2022年牡丹江市中考满分作文-勾股定理中数学思想的运用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载勾股定理中数学思想的运用一. 勾股定理中方程思想的运用方程思想 是指：在含有直角三角形的图形中,求线段的长往往要使用勾股定理,假如无法直接用勾股定理来运算,就需要列方程解决；例题 1如左图所示,有一张直角三角形纸片,两直角边重合,折痕为DE,就 CD的长为（）AC=5cm,BC=10cm,将 ABC折叠,使点 B 与点 A分析 ：折叠问题是近几年来中考中的常见题型,解折叠问题关键抓住对称性,图中 CD在t ACD 中,由于 AC已知,要求 CD,只需求 AD,由折叠的对称性,得 AD=BD,留意到 CD+BD=BC,利用勾股定

2、理即可解之；解：如右图所示,要使 A, B 两点重合,就折痕 DE必为 AB的垂直平分线；连结 AD,就 ADBD；设 CDx,就 AD=BD=10x在 Rt ACD中,由勾股定理,得 应选 D；点拨 ：勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式,求线段的长时,可由此列出方程,运用方程思想分析问题和解决问题,以便简化求解；二. 勾股定理中分类争论思想的运用名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分类争论思想 是指：在解题过程中,当条件或结论不确定或不惟一时,往往会产生几种可能的情形,这就 需要依据肯定的

3、标准对问题进行分类,再针对各种不同的情形分别予以解决；最终综合各类结果得到整个 问题的结论；分类争论实质上是一种“ 化整为零,各个击破,再积零为整” 的数学方法；例题 2已知 ABC 中, AB=20, AC=15,BC边上的高为 12,求 ABC的面积；分析 ：应分 ABC是锐角三角形或钝角三角形两种情形分别求之；解： AD是 ABC的高,由勾股定理,得BD 2 = AB2 AD 2 = 202 122 = 256, BD = 16CD 2 = AC2 AD 2 = 152 - 122 = 81, CD = 9（1）如C 为锐角,如图（ 1）所示,就 BC = BD + CD = 16 +

4、9 = 25 （2）如C 为钝角,如图（ 2）所示,就 BC = BD CD = 16 9 = 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载即 ABC的面积为 150 或 42 点拨 ：在一些求值运算题中,有些题目没有给出图形,当画出符合题意的图形不惟一时,要留意分情形进行争论,防止漏解；三. 勾股定理中类比思想的运用类比思想 是数学学习的重要发觉式思维,它是一种学习方法,同时也是一种特别重要的制造性思维；它通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性,去估计这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性；从而大

5、胆猜想得到结论 必要时要加以证明 ；例题 3如图,分别以直角三角形 ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用 S1、S2、S3 表示,就不难证明 S1=S2+S3（1）如图,分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用 S1、S2、S3表示,那么 S1、S2、S3之间有什么关系？ 不必证明 （2）如图,分别以直角三角形 ABC三边为边向外作三个等边三角形,其面积分别用 S1、S2、 S3 表示,请你确定 S1、S2、 S3 之间的关系并加以证明分析 ：从同学们熟识的勾股定理入手,简洁得证,中要求出等边三角形的面积；解：设直角三角形ABC的三边 BC、 CA、 AB的长分别

6、为 、b、 c,就 c2 = 2 + b2（1）S1 = S2 + S3（2）S1 = S2 + S3证明如下：明显,点拨 ：此题从特别到一般,从已知到未知,类比勾股定理的探究过程,其关键就在于懂得勾股定理当然,学习了相像三角形的学问后,仍可以连续探究：分别以直角三角形 上述结论是否仍成立呢？ABC三边为边向外作三个一般三角形,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四. 勾股定理中整体思想的运用整体思想 是指：对于某些数学问题,假如拘泥常规,从局部着手,就难以求解；假如把问题的某个部分或几个部分看成一个

7、整体进行摸索,就能开阔思路,较快解答题目；例题 4在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图）已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 S1、 S2、S3、S4,就 S1S2 S3S4=_分析 ：此题不行能求出 S1、S2、 S3、S4,但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出 S1 S2、 S2S3、 S3S4解：易证 Rt ABC Rt CDE AB = CD又CD 2 + DE2 = CE2, 而 AB 2 = S3,CE2 = 3,DE2 = S4S 3 S 4 = 3 ,同理 S1 S 2 = 1 ,S2 S 3 = 2 S 1 S 2 S 2

8、S 3 S 3 S 4 = 1 2 3 = 6,即 S1 S 2 S 3 S 4 4 点拨 ：化零为整,化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法,利用整体思想,不仅会使问题化繁为简,化难为易,而且有助于培育同学的制造性思维才能；五. 勾股定理中数型结合思想的运用所谓 数形结合思想 ,就是抓住数与形之间本质上的联系,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过“ 以形助数” 或“ 以数解形” ,使复杂问题简洁化、抽象问题详细化,从而达到快速解题的目的；例题 5在一棵树的10m高处有两只猴子,其中一只爬下树直奔离树20m的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,假如两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高

9、？分析 ：依据题意画出图形,再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：如右图所示,D为树顶, AB = 10m,C 为池塘, AC = 20m 设 BD的长是 xm,就树高（ x + 10 ）m AC + AB = BD + DC,DC = 20 + 10 x 在 ACD中A = 90 , AC 2 + AD 2 = DC 220 2 + （x + 10 ）2 = （30 x）2,解得 x = 5 x + 10 = 15,即树高 15 米点拨 ：勾股定理本身就是数形结合的一个典范,它把直角三角形有一个直角的“ 形” 的特点,转化为三边“ 数” 的关系； 利用勾股定懂得决实际问题,再利用方程来解决；关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型,数学思想方法是解决数学问题的灵魂；在运用勾股定懂得题时,更应留意思想方法的运用,以提高独立分 析问题和解决问题的才能；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页