数学三角函数公式大全.docx

《数学三角函数公式大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学三角函数公式大全.docx（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、三角函数三角函数1.与（0 360）终 边 相 同 的 角 的 集 合（角与 角的 终 边 重 合）：Zkk,360|终边在 x 轴上的角的集合：Zkk,180|终边在 y 轴上的角的集合：Zkk,90180|终边在坐标轴上的角的集合：Zkk,90|终边在 y=x 轴上的角的集合：Zkk,45180|终边在xy轴上的角的集合：Zkk,45180|若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系：k360若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系：180360 k若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：k180角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：90360k2.角度与弧度的互换关系：36

2、0=2180=1=0.017451=57.30=5718注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.、弧度与角度互换公式：1rad18057.30=571811800.01745（rad）3、弧长公式：rl|.扇形面积公式：211|22slrr扇形4、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点 P（x,y）P 与原点的距离为 r，则rysin；rxcos；xytan；yxcot；xrsec；.yrcsc.5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）?正切、余切?余弦、正割?-?-?-?-?-?+?+?+?+?+?-?+?正弦、余割?o?o?o?x?

3、y?x?y?x?y6、三角函数线正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.yxSINCOS三角函数值大小关系图sinxcosx1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域12341234sinxsinxsinxcosxcosxcosx?r?o?x?y a的终边?P（x,y)?T?M?A?O?P?x?y7.三角函数的定义域：三角函数定义域)(xfsinxRxx|)(xfcosxRxx|)(xftanxZkkxRxx,21|且)(xfcotxZkkxRxx,|且)(xfsecxZkkxRxx,21|且)(xfcscxZkkxRxx,|且8、同角三角函数的基本关系式：tancossincots

4、incos1cottan1sincsc1cossec1cossin221tansec221cotcsc229、诱导公式：2k把的三角函数化为 的三角函数，概括为：“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组二公式组二xxkxxkxxkxxkcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(公式组三公式组三xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公公式式组组一一sinxcscx=1tanx=xxcossinsin2x+cos2x=1cosxsecxx=xxsincos1+tan2x=sec2xtanxcotx=1 1

5、+cot2x=csc2x=1公公式式组组四四xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(公公式式组组五五xxxxxxxxcot)2cot(tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(公公式式组组六六xxxxxxxxcot)cot(tan)tan(cos)cos(sin)sin(（二）角与角之间的互换公公式式组组一一公公式式组组二二sinsincoscos)cos(cossin22sinsinsincoscos)cos(2222sin211cos2sincos2cossincoscossin)sin(2tan1tan22tansincoscossin

6、)sin(2cos12sintantan1tantan)tan(2cos12costantan1tantan)tan(公公式式组组三三公公式式组组四四公公式式组组五五2tan12tan2sin22tan12tan1cos22coscos21sinsincoscos21coscossinsin21sincossinsin21cossin2cos2sin2sinsinsincos1cos1sincos1cos12tansin)21cos(sin)21cos(cos)21sin(cot)21tan(2tan12tan2tan242675cos15sin,3275cot15tan,.3215cot75

7、tan42615cos75sin10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：xAysin（A、0）定义域RRR值域 1,1 1,1RRAA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当,0非奇非偶当,0奇函数单调性22,22kk上 为 增 函数；223,22kk上 为 减 函数（Zk）2,12kk；上 为 增 函数12,2kk上 为 减 函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）1,kk上为减函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上为减函数2sin2cos2sinsin2cos2cos2coscos2sin2sin2coscosZkkxRxx,21|且

8、ZkkxRxx,|且xycotxytanxycosxysincos)21sin(cot)21tan(（Zk）注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反.一般地，若)(xfy 在,ba上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增）.xysin与xycos的周期是.)sin(xy或)cos(xy（0）的周期2T.2tanxy 的周期为 2（2TT，如图，翻折无效）.)sin(xy的对称轴方程是2 kx（Zk），对称中心（0,k）；)cos(xy的对称轴方程是kx（Zk），对称中心（0,21k）；)tan(xy的对称中心（0,2k）.xxyxy2cos)2

9、cos(2cos原点对称当tan,1tan)(2Zkk；tan,1tan)(2Zkk.xycos与kxy22sin是同一函数,而)(xy是偶函数，则)cos()21sin()(xkxxy.函数xytan在R上为增函数.（）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是)(xf具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：)()(xfxf，奇函数：)()(xfxf）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：xytan是奇函数，)31tan(xy是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）奇函数特

10、有性质：若x0的定义域，则)(xf一定有0)0(f.（x0的定义域，则无此性质）xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T）；Oyxyxy=cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象xycos是周期函数（如图）；xycos为周期函数（T）；212cosxy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(.abbabaycos)sin(sincos22有yba22.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（x）的振幅|A|，周期2|T，频率1|2fT，相位;x初相（即当 x0 时的相位）（当 A0，0 时以上公式可

11、去绝对值符号），由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当 0|A|1）到原来的|A|倍，得到 yAsinx 的图象，叫做振幅变换振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0|1）或缩短（|1）到原来的1|倍，得到 ysin x 的图象，叫做周期变换周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换(用x替换 x)由 ysinx 的图象上所有的点向左（当0）或向右（当0）平行移动个单位，得到 ysin（x）的图象，叫做相位变换相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x替换 x)由 ysinx 的图象上所

12、有的点向上（当 b0）或向下（当 b0）平行移动b个单位，得到 ysinxb 的图象叫做沿 y 轴方向的平移（用 y+(-b)替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数 yAsin（x）（A0，0）（xR）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区别。高中数学三角函数常见习题类型及解法高中数学三角函数常见习题类型及解法1.三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如 1=cos2+sin2=tanx cotx=tan45等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos

13、2x=1+cos2x；配凑角：=（+），=22等。（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asin+bcos=22ba sin(+)，这里辅助角所在象限由 a、b 的符号确定，角的值由 tan=ab确定。2.证明三角等式的思路和方法。（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。3.证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。4.解答三角高考题的策略。（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即

14、进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。四、例题分析例 1 已知2tan，求（1）sincossincos；（2）22cos2cos.sinsin的值.解：（1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos；(2)222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。例 2求函数21 si

15、ncos(sincos)yxxxx 的值域。解：设sincos2sin()224txxx，则原函数可化为22131()24yttt ，因为22t，所以当2t 时，max32y，当12t 时，min34y，所以，函数的值域为3324y，。例 3已知函数2()4sin2sin22f xxxxR，。（1）求()f x的最小正周期、()f x的最大值及此时 x 的集合；（2）证明：函数()f x的图像关于直线8x 对称。解：22()4sin2sin222sin2(1 2sin)f xxxxx2sin22cos22 2sin(2)4xxx(1)所以()f x的最小正周期T，因为xR，所以，当2242xk

16、，即38xk时，()f x最大值为2 2；(2)证明：欲证明函数()f x的图像关于直线8x 对称，只要证明对任意xR，有()()88fxfx成立，因为()2 2sin2()2 2sin(2)2 2cos28842fxxxx，()2 2sin2()2 2sin(2)2 2cos28842fxxxx，所以()()88fxfx成立，从而函数()f x的图像关于直线8x 对称。例 4 已知函数 y=21cos2x+23sinxcosx+1（xR）,（1）当函数 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；（2）该函数的图像可由 y=sinx(xR)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（1）y=21c

17、os2x+23sinx cosx+1=41(2cos2x1)+41+43（2sinx cosx）+1=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2xsin6+sin2xcos6)+45=21sin(2x+6)+45所以 y 取最大值时，只需 2x+6=2+2k,（kZ），即x=6+k,（kZ）。所以当函数 y 取最大值时，自变量 x 的集合为x|x=6+k,kZ（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i）把函数 y=sinx 的图像向左平移6，得到函数 y=sin(x+6)的图像；（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数 y=sin(2x+6)

18、的图像；（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），得到函数 y=21sin(2x+6)的图像；（iv）把得到的图像向上平移45个单位长度，得到函数 y=21sin(2x+6)+45的图像。综上得到 y=21cos2x+23sinxcosx+1 的图像。说明：本题是 2000 年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式，降幂后最终化成 y=22ba sin(x+)+k 的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当 cosx=0 时，y=1；当 cosx0 时，

19、y=xxxxx222cossincossin23cos21+1=xx2tan1tan2321+1化简得：2(y1)tan2x3tanx+2y3=0tanxR，=38(y1)(2y3)0,解之得：43y47ymax=47，此时对应自变量 x 的值集为x|x=k+6,kZ例 5已知函数.3cos33cos3sin)(2xxxxf（）将f(x)写成)sin(xA的形式，并求其图象对称中心的横坐标；（）如果ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac，且边 b 所对的角为 x，试求 x的范围及此时函数f(x)的值域.解：23)332sin(2332cos2332sin21)32cos1(2332sin

20、21)(xxxxxxf（）由)332sin(x=0 即zkkxzkkx213)(332得即对称中心的横坐标为zkk，213（）由已知 b2=ac，231)332sin(31)332sin(3sin|295|23|953323301cos21212222cos22222xxxxxacacacacaccaacbcax即)(xf的值域为231,3(.综上所述，3,0(x，)(xf值域为231,3(.说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行整合的能力。例 6在ABC中，a、b、c 分别是角 A、B、C

21、的对边，且cos3cosCacBb，(1)求sin B的值；(2)若4 2b，且 a=c，求ABC的面积。解：(1)由正弦定理及cos3cosCacBb，有cos3sinsincossinCACBB，即sincos3sincossincosBCABCB，所以sin()3sincosBCAB，又因为ABC，sin()sinBCA，所以sin3sincosAAB，因为sin0A，所以1cos3B，又0B，所以22 2sin1 cos3BB。(2)在ABC中，由余弦定理可得222323acac，又ac，所以有22432243aa，即，所以ABC的面积为211sinsin8 222SacBaB。三角函

22、数一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分)1已知点 P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2集合 Mx|xk24，kZ与 Nx|xk4，kZ之间的关系是（）A.M NB.N MC.MND.MN3 若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是（）A.60B.60C.30D.304已知下列各角（1）787，(2)957，(3)289，(4)1711，其中在第一象限的角是()A.（1）（2）B.（2）（3）C.（1）（3）D.（2）（4）5设 a0，角的终边经过点 P（3a，4a），那么 sin2cos的值等于（）A.25

23、B.25C.15D.156 若 cos()12，322，则 sin(2)等于（）A.32B.32C.12D.327若是第四象限角，则是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长是（）A.2B.2sin1C.2sin1D.sin29 如果 sinxcosx15，且 0 x，那么 cotx 的值是（）A.43B.43或34C.34D.43或3410 若实数 x 满足 log2x2sin，则|x1|x10|的值等于（）A.2x9B.92xC.11D.9二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分

24、)11tan300cot765的值是_.12若sincossincos2，则 sincos的值是_.13不等式（lg20)2cosx1，(x(0，)的解集为_.14若满足 cos12，则角的取值集合是_.15若 cos130a，则 tan50_.16已知 f(x)1x1x，若(2，)，则 f(cos)f(cos)可化简为_.三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 12 分）设一扇形的周长为 C(C0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？18(本小题满分 14 分）设 90180，角的终边上一点为P（x，5)，且

25、cos24x，求 sin与 tan的值.19(本小题满分 14 分)已知2，sinm3m5，cos42mm5，求 m 的值.20(本小题满分 15 分)已知 045，且 lg(tan)lg(sin)lg(cos)lg(cot)2lg332lg2，求 cos3sin3的值.21(本小题满分 15 分)已知 sin(5)2 cos(72)和3 cos()2 cos()，且 0，0，求和的值.三角函数一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1下列函数中，最小正周期为的偶函数是（）A.ysin2xB.ycosx2C.ysin2xcos2xD.y1tan2x1tan2x2 设函数

26、 ycos(sinx)，则（）A.它的定义域是1，1B.它是偶函数C.它的值域是cos1，cos1D.它不是周期函数3把函数 ycosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两倍，然 后 把 图 象 向 左 平 移4个 单 位.则 所 得 图 象 表 示 的 函 数 的 解 析 式 为（）A.y2sin2xB.y2sin2xC.y2cos(2x4)D.y2cos(x24)4 函数 y2sin(3x4)图象的两条相邻对称轴之间的距离是（）A.3B.23C.D.435若 sincosm，且 2 m1，则角所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6 函数

27、 y|cotx|sinx（0 x32且 x）的图象是（）7 设 ycos2x1sinx，则下列结论中正确的是（）A.y 有最大值也有最小值B.y 有最大值但无最小值C.y 有最小值但无最大值D.y 既无最大值又无最小值8 函数 ysin（42x)的单调增区间是（）A.k38，k8(kZ)B.k8，k58(kZ)C.k8，k38(kZ)D.k38，k78(kZ)9已知 0 x，且12a0，那么函数 f(x)cos2x2asinx1 的最小值是（）A.2a1B.2a1C.2a1D.2a10求使函数 ysin(2x)3 cos(2x)为奇函数，且在0，4上是增函数的的一个值为（）A.53B.43C.

28、23D.3二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）11函数 ycosx12cosx的值域是_.12函数 ycosxlg（1tanx）的定义域是_.13如果 x，y0，且满足|sinx|2cosy2，则 x_，y_.14已知函数 y2cosx，x0，2和 y2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图形的面积是_15函数 ysinxcosxsin2x 的值域是_.16关于函数 f(x)4sin(2x3)(xR)有下列命题：由 f(x1)f(x2)0 可得 x1x2必是的整数倍；yf(x)的表达式可改为 y4cos(2x6)；yf(x)的图象关于点（6，0)对称；yf(x)的图象

29、关于直线 x6对称.其中正确的命题的序号是_.三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分 12 分）如图为函数 yAsin(x)(A0，0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.18（本小题满分 14 分）已知函数 y(sinxcosx)22cos2x.(xR)(1)当 y 取得最大值时，求自变量 x 的取值集合.(2)该函数图象可由 ysinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？19（本小题满分 14 分）已知函数 f(x)21log(sinxcosx)（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.20（本小题满分 15 分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深 3 米，则水渠侧壁的倾斜角应为多少时，方能使修建的成本最低？21(本小题满分 15 分）已知函数 f(x)sin(x)(0，0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M（34，0)对称，且在区间0，2上是单调函数，求和的值.