2022年简单无理函数的不定积分与三角函数的不定积分.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载7.4 简洁无理函数的不定积分与三角函数的不定积分一、简洁无理函数的不定积分对被积函数带有根号的不定积分,它的运算是比较麻烦的；但对某些特别情形,我们可通过作变量替换,将其转化为有理函数的不定积分,这样就可以用上述的方法运算；下面总假设R x,y表示关于变量x,y的有理函数；t0dxt tdt,于是1Rx,naxb型函数的不定积分；其中adbccxd解法：作变量替换tnaxb,即xdtnctb,cxdnaRx,naxbdxRt,tdt,cxd转化为有理函数的不定积分；例 1求x1x1dx72x8x15714分析：要把被积函数

2、中的几个根式化为同次根式；x17x14x2,x1x14x7,x87x814x16,15 x 1414x15727作变量替换t14 x,即xt14,dx14t13dt,就可以把原不定积分化为有理函数的不定积分；解：作变量替换t14 x,即xt14,dx14t13dt,就x1x1 2dxt2t714t13dt141t5dt7x8x15 14t16t15t17例 2求32x21x 2dx2x解：设32xt,就x22 t3,dx112 t22dt,所以2x1t3t332x1x2dxt212 t32 112t22dt31dt2t34t32x22Rx ,ax21t3bxc型函数的不定积分,其中b24ac0

3、（即方程ax2bxc0无重根）分两种情形争论：名师归纳总结 （1）b24 ac0时,方程ax2bxc0有两个不等的实数根、第 1 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 这时,设tax2bxcdx学习好资料txax2欢迎下载t2t2txx,即xt22t2tdt,从而有bxc22于是,Rx ,ax2bxcdxRtt2,t2tdt2t2这就将无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分；例 3求 1x dxxx22且c解：方程2xx20有两个根：x11,x22,设2xx2tx1,4ac0）,就t2x,即x2t2,于是dx 16 tt 2 2dt,2xx

4、213t21x21tt6t1xdxxx211t223t2dt2dt2tC22xC213331x2t21t2t（2）b24ac0时,方程ax2bxc0没有有实数根； 此时, a 、c 同号（否就b20（否就x0 时,ax2bxc没有意义）,从而a0设ax2bxctxc,就tax2bxcc,或xbt22tct,此时xadxtdt,从而Rx,ax2bxcdxRt,ttctdt这就把无理函数的不定积分化为有理函数的不定积分；名师归纳总结 例 4求xx1x1dxtxx2tx2111,即x2 t11tt1第 2 页,共 5 页x2解：设x21tx1,或x2t1有dx2 t2t1 dt,x212t1,xx2

5、xt21 2t- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - xx1x1dx2t学习好资料1dt欢迎下载1t2t2t t212（3）当被积函数是最简形式时,可用特别的简洁方法运算；例 5求111x2dx6x例 6求2xx25dx1 dx24x例 7求x2 x24x二、三角函数的不定积分三角函数有理式的积分,即R cosx ,sinx dx型的积分,其运算方法的总思路就是把它转化为有理函数的不定积分；运算方法多种多样,有一种通用的运算方法万能代换；令ttgx,就有x2arctgt.,dx2dt2,且,dt21tsinx2sinxcosx2 tgx12 t22 x222

6、 sect2cosx1t2,tgx12 t2于是1t2t2R cosx ,sinx dxR1t2,12 t211t2tt2化为了有理函数的不定积分；讲解课本例8、例 9；dxxx11222dtdttctgxc补充例子：求I1cos解： 用万能代换 ttg2tI1t21t2仍可以用其它的解法；名师归纳总结 解法 2： 用初等化简 I1dxx2 secxdxtgxc. 第 3 页,共 5 页22 cos2222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载解法 3： 用初等化简 , 并凑微 I1cosxdxcsc2xdxcdsinxc .1cos2

7、xsin2x1ccscxctgxxctgxtgsinx2可以看到,三角函数的不定积分的运算方法是比较敏捷的,只要我们留意观看被积函数的特点,就能找到一些简便的运算方法；下面介绍一些特别的有理三角函数的不定积分的简便运算方法；1假如R cosx,sinxRcosx,sinx,那么可设tsinx即可tsinx；例 10求tanxcos6xdxsin4x解：tanxcos6xdxcos5xdx1sin2x2dsinxsin4xsin3xsin3x可见,在解题时不肯定要“ 设”,懂得“ 凑” 就行了；2假如R cosx,sinxR cosx,sinx,那么设tcosx即可例 11求sin5xdx4 c

8、osx解：sin5xdx 1cos2x2dcosx cos4xcos4x3假如R cosx,sinx Rcosx,sinx,那么设ttanx即可例 12求sin2xx1dxcos4解：sin2xx1dxsin2xx1dtanxtan2x1tan2xdtanxcos4cos24被积函数是形如sinnxcosmx的三角函数,分两种情形：（1）假如 n 与 m至少有一个是奇数,那么n 是奇数时设tcosx；m是奇数时设例 13求tan3xdxcosx解：tan3xdxsin3xdxsin2xdcosx12 cosxdcosxcosx7 cos 2x7 cos 2x7 cos 2x（2）假如 n 与

9、m都是偶数,就通过三角公式名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载2 1 cos 2 x 2 1 c o s 2 x 1sin x,c o s x,s i n x c o s x s i n 2 x2 2 2将被积函数降幂、化简；例 14求 sin 2 x cos 4 xdx2 4 1 2 1 2 3解：sin x cos xdx 1 cos 2 x 1 cos 2 x dx 1 cos 2 x cos 2 x cos 2 x dx8 81 1 cos 2 x 1 cos 4 x cos 32 x dx

10、8 25假如被积函数是形如 sin mxsin nx、sin mxcos nx、cos mxcos nx 的函数,那么就用积化和差公式将被积函数化简；sinmxsinnx1cosmn xcosmn x2sinmxcosnx1sinmn xsinmn x2cosmxcosnx1cosmn xcosmn x2例 15求cos5 x1cos2x3dx上面介绍的积分都是能积出来的,但并不是全部的积分都能积出来的；如sinxdx,exdx,1dx,ex2dxxxlnx这些不定积分按道理应当有结果,但他们都是“ 积不出来” 的；主要缘由他们是不能用初等函数来表示；名师归纳总结 （用上面方法运算的不定积分的结果都是初等函数；）第 5 页,共 5 页- - - - - - -