2022年中考数学复习精品专题二次函数人教新课标版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载初三数学精品专题类：综合题中的二次函数数学综合题是中学数学中掩盖面最广、综合性最强的题型近几年的中考压轴题多以数学综合题的形式显现解决数学综合题的过程就是转化思想、数形结合思想、 分类争论思想、方程思想的应用过程题型 1. 代数型综合题函数型综合题主要是以二次函数为主线,几何与二次函数相结合的综合形式；二次函数是中学数学的重点,也是难点, 以二次函数为背景的代数型综合题能较全面地反映同学的综合才能和较好的区分度,因此是各地中考的热点题型,是压轴题的主要来源之一解题时重点把握：1. 二次函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化例

2、如函数图象与x 轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满意函数的解析式等；2. 方程、分类争论、数形结合始终是解题的主旋律,特别是题中数量信息转化为方程；3. 探究问题,动点问题联系转化来解决；4. 运算才能的培育；题型 2 几何型综合题几何综合题考查学问点多、条件隐晦,要求同学有较强的懂得才能,分析才能,解决问题的才能,对数学学问、数学方法有较强的驾驭才能,并有较强的创新意识与创新才能1 几何型综合题,常用相像形与圆的学问为考查重点,并贯穿其他几何、代数、三角等知识,以证明、运算等题型显现2 几何运算是以几何推理为基础的几何量的运算,主要有线段和弧的长度的运算,角、角的三角

3、函数值的运算,以及各种图形面积的运算等3 几何论证题主要考查同学综合应用所学几何学问的才能4 解几何综合题应留意以下几点：（1） 留意数形结合, 多角度、 全方位观看图形, 挖掘隐含条件, 查找数量关系和相等关系；（2） 留意推理和运算相结合,力求解题过程的规范化；（3） 把握常规的证题思路,特别懂得作帮助线的本质就是挖掘题中的隐含条件；（4） 解题自信心的培育解决几何型综合题的关键是把代数学问与几何图形的性质以及运算与证明有机融合起来,进行分析、推理,从而达到解决问题的目的；例 1. 已知抛物线yx2m4x2m4与 x 轴交于A x 1,0、B x 2,0,与 y 轴交于点C,且1x 、2x

4、 满意条件x 1x 2,x 12x 20（1）求抛物线的解析式；名师归纳总结 （2）能否找到直线ykxb 与抛物线交于P、Q两点,使 y 轴恰好平分CPQ的面积？第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如能,求出 k 、 b 所满意的条件解析：（1） m4242m42 m320,_x对一切实数m ,抛物线与x 轴恒有两个交点,由根与系数的关系得x 1x 2m4,x x 22m4由已知有x 12x 20得x24m x 12x 22 m8.代入得 2 m84m 2m4化简得2 m9 m140解得m 12,m 27. 当m

5、 12 时 ,x 14,x22,满意x 1x 当m 27时,x 16,x 23,不满意x 1x ,抛物线的解析式为y2 x2x8（2）如图,设存在直线ykxb 与抛物线交于点P、Q,使 y 轴平分CPQ的面积,设点P的横坐标为x ,直线与 y 轴交于点E_ySPCESQCE1CEx P1CExQ,_P_C22x Px Q,由 y 轴平分CPQ的面积得点P、Q在 y 轴的两侧,_E_O即x Px ,xPxQ0,由ykxb2x8_Qy2 x得x2k2xb80又x 、x 是方程x2k2xb80的两根,x Px Qk20,k2又直线与抛物线有两个交点,当k2且b8时,直线 ykxb 与抛物线的交点P、

6、Q,使 y 轴能平分CPQ的面积故k2,b8例 2 如图,抛物线yax25 ax4经过ABC的三个顶点,已知BCx轴,点 A 在 x轴上,点 C 在 y 轴上,且 AC BC（1）求抛物线的对称轴；（2）写出 A, ,C三点的坐标并求抛物线的解析式；PAB是等腰三角（3）探究：如点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在y 名师归纳总结 A C 1 B 第 2 页,共 11 页1 0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载形如存在,求出全部符合条件的点P坐标；不存在,请说明理由解：（1）抛物线的对称轴 x 5 a 52 a 2（

7、2）A 3 0 B 5 4 C 0 4把点 A 坐标代入 y ax 25 ax 4 中,解得 a 161 2 5y x x 46 6（3）存在符合条件的点 P共有 3 个以下分三类情形探究设抛物线对称轴与 x 轴交于 N ,与 CB交于 M 过点 B 作 BQ x 轴于 Q ,易得 BQ 4,AQ 8,AN 5.5,BM 52 以 AB 为腰且顶角为角 A 的PAB 有 1 个：1P AB2 2 2 2 2AB AQ BQ 8 4 80在 RtANP 1 中,PN AP 1 2AN 2AB 2AN 280 5.5 2 1992P 1 5,1992 2以 AB 为腰且顶角为角 B 的PAB 有

8、1 个：2P AB2 2 2 2 25 295在 RtBMP 2 中,MP 2 BP 2 BM AB BM 804 2P 2 5 8,2952 2以 AB 为底,顶角为角 P的PAB 有 1 个,即3P AB画 AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于 3P ,此时平分线必过等腰ABC 的顶点 C 过点 3P 作 P K 垂直 y 轴,垂足为 K ,明显 RtPCKRtBAQP K BQ 1P K 2.5 CK 5 于是 OK 1 P 32.5,1CK AQ 22例 3. 如图,抛物线 y x bx c b0 的图象与 x 轴交于 A,B 两点,与 y 轴交于点 C ,其 中 点 A 的 坐 标 为

9、 2 0, ； 直 线 x 1 与 抛 物 线 交 于 点 E , 与 x 轴 交 于 点 F , 且y 名师归纳总结 A O F B x 第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 45FAE60学习必备欢迎下载（1）用 b 表示点 E 的坐标；（2）求实数 b 的取值范畴；（3）请问BCE 的面积是否有最大值？如有,求出这个最大值；如没有,请说明理由2解（ 1）抛物线 y x bx c 过 A 2 0, ,c 2 b 4点 E 在抛物线上,y 1 b c 1 2 b 4 b 3 b 3,点 E 的坐标为 1 3 b 3（2）由（ 1）

10、得 EF 3 3 b ,45FAE60,AF 3,1 3b0（3）BCE 的面积有最大值,y x 2bx c 的对称轴为 x b,A 2 0, ,2点 B 的坐标为 2 b, ,由（ 1）得 C 0 2 b 4,而 SBCE S 梯形 OCEF SEFB SOCB1 1 1 OC EF OF EF FB OB OC2 2 21 1 14 2 3 3 1 3 3 1 b 2 b 4 2 2 2 21 b 23 b 2,2y 1 b 23 b 2 的对称轴是 b 3,1 3b02 2当 b 1 3 时,SBCE 取最大值,其最大值为 11 3 231 3 2 3 32 22例 4. 已知抛物线 y

11、 ax bx c 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x 轴的正半轴上, 点 C在 y 轴的正半轴上, 线段 OB、OC的长（OBOC）是方程 x 210 x 16 0的两个根,且抛物线的对称轴是直线 x 2（1）求此抛物线的表达式；（2）连接 AC、BC,如点 E 是线段 AB上的一个动点（与点A、点 B不重合）,过点 E 作 EFAC交 BC于点 F,连接 CE,设 AE的长为 m , CEF的面积为 S,求 S 与 m 之间的函数关系名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 式,并写出

12、自变量m 的取值范畴；学习必备欢迎下载（3）在（ 2）的基础上试说明S 是否存在最大值,如存在,恳求出S的最大值,并求出此时点 E 的坐标,判定此时BCE的外形；如不存在,请说明理由解：（1）解方程x210x160得x 12,x28OBOC点 B在 x 轴的正半轴上,点C在 y 轴的正半轴上,且点 B的坐标为（ 2, 0）,点 C的坐标为（ 0, 8）又抛物线yax2bxyc 的对称轴是直线x2由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（ 6,0）点 C（0, 8）在抛物线ax2bxc 的图象上c8,将 A（ 6,0）、B（2,0）代入表达式,得036a6 b8a2x28x8304 a2b8b83所求

13、抛物线的表达式为y233（2）依题意, AEm,就 BE8m,OA6,OC8, AC10 EF AC BEF BACEF ACBE即EF 108m EF405m4 584过点 F作 FGAB,垂足为 G,就 sin FEGsin CABFG EF4 5FG4 5405m 8m4SS BCES BFE1 2（ 8m） 81 2（ 8m）（ 8m）1 2（8m）（ 88m）1 2（ 8m）m1 2m 24m自变量 m的取值范畴是0m8 （3）存在理由： S1 2m 2 4m1 2（m 4）28 且1 2 0,当 m4 时, S 有最大值, S 最大值8 名师归纳总结 m4,点 E的坐标为（ 2,0

14、）CECB BCE为等腰三角形第 5 页,共 11 页例 5、如图 5,已知二次函数图象的顶点坐标为C1,0 ,直线yxm与该二次函数的图象交于 A、B 两点,其中A 点的坐标为 3,4 , B点在 y 轴上 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）求 m 的值及这个二次函数的表达式；（2）P 为线段 AB上的一个动点（点P 与 A、B 不重合）,过 P 作 x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点 E 点,设线段 PE的长为 h ,点 P 的横坐标为 x ,求 h 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范畴；（3）D为

15、直线 AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段 AB上是否存在一点 P,使得四边形 DCEP是平行四边形？如存在,恳求出此时P 点的坐标；如不存在,请说明理由 . 22x1y D P A x 解析： 1 点 A3,4 在直线yxm上,4=3+ m . m =1. 设所求二次函数的关系式为ya x12 点 A3,4 在二次函数ya x2 1的图象上,B C E 4a32 1a1O 所求二次函数的关系式为yx2 1即yx2图 5 2 设 P、E 两点的纵坐标分别为y 和yE3 xPEhypy Ex1x22 x1x即 hx23x0x33 存在 . 解：要使四边形DCEP是平行四边形,必需有PE=D

16、C. 3 三点, 连结 AB,点 D在直线yx1上 点 D的坐标为 1,2, x23x2解之得x 12,x 21 不合题意,舍去 当 P点的坐标为 2,3时,四边形DCEP是平行四边形例 6 如图 6,已知抛物线yax2bxc经过 O0,0 ,A4,0,B3,名师归纳总结 过点 B 作 BC x 轴交该抛物线于点C. 第 6 页,共 11 页（1） 求这条抛物线的函数关系式. （2） 两个动点P、Q分别从 O、A两点同时动身 , 以每秒 1 个单位长度的速度运动. 其中,点 P 沿着线段 0A 向 A 点运动,点Q沿着折线ABC的路线向 C点运动 . 设这两个动点运动的时间为 t （秒 0 t

17、 4 , PQA的面积记为S. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 求 S 与 t 的函数关系式； 当 t 为何值时, S 有最大值,最大值是多少？并指出此时PQA的外形；xx 是否存在这样的t 值,使得PQA是直角三角形 .如存在,请直接写出此时P、Q两点的坐标；如不存在,请说明理由. 解析：（1） 抛物线yax2bxc经过 O0,0 ,A4,0,B3,3 ,16a4 b0解得a3,b433,c0 . yC B 9a3 b33c0 所求抛物线的函数关系式为y3x2433x. O P Q 3A （2）过点 B 作 BE x 轴于 E,

18、就 BE= 3 ,AE=1,AB=2. 图 6 由 tan BAE= BEAE3,得 BAE =60 . y（）当点Q在线段 AB上运动,即0 t 2 时, QA=t, PA=4-t . 过点 Q作 QF x 轴于 F,就 QF=3 ,t2C B S=1 PA2QF14t3t3t23tS= 3O P 图 6-1 Q 224E F A 3 4t22330, 当 t =2 时, S有最大值,最大值4（）当点Q在线段 BC上运动,即2 t 4 时,Q点的纵坐标为3 ,PA=4-t . 这时, S=14t33 t 223230,S 随 着 t 的 增 大 而 减 小 . 当 t =2 时 , S 有

19、最 大 值 , 最 大 值2S322332综合（）（）,当 t =2 时, S 有最大值,最大值为 存在 . 3 . PQA是等边三角形 . 名师归纳总结 当点 Q在线段 AB上运动时,要使得PQA是直角三角形, 必需使得 PQA =90 ,这时 PA=2QA,第 7 页,共 11 页即 4- t =2t ,t4. 3 P 、Q两点的坐标分别为P14 ,0 , Q1 310 , 3233. 当点 Q 在线段 BC上运动时, Q、P 两点的横坐标分别为41t25t 和 t ,要使得- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PQA是直角三角形,就必需学习必备5欢迎

20、下载5- t =t ,t2 P 、Q两点的坐标分别为P25 ,0 , Q2 25 , 23 . 例 7. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线上有（1）求该抛物线的表达式；A（ -1,0 ）, B（3,0 ） C（ 0,-1 ）三点；名师归纳总结 （2）点 Q在 y 轴上,点P在抛物线上,要使Q、P、A、B 为顶点的四边形是平行四边形. 求第 8 页,共 11 页全部满意条件点P 的坐标；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（ 1）设该抛物线的表达式为y学习必备bx欢迎下载ax2c 依据题意,得1aa b c 0 39 a 3 b c 0 b 23c 1

21、 c 1所求抛物线的表达式为 y 13 x 2 23 x 1（2） AB为边时,只要 PQ AB且 PQ=AB=4即可；又知点 Q在 y 轴上,点 P的横坐标为 4 或 -4 ,这时符合条件的点 P 有两个,分别记为 P1,P 2 . 而当 x=4 时, y=5；当 x=-4 时, y=7,此时 1p （4, 5）p （-4,7 ）3 3当 AB为对角线时,只要线段 PQ与线段 AB相互平分即可又知点 Q在 Y 轴上,且线段 AB中点的横坐标为 1 点 P 的横坐标为 2,这时符合条件的 P只有一个记为 p 3而且当 x 2 时 y 1,此时 p （2,-1 ）综上,满意条件的 P为 p （4

22、,5）p （-4,7 ）p （2,-1 ）3例 8. 如图 1,抛物线 y ax 2c （a0）经过梯形 ABCD的四个顶点,梯形的底 AD在 x 轴上,其中 A（ 2,0 ）,B（ 1, 3）（1）求抛物线的解析式；（2）点 M为 y 轴上任意一点, 当点 M到 A、B两点的距离之和为最小时,求此时点 M的坐标；（3）在第（ 2）问的结论下,抛物线上的点 P 使 SPAD4SABM成立,求点 P 的坐 标解析：（1）由于点 A、B 均在抛物线上,故点A、B 的坐标适合抛物线方程名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4

23、 aacc0解之得：a14学习必备x2欢迎下载；故y4为所求3c（2）如图 2,连接 BD,交 y 轴于点 M,就点 M就是所求作的点设 BD的解析式为ykxb ,就有2 kb03,k12,P2AMB90CDP1xkbb故 BD的解析式为yx2；令x0,就y2,故M0,23 如图 3,连接 AM,BC交 y 轴于点 N,由（ 2）知, OM=OA=OD=易知 BN=MN= 1,易求AM22,BM2ySABM12 22242；设P x x214,44221 2AD x42,即：4x 2AO依题意有：2解之得：x2 2,x0,故 符合条件的P 点有三个：MP 122,4,P 2 2 2,4,P 3

24、0, 4BNyy图 3 P3_AO_DxAODxBCBMC图 1 图 2 例 9. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y =1 x +1,4点 C的坐标为 4,0 ,平行四边形OABC的顶点 A,B 在抛物线上, AB与 y 轴交于点M,已知点Q x,y 在抛物线上,点P t ,0 在 x 轴上 . 1 写出点 M的坐标；例 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 2 当四边形 CMQP是以 MQ,PC为腰的梯形时 . 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范畴；当梯形 CM

25、QP的两底的长度之比为 1：2 时,求 t 的值 . 解析： 1 OABC是平行四边形, AB OC,且 AB = OC = 4 ,A,B 在抛物线上, y 轴是抛物线的对称轴, A, B 的横坐标分别是 2 和 2 ,代入 y = 1 x +1 得, A2, 2 4,B 2 ,2 , M 0 ,2 ,例 9 2 过点 Q作 QH x 轴,设垂足为 H, 就 HQ = y ,HP= x t,由 HQP OMC,得：y2 Qx, y 在 y = 1 x +1 上,4x t, 即：t = x 2 y , 4 t = 1 x + x 2. 2当点 P与点 C重合时,梯形不存在,此时,t = 4 ,解

26、得 x = 1 5 , 当 Q与 B 或 A 重合时,四边形为平行四边形,此时,x 2 x 的取值范畴是 x 1 5 且 x 2 的全部实数 . 分两种情形争论：1）当 CM PQ时,就点 P 在线段 OC上, CM PQ, CM = 2 PQ ,点 M纵坐标为点Q纵坐标的 2 倍,即 2 = 21 x +1 ,解得 4x0,t1 0 220222）当 CM PQ时,就点 P 在 OC的延长线上,名师归纳总结 CM PQ,CM = 1 PQ,22 倍,即1 x +1=2 2,解得：43x2 3第 11 页,共 11 页点 Q纵坐标为点M纵坐标的当 x23时,得 t = 12322, 3 2 = 8 22当 x =23时, 得 t =23 8. - - - - - - -