初中数学竞赛专题选讲《最大最小值》.doc

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1、初中数学竞赛专题选讲最大初中数学竞赛专题选讲最大 最小值最小值一、内容提要一、内容提要1.求二次函数 y=ax2+bx+c(a0)，的最大、最小值常用两种方法：配方法：原函数可化为 y=a(x+ab2)2+abac442.在实数范围内(x+ab2)20，若 a0 时，当 x=ab2时，y最小值=abac442；若 a0，yabac442，这时取等号，则 y 为最小值abac442；若 a0,b0,a+b=k.(k 为定值).那么 ab=a(ka)=a2+ka=(a21k)2+42k.当 a=2k时，ab 有最大值42k.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设 a0,b0,ab=k(k 为定

2、值)，再设 y=a+b.那么 y=a+ak,a2ya+k=0.（这是关于 a 的二次议程方程）a 为正实数，0.即(y)24k 0，y24k0.y2k(不合题意舍去)；y 2k.y最小值=2k.解方程组.2kabkba，得 a=b=k.当 a=b=k时，a+b 有最小值 2k.3.在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二

3、、例题二、例题例 1.已知：3x2+2y2=6x,x 和 y 都是实数，求：x2+y2的最大、最小值.解：由已知 y2=2362xx,y 是实数，y20.即2362xx 0，6x3x20，x22x 0.解得0 x2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+2362xx=21(x3)2+29在区间 0 x2 中，当 x=2 时，x2+y2有最大值 4.当 x=0 时，x2+y2=0 是最小值.例 2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a,b 其周长、面积的数值为 k.那么 2(a+b)=ab=k

4、.即.21kabkba，a 和 b 是方程x221kx+k=0的两个实数根.a,b 都是正实数，0.即(2k)24k0.解得 k16；或 k0.k0 不合题意舍去.当 k16 取等号时，a+b,ab 的值最小，最小值是 16.即这个矩形周长、面积的最小值是 16.例 3.如图ABC 的边 BC=a,高 AD=h,要剪下一个 矩形 EFGH，问 EH 取多少长时，矩形的面积最大？最大面积是多少？解：用构造函数法设 EH=x,S矩形=y,则 GH=xy.AHGABC，hxhaxy.y=4)2()(2ahhxhahxhax.当 x=2h时，y最大值=4ah.即当 EH=2h时，矩形面积的最大值是4a

5、h.例 4.如图已知：直线 m n，A，B，C 都是定点，AB=a,AC=b,点 P 在 AC 上，BP 的延长线交直线 m 于 D.问：点 P 在什么位置时，SPAB+SPCD最小？解：设BAC=，PA=x,则 PC=bx.mn，PAPCABCD.CD=xxba)(SPAB+SPCD=21axSin+21xxba)(bx)Sin=21aSin()222xxbxbx=21aSin(2x+)22bxb.ahXABCDHEGFnmxbaPACBD2x xb2=2b2(定值)，根据定理二，2x+xb2有最小值.当 2x=xb2，x=b221时，SPAB+SPCD的最小值是(21)abSin.例 5.

6、已知：RtABC 中,内切圆 O 的半径r=1.求：SABC的最小值.解：SABC=21abab 2S.2r=a+bc,c=a+b2r.a+b2r=22ba.两边平方，得a2+b2+4r2+2ab4(a+b)r=a2+b2.4r2+2ab4(a+b)r=0.用 r=1,ab=2S代入，得 4+4S4(a+b)=0.a+b=S+1.ab=2S且 a+b=S+1.a,b 是方程 x2(S+1)x+2S=0 的两个根.a,b 是正实数，0，即(S+1)242S0，S26S+10.解得S3+22或 S322.S322不合题意舍去.SABC的最小值是 3+22.例 6.已知：.如图ABC 中，AB=26

7、，C=30.求：a+b 的最大值.解：设 a+b=y,则 b=ya.根据余弦定理，得(26)2=a2+(ya)22a(ya)Cos30写成关于 a 的二次方程：(2+3)a2(2+3)ya+y2(8+43)=0.a 是实数，0.即(2+3)2y24(2+3)y2(8+43)0，y2(8+43)20.(8+43)y(8+43).a+b 的最大值是 8+43.abcr=1OBCAcab30ABC又解：根据定理三AB 和C 都有定值.当 a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，(26)2=a2b22abCos30可求出a=b=4+23.三、练习三、练习1.x1,x2,x3,x4,x5满足.x1+x

8、2+x3+x4+x5=.x1x2x3x4x5，那么.x5的最大值是.(1988(1988 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题)2.若矩形周长是定值 20cm,那么当长和宽分别为_，_时，其面积最大，最大面积是_.3.面积为 100cm2的矩形周长的最大值是.4.a,b 均为正数且 a+b=ab,那么 a+b 的最小值 是_.5.若 x0,则 x+x9的最小值是_.6.如图直线上有 A、B、C、D 四个点.那么到 A，B，C，D 距离之和为最小值的点，位于，其和的最小值等于定线段.(1987(1987 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题)7.如右图ABC 中，AB=2，AC=3，是以

9、 AB，BC，CA 为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是.(1988(1988 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题)8.下列四个数中最大的是()（A）tan48+cot48.(B)sin48+cos48.(C)tan48+cos48.(D)cot48+sin48.(1988(1988 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题)9.已知抛物线 y=x2+2x+8 与横轴交于 B，C 两点，点 D 平分 BC，若在横轴上侧的点 A 为抛物线上的动点，且BAC 为锐角，则 AD 的取值范围是_(1986(1986 年全国初中数学联赛题年全国初中数学联赛题)10.如图ABC 中，C=Rt

10、，CA=CB=1，点 P 在 AB 上，PQBC 于 Q.问当 P 在 AB 上什么位置时，SAPQ最大？11.ABC 中，AB=AC=a，以 BC 为边向外作等边三角形 BDC，问当BAC 取什么度数时 AD 最长？12.已知 x2+2y2=1,x,y 都是实数，求 2x+5y2的最大值、最小值.13.ABC 中B=60，AC=1，求 BA+BC 的最大值及这时三角形的形状.14.直角三角形的面积有定值 k,求它的内切圆半径的最大值.15.D，E，F 分别在ABC 的边 BC、AC、AB 上，若 BDDC=CEEA=AFFA=k(1k)(0k1).问 k 取何值时，SDEF的值最小？CDAB

11、cab30ABC16.ABC 中，BC=2，高 AD=1，点 P，E，F 分别在边 BC，AC，AB 上，且四边形 PEAF 是平行四边形.问点 P 在 BC 的什么位置时，SPEAF的值最大？练习题参考答案练习题参考答案1.5.2.5，5 25.3.40cm4.45.66.BC 上，BC+AD.7.最大值是 9，S=2132SinBAC,BAC=90 度时值最大.8.(A).9.3AD910.P 在 AB 中点时，S最大值=81，S=222xxx 与2x 的和有定值，当 x=2x 时，S值最大.11.当BAC=120 度时，AD 最大，在ABD 中，设BAD=由正弦定理aSinain230)30180(SAD，当 150=90时，AD 最大.12.当 x=52时，有最大值1029；当 x=1 时，有最小值2(仿例 3).13.当 a=c 时，a+c 有最大值 2，这时是等边三角形.14.内切圆半径的最大值 r=(21)S(仿例 6).15.当 k=21时，SDEF=41SABC，16.当 PB=1 时，S 有最大值21.16.当点 P 是 BC 中点时，面积最大值是12.