，我都能立马算出结果。有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了方便，我请我们班计算最快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？学生出题。预设：，在学生出题后，老师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。3知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们也想知道吗？（二）借助正方形探究计算方法1这件法宝就是（师边说边课件

16、出示一个正方形），让我们来把它变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事了。2进行演示讲解。（1）演示：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂红），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黄）。想一想：正方形中表示的涂色部分与空白部分和整个正方形之间有什么关系呢？（涂色部分等于“1”减去空白部分）空白部分占正方形的几分之几？（）那么涂色部分还可以怎么算呢？（），也就是说。（2）继续演示，谁知道除了通分，还可以怎么算？根据学生回答，板书。（3）演示：那么计算就可以得到？（）。3看到这儿，你发现什么规律了吗？4小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几分之一就可以得到答

17、案了。5这个法宝怎么样？谁来说说它好在哪里？你学会了吗？6尝试练习：；。（三）知识提升，探索发现1感受极限。（1）刚才我们已经从一直加到了，如果我继续加，加到，得数等于？（）再接着加，一直加到，得数等于？（）随着不断继续加，你发现得数越来越？（大）无数个这样的数相加，和会是多少呢？（2）这时候你心中有没有一个大胆的猜想？（学生猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了。）（3）想象一下，如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的面积就越来越？（小）而涂色部分的面积越来越接近？（1）也就是求和的得数越来越接近？（1）最终得数是1吗？你有什么方法来证明得数就是1？（学情预设：学生提出

18、书本的圆形图和线段图，若没有学生提出，教师自己提出。）2利用线段图直观感受相加之和等于“1”。（1）书本上有两幅图，我们一起来看看（课件出示）。一幅是圆形图，一幅是线段图，你能看懂它的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。（2）学生看书思考。（3）全班交流，课件演示，得出结论：这些分数不断加下去，总和就是1。3课堂小结。对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？教师小结：是的，“数”与“形”有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转化。当用数形结合的方法解决问题时，你会发现许多难题的解决变得很简单。4举一反三。其实在以前的学习中，我们也常用到数形结合的数学方法帮助我们解题，你能想

19、到些例子吗？（如学生有困难，教师举例：一年级加法，分数的认识，复杂的路程问题线段图等。）三、练习巩固1基础练习。（1）学生独立计算。（2）全班交流反馈。2小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？解决问题：（1）全班读题，学生独立思考。（2）指名回答。（3）根据学生回答情况，连线（课件演示）。（4）结合连线图得出：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。四、课堂总结快下课了，请你来说说这节课有什么收获？数学广角数与形同步试题一、填空1观察下面的点阵图规律，第（9）个点阵图

20、中有（ ）个点。解析：第（1）个图有1+2+3=6个点，第（2）个图有2+3+4=9个点，第（3）个图有3+4+5=12个点第个图就有个点。对于找规律的题目，首先应找出哪部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后，再利用规律求解。2先画出第五个图形并填空。再想一想：后面的第10个方框里有（ ）个点，第51个方框里有（ ）个点。解析：分析图形，可得出第个图中共有个点，则第10个图共有1+4（10-1）=37个点，第51个图共有1+4（51-1）=201个点。3按下面用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要（ ）根小棒；摆10个正六边形需要（ ）根小棒；摆个正六边形需要（ ）

21、根小棒。解析：摆1个六边形需要6根小棒，可以写作51+1；摆2个六边形需要11根小棒，可以写作52+1；摆3个六边形需要16根小棒，可以写作53+1由此可以推理得出一般规律，即摆个六边形需要根小棒。4学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如图所示），请你结合这个规律，填写下表：解析：一张方桌坐4人，每多一张方桌就多2个人，那么有4张方桌时就多坐了6人，总人数为4+6=10。如果是张方桌，则所坐人数是。5数形结合是一种重要的数学思想，认真观察图形，然后完成下列问题。 ； ； ； ； 。解析：通过启发引导，使学生明确可以把一个点看作边长是1的正方形，

22、并由此类比正方形的面积公式计算出结果。对于的解答，引导学生从已知的结果归纳出“从1开始连续奇数的和等于奇数个数的平方”这一结论即可。二、选择1观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色的三角形有（ ）。A.82个 B.154个 C.83个 D.121个解析：分别数出第一个、第二个、第三个图中白色三角形的个数，总结出白色三角形的增长规律，以此推算出第5个大三角形中白色三角形的个数为1+3+9+27+81=121。2有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则，做出了如下图所示的树形图，则此次摸球的游戏规则是（ ）。A.随机摸出一个球后放回，再随机摸出一个球 B.随机摸出

23、一个球后不放回，再随机摸出一个球C.随机摸出一个球后放回，再随机摸出三个球 D.随机摸出一个球后不放回，再随机摸出三个球解析：观察树形图可知，袋中共有红、黄、蓝三个小球，此次摸球的游戏规则为：第一次随机摸出一个球后放回，第二次再随机摸出一个球。3搭建如图（1）的单顶帐篷需要17根钢管，若这样的帐篷按图（2）、图（3）的方式串起来搭建，则可节省结合处的钢管，那么串搭20顶这样的帐篷需要（ ）根钢管。 A.340 B.225 C.226 D.227解析：通过分析图形，搭建单顶帐篷需要17根钢管。从串搭第2顶帐篷开始，每多串一顶帐篷需多用11根钢管，由此得出串搭顶帐篷需要根钢管。则串搭20顶这样的帐

24、篷需要1120+6=226根钢管。4一只兔子和一条小狗从同一地点出发，同时开始向东运动，兔子的运动距离与时间关系图象如图中实线部分ABCD所示，小狗的运动距离与时间关系图象如图中虚线部分AD所示。则关于该图象下列说法正确的是（ ）。A.小狗的速度始终比兔子快B.整个过程中小狗和兔子的平均速度相同C.图中BC段表明兔子在做匀速直线运动 D.在前4秒内，小狗比兔子跑得快解析：由图象可以看出：在前4秒，兔子在相同时间内通过的路程比小狗的路程多，所以兔子的运动速度大于小狗的运动速度（由此判断选项D错误）；在第4秒，小狗和兔子在相同时间内通过相同的路程，所以它们的平均速度相同；在4到8秒的时间段，小狗在

25、相同时间内通过的路程比兔子的路程多，所以小狗的运动速度大于兔子的运动速度。整个过程中，小狗和兔子运动路程相同，运动时间相同，所以它们的平均速度相同，选项A是错误的，B正确。另，图中的BC段表示兔子处于静止状态。5如图，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，那么2008这个数在第 个三角形的 顶点处。（ ）A.669；上 B.669；左下 C.670；右下 D.670；上解析：每个三角形有三个角，对应的三个数的顺序是上、左下、右下。根据20083=6691，所以2008这个数在第670个三角形的上顶点处。三、解答1把4个完全相同的乒乓球标上数字2、3、4、5，然后放到一个不透明的口袋中，第一

26、次任意摸出一个球（不放回），第二次再任意摸出一个球。（1）请补充完整下面的连线图：（2）根据上图计算，两次摸出的球所标数字之和是7的可能性是多少？解析：利用连线和列表的方法列举出所有的情况，是一种常用的解决问题的方法。教师应引导学生去经历和体会整个过程，注重对方法的理解和掌握。2找规律填空，要求写出思考的过程。解析：第一个图形中，从上到下外围数字都是2，内部数字都是它的左上角与右上角两个数字的积；第二个图形中，从右上向左下看，每组数据都是一个等差数列：第一列公差是1，第二列公差是2，第三列公差是3，第四列公差是4由此即可解答。3双休日期间，明明和爸爸开车去动物园，在去的路上，明明画出了汽车的速

27、度随时间的变化情况。如图所示：（1）汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？（2）汽车在哪个范围内保持匀速行驶？速度是多少？（3）出发后8分钟到10分钟这段时间可能出现什么情况？（4）用自己的语言描述这辆车的行驶情况。解析：通过读图，需要让学生明确：速度不为0就说明汽车在行驶；图象中点的纵坐标的最大值就是最大速度；匀速行驶时，汽车的速度不变；某段时间速度为0，说明汽车没有在行驶，说出一种可能的情况即可；最后一个问题需要结合实际进行描述。4分别由红、白、黑、黄、绿、蓝、紫七种颜色排成一排，颜色下面是自然数，按下列方式依次排列：那么，自然数2010对应在哪种颜色下面？在第几行？解析：奇数行都有7个

28、数，偶数行都有6个数，循环的周期是13。而且奇数行是从左到右增加的顺序，偶数行是从右到左增加的顺序。2010是图形中出现的第2011个数，用2011除以13得出循环的周期和余数，进一步分析所在的行数，最后确定位置和对应的颜色。5用花、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用花瓷砖（如图所示）。（1）填写下列表格。想一想，这些数量之间有什么关系？（2）如果所拼的图形中，用了20块花瓷砖，那么，白瓷砖用了多少块？（3）如果所拼的图形中，用了块白瓷砖，那么花瓷砖用了多少块？ 解析：大正方形每边的块数每增加1块，所用的花瓷砖块数就增加4。白瓷砖的总块数是白色瓷砖区域每个边上的块数的平方，而花瓷砖的总数量是白瓷砖一边的块数加1的4倍。