专题24 解三角形中的最值、范围问题(解析版).docx

《专题24 解三角形中的最值、范围问题(解析版).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题24 解三角形中的最值、范围问题(解析版).docx（14页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1专题专题 2424解三角形中的最值、范围问题解三角形中的最值、范围问题解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,ac ac ac三者的关系.高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意

2、角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.1、正弦定理：2sinsinsinabcRABC，其中R为ABC外接圆的半径正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网例如：（1）222222sinsinsinsinsinABABCababc（2）coscossincossincossinbCcBaBCCBA（恒等式）（3）22sinsinsinbcBCaA2、余弦定理：2222cosabcbcA变式：2221cosabcbcA此公式在已知,a A的情况下，配合均值不等式可得到

3、bc和bc的最值4、三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sinsincoscosabABABAB其中由coscosABAB利用的是余弦函数单调性，而sinsinABAB仅在一个三角形内有效.5、解三角形中处理不等关系的几种方法（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值【经典例题】【经典例题】2例 1.【2018 届百校联盟

4、 TOP20 高三四月联考全国一卷】已知四边形中，设与面积分别为，则的最大值为_.【答案】【解析】分析：利用余弦定理推，求出的表达式，利用二次函数以及余弦函数的值的范围，求的最大值即可点睛：求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得例 2.【2018 届普通高等学校招生全国统一考试高三下学期第二次调研】在中，角 A,B,C 所对的边分别为，则实数 a 的取值范围是_.【答案】.【解析】由，得，所以，则由余弦定理，得，解得，又，所以 的范围是.例 3.【2018 届浙江省杭州市高三第二次检测】在

5、ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c若对任意R，不等式恒成立，则的最大值为_【答案】2例 4.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，所对的角分别为，且满足3，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为_【答案】【解析】由的三边分别为，可得：，可知：，例 5.【2018 届湖南省株洲市高三检测（二）】已知中，角所对的边分别是,且.(1)求角 的大小；(2)设向量，边长，当取最大值时，求 边的长.【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角 的大小；（2）因为由此可求当取最大值时，求 边的长.4（2）因为所以当时，取最大值，此时

6、，由正弦定理得，例 6.【2018 届四川省攀枝花市高三第三次（4 月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.学/科/*网（）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及 的最大值.【答案】().().【解析】分析：（）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得 A 的值.（II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到 m 的取值范围，再写出 S 的函数表达式求其最大值.详解：()由己知()由己知，当有且只有一解时，或,所以；当时，为直角三角形，当时，由正弦定理，所以，当时，综上所述，.例 7.【2018 届四川省资阳市高三 4 月（三诊）】在ABC中，

7、角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且sinsinabABsinsincCB（1）求 A（2）若4a，求22bc的取值范围【答案】（1）3A；（2）16,32.5221616bcbc，进而可得结果.试题解析：（1）根据正弦定理得ababc cb，即222abcbc，则222122bcabc，即1cos2A，由于0A，【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往

8、往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.例 8【2018 届甘肃省张掖市高三三诊】已知3cos,cos44xxm，sin,cos44xxn，设函数 f xm n（1）求函数 f x的单调增区间；（2）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，求 f B的取值范围【答案】(1)424,433kk，kZ(2)311,2.【解析】试题分析：（1）由题 13cos,cossin,cossin4444262xxxxxf xm n ，根据正弦函数的性质222262xkk可求其单调增区间；6（2）由题2bac可知2222221cos2222acb

9、acacacacBacacac，（当且仅当ac时取等号），所以03B，6263B，由此可求 f B的取值范围（当且仅当ac时取等号），所以03B，6263B，3112f B，综上，f B的取值范围为311,2例 9.【2018 届吉林省吉林市高三第三次调研】锐角ABC中，,A B C对边为,a b c，222sin3cosbacBCacAC（1）求A的大小；（2）求代数式bca的取值范围.【答案】（1）3（2）32bca【解析】试题分析：（1）由222sin3cosbacBCacAC及余弦定理的变形可得2cos sin3cosBAB，因为cos0B，故得3sin2A，从而可得锐角ABC中3A（

10、2）利用正弦定理将所求变形为2sinsin32sinsin6BBbcBaA，然后根据6B的取值范围求出代数式bca的取值范围即可试题解析：（1）2222cosbacacB，222sin3cosbacBCacAC，2cos sin3cosacBBCacAC，2cos sin3cos,BAB2cos sin3cosBAB，7233sinsinsincossinsin3222sinsinsin6sin3BBBBbcBCBaAA,ABC为锐角三角形，且3A02 02BC，即02 2032BB,解得62B，2,363B3sin126B32bca故代数式bca的取值范围3,2点睛：（1）求bca的取值范围

11、时，可根据正弦定理将问题转化为形如sinyAx的函数的取值范围的问题解决，这是在解三角形问题中常用的一种方法，但在解题中要注意确定角x的范围（2）解答本题时要注意“锐角三角形”这一条件的运用，根据此条件可的求得6B的范围，然后结合函数的图象可得sin6B的范围，以达到求解的目的例 10.【2018 届衡水金卷信息卷（一）】已知ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c，若向量2,cos,cosmbcBnaA，且/mn.（1）求角A的值；（2）已知ABC的外接圆半径为2 33，求ABC周长的取值范围.【答案】(1)3A(2)4,6【解析】试题分析：（1）由/mn，得62)0c cosAac

12、osB（，利用正弦定理统一到角上易得1cos2A；（2）根据题意，得2 sin2aRA，由余弦定理，得223abcbc，结合均值不等式可得216bc，所以bc的最大值为 4，又2bca，从而得到ABC周长的取值范围.得1cos2A.又0,A，所以3A.8（2）根据题意，得4 332 sin232aRA.由余弦定理，得22222cos3abcbcAbcbc，即223432bcbcbc，整理得216bc，当且仅当2bc时，取等号，所以bc的最大值为 4.又2bca，所以24bc，所以46abc.所以ABC的周长的取值范围为4,6.【精选精练】【精选精练】1.【2018 届东莞市高三第二次考试】在中

13、，若，则的取值范围为()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为，所以，即，即，2【2018 届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】，又，故选 C.3【2018 届四川省绵阳市高三三诊】四边形ABCD中，2AB，1BCCDDA，设ABD、BCD的面积分别为1S、2S，则当2212SS取最大值时，BD _【答案】1029【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式的应用,考查同角三角函数关系,考查利用余弦定理解三角形,考查二次函数最值的求法.首先根据题目所求,利用三角形面积公式,写出面积的表达式,利用同角三角函数关系转化为余弦值,利用余弦定

14、理化简,再利用配方法求得面积的最值,并求得取得最值时BD的值.4【2018 届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则 的最小值为_.【答案】5【2018 届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是_【答案】【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.6【2018 届四川省攀枝花市高三第三次

15、（4 月）统考】已知锐角ABC的内角ABC、的对边分别为abc、,且2 cos2,2aCcb a,则ABC的最大值为_【答案】310即4bc，所以ABC的最大值为max113sin43222SbcA 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.7【2018 届宁夏石嘴山市高三 4 月适应性测试（一模）】已

16、知,a b c分别为ABC内角,A B C的对边，且sin3 cosbAaB.（1）求角B；（2）若2 3b，求ABC面积的最大值.【答案】（1）3B；（2）3 3.【解析】试题分析：（1）由正弦定理边化角得到tan3B，从而得解；（2）由余弦定理得2222cosbacacB，2212acac结合222acac即可得最值.试题解析：（1）sin3 cosbAaB，由正弦定理可得sin sin3sin cosBAAB，即ABC面积的最大值为3 3.8【2018 届四川省攀枝花市高三第三次（4 月）统考】已知的内角的对边分别为其面积为,且.（）求角；（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及 的

17、最大值.11【答案】().().【解析】分析：（）利用余弦定理和三角形的面积公式化简得到,再解这个三角方程即得 A 的值.（II）先根据有且只有一解利用正弦定理和三角函数的图像得到 m 的取值范围，再写出 S 的函数表达式求其最大值.详解：()由己知由余弦定理得，所以，即,，所以.由正弦定理，所以，当时，综上所述，.点睛：本题在转化有且只有一解时,容易漏掉 m=2 这一种情况.此时要通过正弦定理和正弦函数的图像分析，不能死记硬背.先由正弦定理得再画正弦函数的图像得到或.9【衡水金卷信息卷（二）】在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c，已知sin3 cosaCcA.（1）求角A的

18、大小；（2）若2b，且43B，求边c的取值范围.【答案】(1)3A；(2)2,31.12在ABC中，由正弦定理，得sinsinbcBC，22sin2sin3cos3311sinsinsintanBCBcBBBB，43B，1tan3B，231c，即c的取值范围为2,31.10【2018 届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知ABC三个内角,A B C的对边分别为,a b c，ABC的面积S满足22243Sabc（1）求角C的值；（2）求cos2cosAAB的取值范围【答案】（1）23；（2）0,3tan3C ，又0C，23C.（2）33cos2cos=cos2cos 2cos2sin2322A

19、ABAAAA=3sin 23A0,2333AA3sin 20,33A，11【2018 届江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三 4 月联考】在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，已知222acb，且sin cos3cos sinACAC.（1）求b的值；（2）若4B，S为ABC的面积，求8 2cos cosSAC的取值范围.13【答案】(1)4b(2)8,8 2【解析】试题分析：（1）利用正余弦定理，sin cos3cos sinACAC可转化为2222bac，又222acb，从而得到b的值；（2）由正弦定理1sin8 2sin sin2SbcAAC，故38 2cos8 2cos 24

20、SAcosCA限制角 A 的范围，求出8 2cos cosSAC的取值范围.（2）由正弦定理sinsinbcBC得114sin4sin sin8 2sin sin22sin4SbcAACAC 38 2cos8 2cos8 2cos 24SAcosCACA，在ABC中，由3040 202AACAC得3,82A 320,44A，32cos 2,142A8 2cos8,8 2SAcosC.12【衡水金卷信息卷（五）】在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且25sin 2sin224BCA.（1）求角A；（2）若3a，求ABC周长的取值范围.【答案】(1)3A(2)33,3 31433,3 3.试题解析：（1）252224BCsinAsin，15224cos BCcos A，2152124cosAcos A ，整理，得28210cos AcosA，14cosA 或12cosA，02A，12cosA，即3A.（2）设ABC的外接圆半径为r，则32232arsinA，1r.2bcr sinBsinC223sinBsinB2 36sin B，ABC周长的取值范围是33,3 3.