2022年《概率论与数理统计》课后习题答案.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -习题解答习 题 1.1 1试判定以下试验是否为随机试验：（1）在恒力的作用下一质点作匀加速运动；（2）在 5 个同样的球（标号1,2,3,4,5,）中,任意取一个,观看所取球的标号；（3）在分析天平上称量一小包白糖,并记录称量结果解（1）不是随机试验,由于这样的试验只有唯独的结果（2）是随机试验, 由于取球可在相同条件下进行,每次取球有 5 个可能的结果：1,2,3,4,5,且取球之前不能确定取出几号球（3）是随机试验,由于称量可在相同条件下进行,每次称量的结果用 x 表示,就有 x m , m ,其中 m

2、为小包白糖的重量,为称量结果的误差限易见每次称量会有无穷多个可能结果,在称量之前不能确定哪个结果会发生2写出以下试验的样本空间（1）将一枚硬币连掷三次；（2）观看在时间 0 ,t 内进入某一商店的顾客人数；（3）将一颗骰子掷如干次,直至掷出的点数之和超过 2 为止；（4）在单位圆内任取一点,记录它的坐标解（1）=（正正正）,（正正反）,（正反正）,（反正正）,（正反反）,（反正反）,（反反正）,（反反反） ；（2）=0,1,2,3, ；（3）=（3,4）,（5,6）,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,1,1,1, 1,1,2,1,1,3,1

3、,1,4,1,1,5,1,1,6. （4）在单位圆内任取一点, 这一点的坐标设为 （x,y）,就 x,y 应满意条件2 xy21.故此试验的样本空间为 , |x2y21.,B3将一颗骰子连掷两次, 观看其掷出的点数 令 A =“ 两次掷出的点数相同”B 、=“ 点数之和为 10” ,C=“ 最小点数为 4” 试分别指出大事A、B、C以及AABC、 AC、 CA、 BC 各自含有的样本点解A =1,1 ,2,2 ,3,3 ,4,4 ,5,5 ,6,6 ; B =4,6 ,5,5 ,6,4;C =4,4 ,4,5 ,4,6 ,5,4 , 6,4; 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

4、 - - - - - - - - - 第 1 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -AB1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,4,6,6,4; ABCAC =1,1,2,2,3,3,5,5,6,6; 0 次,1 次,2 次,记CA =4,5,4,6,5,4,6,4; BC5,5.4在一段时间内, 某电话交换台接到呼吁的次数可能是大事A kA 间的运算表示以下大事：（k = 1 ,2 , ）表示“ 接到的呼吁次数小于k”,试用（1） 呼吁次数大于 2 ；（2） 呼吁次数在 5 到 10

5、 次范畴内；（3） 呼吁次数与 8 的偏差大于 2 解 1 A ；2 A 11A ；3 5A 6A . 5试用大事 A 、 B 、 C（1） A发生而 B 不发生；及其运算关系式表示以下大事：（2） A不发生但 B、 C 至少有一个发生；（3） A 、 B 、 C 中只有一个发生；（4）A 、 B、 C 中至多有一个发生；（5） A 、 B 、 C 中至少有两个发生；（6） A 、 B 、 C 不同时发生解1 AB ；2A BC ；3 ABCABCA BC； 4 ABA CBC ；5 ABBCAC ； 6 ABC6在某高校金融学院的同学中任选一名同学如大事A 表示被选同学是女生,大事B 表示该

6、生是高校二年级同学,大事 C 表示该生是运动员（）表达 ABC 的意义（2）在什么条件下ABCC 成立？（3）在什么条件下AB 成立？解细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）该生是二年级女生,但非运动员（2）全学院运动员都是二年级女生（3）全系男生都在二年级 7化简以下各大事：（1）AB A；. BAB .（2） ABB ；（3） AB A；（4） AB B（5） ABABAA 解1 ABAA

7、；A A2 ABBAB ；3 AB AAB ；4 AB B；5 ABABAB习题 1.2 1已知大事 A 、 B 、 AB 的概率分别为 0.4,0.3,0.6求P AB解 由公式P ABP AP BP AB 及题设条件得P AB0.40.30.60.1,求（1）A 、B 、又P ABP ABP AP AB0.40.10.32设P AP BP C1, P AB0,P ACP BC1416C 中至少有一个发生的概率； （2） A 、 B 、 C 都不发生的概率；解（1）由已知P AB0,且有 ABCAB ,所以由概率的单调性知P ABC0再由概率的加法公式,得A 、 B 、 C 中至少有一个发生

8、的概率为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -P ABCP AP BP CP AB（2）由于“P ACP BCP ABCA 、 B、 C 中至少有一个 =320.625416A 、 B 、 C 都不发生” 的对立大事为“发生” ,所以得3设P（ A 、 B、 C 都不发生） =1-0.625=0.375；P A B ,P A B P A p,P Bq,P ABr,求P A B ,解 . 由P ABP

9、 AP BP AB得P ABP AP BP ABpqr就P ABP AP ABppqrrrq0.9,P BC= P ABP BP ABqpqrrpP ABP AB1P AB1, P A4设 A 、B、C 是三个随机大事, 且有AB,AC0.8 ,求P ABC 解 因P BCP BC1P BC就P BC 1 P B C 1 0.8 0.2又由 A B A C 知 A BC ,于是P A BC P A P BC 0.9 0.2 0.75某城市共有 A 、 B、C 三种报纸发行 . 已知该市某一年龄段的市民中,有 45%的人喜爱阅读 A报, 34% 的人喜爱阅读 B 报,20% 的人喜爱阅读C报,

10、10%的人同时喜欢阅读 A报和B报, 6% 的同时人喜爱阅读报A和 C 报,4% 的人同时喜爱阅读C 报和 B 第 4 页,共 22 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -报,1% 的人 A 、B、C 三种报纸都喜爱读 . 从该市这一年龄段的市民中任选一人,求以下大事的概率：（1）至少喜爱读一种报纸； （2）不喜爱读任何一种报纸； （3）只喜爱读 A 报；（4）只喜爱读一种报纸 . 解设 A 、B、C 分别表示从该市这一

11、年龄段的市民中任选一人喜爱读A报 、 B报、 C 报由题设知PA 0. 4 5 , P B 0. 3 4 ,P AB0.10,P BC0.04,P AC0.06P ABC0.010（1）该市这一年龄段的市民中任选一人至少喜爱读一种报纸的概率P ABCP AP BP CP AB0.010.8P ACP BCP ABC0.04 =0.45+0.34+0.20.10.06（2）该市这一年龄段的市民中任选一人不喜爱读任何一种报纸的概率P ABCP ABC1 P ABCB 报的概率 =10.8=0.23 该市这一年龄段的市民中任选一人只喜爱读A 报的概率P ABCP ABP ABCP AP ABP AC

12、P ABC =0.450.10.060.01=0.34 同理可以求得：该市这一年龄段的市民中任选一人只喜爱读P ABCP ABP ABCP BP ABP BCP ABC =0.340.10.040.01=0.21该市这一年龄段的市民中任选一人只喜爱读C 报的概率P ABCP ACP ABCP CP ACP BCP ABC =0.200.060.040.01=0.11故该市这一年龄段的市民中任选一人只喜爱读一种报纸的概率细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料

13、- - - - - - - - - - - - - - -P ABCABCABCP ABCP ABCP ABC6设P AB0 =0.3+0.210.11=0.62,就以下说法哪些是正确的？（1） A 和 B 不相容；（2） A 和 B 相容；（3） AB 是不行能大事；（4） AB 不肯定是不行能大事（5）P A 0 或 P B 0；（6）P A B P A ；解 由于概率为零的大事不肯定是不行能大事,所以（4）正确；又由于 P A B P A P AB P A ,所以（ 6）正确 . 习题 1.3 1将 10 本书任意放到书架上,求其中仅有的3 本外文书恰排在一起的概率解 设 A“ 3 本外

14、文书排在一起” ；10 本书总的排法有 10！种； 3 本书排成一列共有 3！种,将这 3 本书排列后作为一个元素与另外 7 本书在一起有 8！种排法,所以,大事 A 含有的样本点数为 3.8. ,故3.8. 1P A 0.0667.10. 152假设十把钥匙中有三把能打开门,今任取两把,求能打开门的概率数为解 设 A“ 能打开门” ；样本空间的样本点总数是2 C 1045,大事 A 含有的样本点2 C 31 1C C ,就P A 2 C 31 1C C 7321240.533.2 C 1045453某人欲给伴侣打电话, 但只记得伴侣的电话由五个不同数字组成,其首位是 5 ,末位是 3 ,中间

15、号不是 0 ,只好试拨求其试拨一次即拨对的概率解 设 A“ 试拨一次即拨对”；由题意,0.0034P A 1 716 174从装有 5 只红球 4 只黄球 3 只白球的袋中任意取出（1）取到同色球；（2）取到的球的颜色各不相同3 只球,求以下大事的概率：细心整理归纳 精选学习资料 解（ 1）设 A“ 取到 3 只同色球” ；任取 3 只球的样本点总数是3 C 12220,取到 3 第 6 页,共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -只红球的

16、样本点数是3 C 510,取到 3 只黄球的样本点数是3 C 44,取到 3 只白球的样本点数是3 C 31,就3 C 12220,取到P A 3 C 53 C 43 C 31041150.0682.3 C 12220220（2）设 B“ 取到的球颜色各不相同”；任取 3 只球的样本点总数是的球颜色各不相同,即取到一只红球一只黄球一只白球,其样本点数是C 5 1C1C 1360,4就P B 1 C 51 C 41 C 3600.2727.3 C 122205将上题中的抽取方式改为“ 放回抽样”,即每次取出 1 球,登记颜色后放回,再作抽取,连取三次,求上述两个大事的概率3解（ 1）设 A“ 取

17、到 3 只同色球” ； 样本空间的样本点总数是 12 1728 ,取到 33 3只红球的样本点数是 5 125,取到 3 只黄球的样本点数是 4 64 ,取到 3 只白球的样本点数是 33 27 ,就3 3 35 4 3P A 312125 64 27 2160.125.1728 1728设 B“ 取到的球颜色各不相同”； 任取 3 只球的样本点总数是 12 31728 ,取到的球 颜 色 各 不 相 同 , 即 取 到 一 只 红 球 一 只 黄 球 一 只 白 球 , 其 样 本 点 数 是1 C 51 C 41 C 33 A 3360,就C1C1 4C13 A 33600.2083.P

18、B 5312317286一部四卷的文集 ,按任意次序放到书架上 ,问各卷自左向右 ,或自右向左的卷号的顺序恰好为 1,2,3,4 的概率是多少 . 解设 A =文集排列为 1,2,3,4或 4,3,2,1的次序 ,而一切可能的排列总数为n4.,有利于所争论的大事的排序项序总数为k=2,即按 1,2,3,4 及 4,3,2,1两种次序排列；就所求细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -概率为P A k

19、2 1 =0.0833 n 4. 127从 5 双不同的的鞋中任取 4 只 ,求这 4 只鞋中至少有两只配成一双的概率 . 解（ 1）设 A =“ 4 只鞋中至少有两只配成一双 ,由于有利于大事 A 的取法总数为1 2 2 1 2 2C C 8 C （即先从 5 双中任取一双,再在其余 8 只中任取 2 只的取法共有 C C 种；C 5是所取四只恰为两双的取法数是重复的数目,应用1 2C C 中扣掉）,所以有P AC 5 1C 8 2C 5 20.61905.4 C 108两封信随机地投入四个邮筒,求前两个邮筒内没有信的概率2解 设 A=“ 前两个邮筒内没有信”；由于每封信有 4 种投法,所以

20、两封信共有 4 162种投法,而 A所包含的样本点数为 2 ,从而22P A 0.25.169一间宿舍内住有 6 位同学,求他们中有 4 个人的生日在同一个月份的概率解 设 A =“ 6 位同学中有 4 个人的生日在同一个月份”；每位同学的生日可能是 12个月份中的一个月份, 6 位同学的生日可能有 12 种不同分布方式,而大事 6 A 的样本点数为 C 6 4C 1211 1 2,于是,所求概率为4 1 2P A C 6 C 1 26 110.0073.1210某货运码头仅能容一船卸货 ,而甲已两船在码头卸货时间分别为 1 小时和 2 小时设甲、乙两船在 24 小时内随时可能到达,求它们中任

21、何一船都不需等待码头空出的概率；解设 x,y 分别表示两船到达某地的时刻, 用 A 表示两船中的任何一船都不需等待码头空出；依题设,样本空间大事A x y , | 0x24,0y24,x y | xy或 2yx1明显这是一个几何概型,故细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -P A m A A 的面积=123 + 2 122242 22=0.8793.2m 的面积习题 1.4 设 P A 0.5,P

22、B 0.6问 1 什么条件下 P AB 可以取最大值,其值是多少？（）什么条件下 P AB 可以取最小值,其值是多少？解（）由于要使P ABP A P B A0.5 P B A . 1时,P AB可以取最大值,此P AB 最大,就需P B A 最大,当P B|A 时P AB=0.5；2 由于所以P APA BPA +PBPAB 0. 50. 6 P A BB1时,P AB 取最小值,此时P AB=1.1-1=0.12设箱中有 5 个零件,其中 2 个为不合格品,现从中一个个不放回取零件,求在第三次才取到合格品的概率解 设iA i1,2,3表示第 i 次取到合格品,就所求概率为A ）的概率为4,

23、刮P A A 1 2A 3P A P A 1 2|A P A 1 3|A 1A 2211154103由长期统计资料得知,某一地区在4 月份下雨（记为大事15风（记为大事 B ）的概率为7,既刮风又下雨的概率为1求1510P A B ,P B A 及P AB .解 由题设知P A4,P B4,P Ab1,就151510 第 9 页,共 22 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -P A BP AB1/103P B 7 /1

24、514P B A P AB1/103P A4 /158P ABP AP BP AB47119151510304某工厂生产的产品中36 为一等品, 54 为二等品, 10 为三等品从中任意取出 1 件产品,已知它不是三等品,求其是一等品的概率解设 A“ 取出的产品为一等品”, B“ 取出的产品为二等品”, C“ 取出的产品为三等品” ,就P A36%,P B54%,P C10%.故所求概率为P A CP AC1P A36%0.4.P CP C1 10%5 一批电子元件中,甲类的占80 ,乙类的占 12 ,丙类的占 8 三类元件的使用寿命能达到指定要求的概率依次为 0.9 、0.8 和 0.7 今

25、任取一个元件,求其使用寿命能达到指定要求的概率解 设 A“ 任取一个元件为甲类”, B“ 任取一个元件为乙类”, C“ 任取一个P C8%元件为丙类” , D“ 达到指定要求” ,就有P A80%,P B12%,P D A0.9,P D B0.8,P D C0.7故由全概率公式,有P D P A P D A P B P D B P C P D C0.8 0.9 0.12 0.8 0.08 0.7 0.872.6某商店收进甲厂生产的产品 30 箱,乙厂生产的同种产品 20 箱甲厂每箱装 100个,废品率为 0.06 ,乙厂每箱装120 个,废品率是 0.05 ,求：（1）任取一箱,从中任取 1

26、个为废品的概率；（2）如将全部产品开箱混放,就任取1 个为废品的概率为多少？细心整理归纳 精选学习资料 解 （1）设A 1“ 任取一箱为甲厂的产品”,A 2“ 任取一箱为乙厂的产品”, B 第 10 页,共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -“ 任取一个产品为废品”,就A A 构成完备大事组,由全概率公式,有P B P A 1 P B A 1 P A 2 P B A 23 20.06 0.05 0.0565 5（2）甲厂产品 30 箱,每

27、箱 100 个,废品率为 0.06,故共有甲厂产品 100 30 3000 个,其中次品 3000 0.06 180个；乙厂产品 20 箱,每箱 120 个,废品率为 0.05,故共有乙厂产品 120 20 2400 个,其中次品 2400 0.05 120个；两厂产品混到一起,共有产品3000+2400=5400 个,其中有次品 是180+120=300 个,所以,从中任取一个为废品的概率300 1P B 0.056.5400 187甲袋中有 3 只白球 4 只红球,乙袋中有 5 只白球 2 只红球从甲袋中任取 2 球投入乙袋,再从乙袋中任取 2 球求最终取出的 2 球全是白球的概率解 设

28、iA 表示“ 第一次取到 i 只白球”i 0,1,2, B 表示“ 其次次取到 2 只均为白球” ,就i 2 iA 0 , A A 是 的一个分割且 P A i C C 32 4 i 0,1,2,即C 72 4 1P A 0 , P A 1 , P A 27 7 7又5 5 7P B A 0 , P B A 1 , P B A 218 12 12故由全概率公式,可得2P B P A P B A ii 02 5 4 5 1 70.4008.7 18 7 12 7 128设一箱产品共 100 件,其中次品个数从 0 到 2 是等可能的开箱检验时,从中随机抽取 10 件,假如发觉有次品,就认为该箱产

29、品不合要求而拒收（1）求该箱产品通过验收的概率；（2）如已知该箱产品已通过验收,求其中的确没有次品的概率解（ 1）设iA 表示“ 次品个数为i i0,1,2” , B 表示“ 该箱产品通过验收”就由题意,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -有P A 0P A 1P A 210.13P B A 00,P B A 11 9C C 9910 C 100P B A 21 9C C 982 8C C 98

30、21 . 11010 C 100由全概率公式,得P BP A 0P B A 0P A 1P B A 1P A 2P B A 21010.11210.10333110于是该箱通过验收的概率为1P B10.100.9.P B2 所求概率为P A 0BP A 0P B A 0P A 010.90.37.P BP B3习题 1.5 1. 设 0P B1,证明 A 、 B 相互独立的充分必要条件是证明充分性P A B P A B1由于P AB PA|B = 1 即P A B1P A BP A B故有细心整理归纳 精选学习资料 P ABP ABP AP ABP AB 第 12 页,共 22 页 P BP

31、B1P BP AB1P BP BP APA BPAPB - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -即 A、B相互独立必要性由于 A、B相互独立,就有,P ABP A P BP ABP A P B从而P A BP ABP A,P A BP ABP AP BP B即P A B P A B P A P A 12. 甲、乙、丙三门炮向同一飞机射击 设甲、乙、丙射中的概率分别为 0.4 、0.5 、0.7 ,又设如只有一门炮射中,飞机坠毁的概率为 概率为 0.6 ；

32、如三门炮射中,飞机坠毁的概率为机坠毁的概率0.2 ；如有二门炮射中,飞机坠毁的 0.8 ；无人射中,飞机不会坠毁求飞解 设 B“ 飞机坠毁” ,iA“i 门炮弹射中飞机”i1,2,3明显,A A 1 2,A 构 3成完备大事组三门炮各自射击飞机,射中与否相互独立,按加法公式及乘法公式,得P A 10.410.51 0.710.40.51 0.70.50.70.41P A 210. 410. 50. 70. 3 60.4 0.51 0.70.41 0.50.71 0.4P A 30.40.5 0.70.14再由题意知PB A0 . 2 ,PB2A0 . 6 , PB A0 . 8由全概率公式,得

33、3P Bi1P A P B A i0. 3 60. 20. 4 10. 60. 1 40. 80. 4 33. 假设每名射手命中目标的概率都是 以上的概率击中目标？0.3 问须多少名射手同时射击, 方能以 0.99解 设有 n 名射手同时射击,就目标被击中的概率为细心整理归纳 精选学习资料 n1P k 1P n0 第 13 页,共 22 页 k - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由题意,求 n,使1P n00.99即10.7n0.99 0.7n0.

34、01可得 n 13.4. 某商家对其销售的笔记本电脑液晶显示器作出如下承诺：如一年内液晶显示器出 现重大质量问题, 商家保证免费予以更换 已知此种液晶显示器一年内显现重大质量问题的概率为 0.005 ,试运算该商家每月销售的 显示器的台数不超过 1 的概率200 台电脑中一年内须免费予以更换液晶解 依据题意,这是一个 p 0.005 的 200 重的伯努利试验问题,所求概率为200 1 199P 200 0 P 200 1 0.995 C 200 0.005 0.9950.3670 0.3688 0.7358.5. 某工厂生产的仪器中一次检验合格的占 60 ,其余的需重新调试经重新调试的产品中

35、有 80 经检验合格,而 20 会被判定为不合格产品而不能出厂现该厂生产了 200 台仪器,求以下大事的概率：（1） 全部仪器都能出厂；（2） 恰有 10 台不合格 . 解 设 A“ 仪器需要重新调试”,那么 A“ 仪器能直接出厂”； 又设 B“ 仪器能出厂” ,就 AB“ 仪器经调试后能出厂”,且易知 B A A B.于是P B P A P ABP A P A P B A 0.6 0.4 0.8 0.92考察 200 台仪器,相当于 p P B 0.92 的 200 重伯努利试验,就（1）P 200200 0.92 20057 10 910 190 10（ 2）P X 190 C 200 0.92 0.08 0.0318 . 6. 某厂的产品, 80 按甲工艺加工, 20 按乙工艺加工,两种工艺加工出来的产品的合格率分别为 0.8 与 0.9 现从该厂的产品中放回地取 5 件来检验,求其中最多细心整理归纳 精选学习资料 第 14 页,共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -