2022年等比数列详细教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 课题等比数列名师精编优秀教案学习内容与过程复习引入：1等差数列的定义：a nan1=d ,（n 2,nN）2等差数列的两个通项公式：an a 1 n 1 d a n am n m d 或 a =pn+q p 、q 是常数 3几种运算公差 d 的方法： d= a n a n 1 = a n a 1= a n a mn 1 n ma b4等差中项：A a , b , 成等差数列25 数列的前 n 项和 S ：n S n n a 1 a n ,Sn na 1 n n 1 d2 2学问点1,2,4,8,16, , 263; 15, 25,125,625

2、, ；a n11,1,1,1, ；248对于数列,a =5n; =5（n 2）对于数列,a =2n1; a n1=2（n 2）ana n对于数列,a =1n121；an11 2（n2）na n共同特点： 从其次项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数1等比数列 ：一般地,假如一个数列从其次项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（ q 0）,即：a n1=q（q 0） a 成等比数列a nn1 =q（nN,q 0ana1 “ 从其次项起” 与“ 前一项” 之比为常数q,q 0 2隐含：任一项a n0 且q03 q

3、= 1 时, a n 为常数例 1 下面四个数列：（ 1）1,1,2,4,8,16,32,64；（ 2）在数列an中,a 2=2,a 3=2；（3）常数列 a,a,a,.；a 1a 2（4）在数列an中,an1=q；其中是等比数列的有答案：（4）a n2.等比数列的通项公式名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案由等比数列的定义,有：a2a 1q；a3a2qa 1qqa 1q2；a 4a3qa 1q2qa 1q3；anan1qa 1qn1a1q0（1）ana1qn1a 1q0 已知等比数列的首项和公比就可

4、以得出任何一项；（2）anamqnm通项公式的推广式,就已知等比数列的任意两项就可以求出其他的任意一项推广：q n m a n ; q n m a n求公比 q 的方法a m a m（3）既是等差又是等比数列的数列：非零常数列a 2 a 3 a 4 a n a 2 a 3 a 4 . a n（4）等比定理： q= = = =.= =a 1 a 2 a 3 a n 1 a 1 a 2 a 3 . a n 1（5）等比数列基本量的求法：1a 和 q 是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可求出；q n m a n ; q n m a n；q= a n 1a m a m a n（6）等比

5、数列与指数函数：a n a 1 q n 1,即 a n a 1 q n,与指数函数 y q x类似,可借助指数q函数的图像和性质来讨论例 2 求以下各等比数列的通项公式：（1）a = 2, a = 8 322n12n或an2 2 n12n解：a3a 1qq24q2,an（2）a =5, 且 2an1= 3an53n1解：qan13又：a 15ana n22（3）a2a 518,a3a69,an1,求 n （答案 ;n=6）变式 1：求下面等比数列的第4 项与第 5 项：（ 1）5, 15,45, ；（2）1.2,2.4, 4.8, ；名师归纳总结 （ 3）2,1.3,;42,1,2, . qn

6、1=5 （ 3）n1第 2 页,共 7 页3282解：（1） q=15 5=3, a =5 a =a 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案n2a =1.2 2 54 =19.2 a =5 （ 3）3 =135,a =5 （ 3）4 =405. （ 2） q=2. 4=2, a =1.2 a = na1qn1=1.2 2n1a =1.2 23 =9.6, .12（ 3） q=123,a12a =a 1qn1= 3 2 （3 ）4n12343a =2 （23 ）43 =9, a = 52 （33 ）44 =2732128（ 4） q=122

7、,a =2a = na 1qn1=2 （1）n1=1222a =121,a5132. 2224变式 2：一个等比数列的第9 项是4 ,公比是91 ,求它的第 31 项. 解：由题意得a = 94,q=193a =1a q4 8, 9=1a （3 1 ）8,1a =2916 3.等比数列的性质（1）单调性： 当 q1, a 0 或 0q1, a 1, a 0,或 0q0时, a 是递减数列 ;当 q=1 时, n a 是常数列 ;当 q0 时, n a 是摇摆数列 ; n（2）等比中项： 假如在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a ,G, b 成等比数列,那么 G 应满意：由定义得 G b,

8、即：G ab；反之,如 G ab,就 G b；a G a G由此可得：G ab（ab 0）a , G , b , 成等比数列留意：由上述公式也可看出异号的两个数没有等比中项,只有同号的才有（3）在等比数列中,如 m+n=p+q m, n, p, q N ,就 a m a n a p a q,特殊地,如 m+n=2p ,就2a m a n a p推广：a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 . a m a n m 1例 3 已知 a n 为等比数列,如 a 1 a 2 a 3 7,a 1 a 2 a 3 8,求 a n（答案：a = 2 n 1 或 2 3 n）变式 1：等比数列

9、 a n 的前三项的和为 168,a 2 a 5 42,求 a 5,a 7 的等比中项（答案：3 ）变式 2：已知 a n 为等比数列,如 a n 0,且 a 2 a 4 2 a 3 a 5 a 4 a 6 36,求 a 3 a 5 的值（答案： 6）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案（4）如数列 a n 为等比数列,就数列 a n（其中 为常数）也为等比数列,其公比是 q 如数列 a n 为等比数列,b n 为公比是 t 的等比数列,就 a nb n 也是等比数列, 其公比为 q t如数列 a n

10、 为等比数列,1 也是等比数列,其公比为 1a n q（5）如数列 a n 为等比数列,就下标成等差数列且公差为 m 的项 a k , a k m , a k 2 m ,. k , m N 组m成了公比为 q 的等比数列推广： m,n,p（都为正整数）成等差数列,就 a m , a n , a p 成等比数列k k 2（6）如数列 a n 为等比数列,连续相邻 k项的和（或积）构成公比为 q 或 q 的等比数列,例如a 1 a 2 . a m,a m 1 a m 2 . a 2 m , a 2 m 1 a 2 m 2 . a 3 m,.；a 1 a 2,a 3 a 4 , a 5 a 6,.

11、（7）如数列 a n 为各项都是正数的等比数列,数列 lg a n 是公差为 lg q 的等差数列4.判定一个数列为等比数列的方法（1）定义法：an1=q 常数, n2,nN）an为等比数列a n0）an为等比数列an（2）等比中项法,也称递推法：an1an1an2（ n2,nN,（3）通项法：a 为 n 的指数型函数,即a 1qn1an为等比数列留意：证明一个数列为等比数列只能通过定义法与等比中项法01n1（2）这个数列中的任一例 4： 已知无穷数列105, 105,., 105,.,求证：（1）这个数列是等比数列；13 ,.；证明：（1）Sn项是其后第5 项的 10变式 1：数列an的前

12、n 项和记为S ,已知a 11 ,an1nn2S nn,12 ,n是等比数列； （2）S n14 anS ,且anS n12 n2 ,a 12；求数列an的通项公式第 4 页,共 7 页变式 2：数列an的前 n 项和记为名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案5.等比数列的设项方法q（1）通项法：设数列的通项公式,即设a =a 1qn1nN 2n项 , 就 可 设 为 ：（ 2 ） 对 称 设 ： 主 要 针 对 有 限 项 ； 如 所 给 等 比 数 列 为a1,qa3,.,a,a,aq,aq3,.aq2n1,此数列的公比

13、为2 q ；2n2nq3qn1,此数列的公差为q；如所给等比数列为2n+1 项,就可设为：qa1,qa2,.,a,a,aq,.aqnnq（3）等差、等比数列综合运算问题；例 5：有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为21,中8000,求这四个间两个数的和为18,求这四个数（答案：3,6,12,18 或75,45,27,9）4444变式： 有四个正数,前三个数成等差数列,和为48,后三个数成等比数列,积为数6.等比数列应用题例 6：有纯酒精 aL a 1 ,从中取出 1L,再用水加满, 然后再取出 1L,再用水加满, 如此反复进行,问第九次和第十次共取出多少

14、L 纯酒精？7.等比数列与等差数列的比较例定义已等差数列lgan为等差数列比数等比数列b n满足差商项项没有限制项必需非零联系（1）正项等比数列an7：（2）an为等差ban为等比数列列,数列知an是各项都为正数的等b n1lga 1lga 2.lgan1lgka n,问是否存在正数k,使得b n成等差数列？如存在求出nk；不存在说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 变式 1：已知bclogxcalogya名师精编优秀教案blogz0；（1）如 a,b,c 依次成等差数列且公差mmm不为 0,求证 x,y,z 成

15、等比数列；（ 2）如 x, y,z 依次成等比数列,求证a,b,c 成等差数列变式 2：已知an中,S 是其前 n 项和,且S n14an2n,12,.,a 11; （1）设b nan12a n,求数列bn的通项公式的通项公式（2）在（ 1）的条件下,设cnan,求数列cn2n（3）在（ 2）的条件下,求数列an的通项公式及S n课堂检测1.已知等比数列an的公比q1,就a 1a3a5a7等于（）a9等于（）第 6 页,共 7 页3a 2a 4a 6a 8A.1B.-3 C.1D.3 332.已知an是等差数列,公差d0,且a 1,a 3,a9成等比数列,就a 1a3a2a 4a 10A.7B

16、.9C.11D.1316161616b 9=（）3.一个各项均为正数的等比数列,其任何项都等于它后面两项的和,就其公比是（A.5B.1-25C.2D.5-12524.等比数列a n中,a3a 114a 7,数列b n是等差数列,且b 7a7,就b 5A.2 B.4 C.8 D.16 5.等比数列a n中,a3a5a7,3a 6a7a824,就a 9a 10a 11的值为（）A.48 B.72 C.144 D.192 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案6.等比数列 a n 的各项都是正数,等差数列 b n 满意 b 7 a

17、 6,就有（）A. a 3 a 9 b 4 b 10 B. a 3 a 9 b 4 b 10 C. a 3 a 9 b 4 b 10 D. a 3 a 9 与 b 4 b 10 的大小不确定7.各项均为正数的等比数列 a n 中,如 a 5a 6 9,就 log 3 a 1 log 3 a 2 . log 3 a 10 的值为8.等比数列 a n 中,已知 a 7a 12 5,就 a 8 a 9 a 10 a 11 = 9.等比数列 a n 中,a 3 3 , a 5 9,就此数列的公比为2 a 3 a 410.各项均为正数的等比数列 a n 中,公比 q 满意 q 4,就a 4 a 511.某工厂生产一种产品,原方案今年第一季度的产量逐月增加相同饿件数,但实际生产中,2 月份比原方案多生产了 10 件,3 月份比原方案多生产了 25 件,这样三个月的产量恰好成等比数列,并且3 月份的产量只比原方案第一季度总产量的一半少 品？10 件,求这个厂第一季度共生产了多少件这种产12.数列aan中,a 12 ,a 23,且anan1是以 3 为公比的等比数列,记b na2n1a 2nnN第 7 页,共 7 页（1）求3,a4,a 5,a6的值；（ 2）求证：b n是等比数列名师归纳总结 - - - - - - -