2022年空间向量与立体几何期末专题复习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（选修 2-1 第三章） 空间向量与立体几何期末复习一、选 择题1如 a 0,1, 1 , b1,1,0,且 a b a,就实数 的值为 A 1 B0 C 1 D 2 2如向量 a 1, 2,b 2, 1,2, a,b 夹角的余弦值为 8,就 等于 ,9A 2 B 2 C 2 或2 D2或 255 553已知 a2, 1,2,b2,2,1 ,就以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为 A65 B65 C 4 D8 24如图, 在四周体 ABCD 中,已知 AB b, AD a, AC c,BE 1 EC ,就 DE 等于 2Aa

2、 2b 1c Ba 2b 1c Ca 2b 1c D2 a b 1c3 3 3 3 3 3 3 35在三棱锥 P ABC 中, ABC 为等边三角形, PA平面 ABC,且 PA AB,就二面角 APBC 的平面角的正切值为 6 6A 6 B3 CD6 26正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 a,E, F 分别是 BB1, CD 的中点,就点 F 到平面 A1D 1E 的距离为 A 3 a B3 7 a C3 5 a D7 a10 10 10 107如向量 MA MB MC 的起点与终点 M, , ,C 互不重合且无三点共线,O 是空间任一点,就能使MA MB MC 成为空间一组基底的关

3、系是（）OM 1OA 1OB 1OC MA MB MC3 3 3OM OA 1OB 2OC MA 2 MB MC3 38. 如图 , 在正三棱柱 ABC-A1B1C1中 , 如 AB=BB 1, 就 AB1与 C1B 所成的角的大小为 . A.60 B .90C.105D.75二、填空题9如向量 a 4,2, 4, b1, 3,2,就 2aa 2b_名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载10、|a |b | 5, a , b 的夹角为 60,就 |a b |. 11、已知 M=2,-5,-3,N-4,

4、9,-5 ,就线段 MN 中点的坐标是 _12已知 a =3 ,6, +6, b = +1,3,2 , 如 a b ,就 = . 13. 如 a =3,m,4 与 b =-2,2,m 的夹角为钝角,就 m 的取值范畴是 . 14如向量 a ,4 2 , 4 , b 6 , 3 2, ,就 2 a 3 a 2 _；15. 在正四棱锥 S-ABCD中,O 为顶点在底面上的射影 ,P 为侧棱 SD的中点 , 且 SO=OD,就直线 BC与平面 PAC所成的角为 . 三、解答题1. 2022福建卷 如图,在长方体 ABCDA1B1C1D 1中, AA1AD 1, E 为 CD 中点1求证： B1EAD

5、 1；2在棱 AA1上是否存在一点 P,使得 DP 平面 B1AE？如存在, 求 AP 的长；如不存在,说明理由； 3如二面角 A B1E A1 的大小为 30,求 AB 的长2. 如图 4,在正三棱柱 ABC A B C中,AB 2 AA D是 A B的中点,点 E 在 A C上,名师归纳总结 且 DEAE ；（ 1）证明平面 ADE平面ACC A （ 2）求直线 AD 和平面 ABC 所成角的正弦值；第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3.【 北京市丰台区学习必备欢迎下载3,20XX届高三上学期期末理】（此题共 14分）如图,

6、在三棱锥 P-ABC中,PA=PB=AB=2,BCABC 90 , 平面 PAB 平面 ABC, D、E 分别为 AB、 AC中点 . （）求证： DE 平面 PBC;（）求证： AB PE； （）求二面角 A-PB-E 的大小 . PA4. 2022DECB全国卷 如图 11,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA底面 ABCD,AC22,PA2,E 是 PC 上的一点, PE2EC. 1证明： PC平面 BED；2 设二面角 APBC 为 90,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小5如图, AC是圆 O的直径,点B 在圆 O上,交 AC于点 M, EA平名师归纳总结 面

7、 ABC,FC EA,AC=4,EA=3,FC=1, （1）证明. ；（ 2）求三棱锥的体积第 3 页,共 13 页（3）求平面和平面所成的锐二面角的正切值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 北京市十一学校 如图,在正四棱锥P学习必备欢迎下载ABa , 点 E 在棱 PC 上ABCD 中, PA 问点 E 在何处时,PA / 平面 EBD,并加以证明；P 当 PA / 平面 EBD 时 , 求点 A 到平面 EBD 的距离；E 求二面角 C PA B的余弦值 . D CA B7. 2022北京卷 如图 191,在 Rt ABC 中, C 90,BC

8、3,AC 6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE BC,DE 2,将 ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置,使 A1CCD,如图 182名师归纳总结 1求证： A1C平面 BCDE ； 2如 M 是 A1D 的中点,求 否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由CM 与平面 A1BE 所成角的大小；3线段 BC 上是第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8. 已知一四棱锥P ABCD的三视图如下,学习必备欢迎下载E是侧棱 PC上的动点；（）求四棱锥PABCD的体积；（）当点E 在何位置时,BDAE

9、？证明你的结论; （）如点 E 为 PC的中点,求二面角 DAEB 的大小高二理数（选修 2-1 第三章）空间向量与立体几何期末复习 答案名师归纳总结 DCAA ACCB 如图 设9. 32 10. 5 11. -1, 2,-4 12. 2 13、 m0,就 P0,0,2, E 42 3,0,2 3,B2, b,0于是 PC 22,0, 2,BE3, b, 2 3, DE3, b,2 3,从而 PC BE 0,PC DE0,故 PCBE,PCDE. 又 BEDE E,所以 PC平面 BDE. 2AP 0,0,2,AB2, b,0设 mx,y,z为平面 PAB 的法向量,就 mAP 0,mAB0

10、,即 2z0,且2x by0,令 xb,就 m b,2, 0设 np, q,r为平面 PBC 的法向量,就nPC 0, nBE0,2,DP2,2,即 22p 2r0 且3bq2 3r 0,令 p1,就 r2, q2 b, n 1,2 b,2 . 由于面 PAB面PBC,故 m n0,即 b2 b0,故 b2,于是 n 1, 1,2,名师归纳总结 - - - - - - -cos n, DPnDP|n|DP1 2,n, DP| 60. 由于 PD 与平面 PBC 所成角和 n,DP互余,故PD 与平面 PBC 所成的角为30. 5. 试题解析 ： EA面 ABC,BM面 ABC,EA MB, M

11、BAC,ACEA=A,MB面 ACEF,EM面 ACEF,EMMB,在直角梯形ACEF中,EA=3,FC=1,AC=4 ,EF=,在 Rt ABC中, BAC30 ,BMAC, AM=3,CM=1, EM=,MF=, EF 2=EM 2+MF 2, EMMF, 又 MBMF=M, EM面 MBF, BF面 MBF, EMBF 8 分由 1 知, MB面 ACFE ,在直角梯形ACEF中, 14 分第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3 延长交于,连结,过做,垂足, ,EA面 ABC,面 ABC, 面 AC,面 C, 面 C,为平面 BEF

12、与平面 ABC所成的二面角的平面角,在直角梯形 ACEF中, 2, 在 中, CG=1,在 Rt CGF中,FC=1, =,平面 BEF与平面 ABC所成的锐二面角正切值为1 14 分6. 解 当 E为 PC中点时,PA/平面EBD连接 AC,且 ACBDO,由于四边形ABCD为正方形,O为 AC的中点,又 E 为中点, OE为 ACP的中位线,PA/EO,又PA平面EBD,PA/平面EBD. EC 作 PO平面ABCD, 依题意 O 是正方形 ABCD 的中心 , 如图建立空间坐标系就P0,0,2a,A 2a ,0,0 , B 0,22a,0,C2a,0,0,D0,2a,02222E2a,0

13、,2,EB2a,2a,2a,P44424DB0,2 ,0,BP0,2a ,2a,F22设面 EBD 的法向量为n , , DO名师归纳总结 2ax2ay2az0n1,0,1, nAB4241,1,1 . 设平面 PAC 的法向量为2ay02 2a1a. 点 A 到平面 EBD 的距离为dn PB|n|22,平面 PAB的法向量为 设二面角 CAPB的平面角为第 10 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n 2 , , x y z , n 1OB0,2a学习必备欢迎下载32aa3. ,0. cosn n 1n n 1222327.解： 1证

14、明：由于 ACBC,DEBC,所以 DEAC,所以 DEA1D, DECD,所以 DE平面A1DC ,所以 DEA1C.又由于 A1CCD,所以 A1C平面 BCDE. 2如右图,以 C 为坐标原点,建立空间直角坐标系 C xyz,就 A10,0,2 3,D0,2,0, M0,1,3,B3,0,0,E2,2,0设平面 A1BE 的法向量为 n x, y,z,就 nA1B0, nBE 0.又A1B 3,0, 2 3, BE 1,2,0,所以3x2 3z0,令 y1,就 x2, z3,所以 n 2,1,3x 2y 0.设 CM 与平面 A1BE 所成的角为 ,由于 CM 0,1,3,所以 sin|

15、cosn, CM|n|CM| nCM8442 .所以 CM 与平面 A1BE 所成角的大小为 2 4. 3线段 BC 上不存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,理由如下：假设这样的点 P 存在,设其坐标为 p,0,0,其中 p0,3 设平面 A1DP 的法向量为 mx, y,z,就 m A1D 0,mDP0. 2y2 3z 0,p又 A1D 0,2, 2 3, DPp, 2,0,所以px2y0. 令 x 2,就 yp, z3. p所以 m2, p,3 .平面 A1DP平面 A1BE,当且仅当 m n0,即 4 p p0. 解得 p 2,与 p0,3 冲突所以线段 BC 上不存在

16、点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直8. 【解析】 （）解：由该四棱锥的三视图可知,该四棱锥 PABCD的底面是边长为 1 的正方形,侧棱 PC底面 ABCD,且 PC=2. 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载分-2 不论点 E 在 PC上何位置,都有 BDAE-3 分证明如下：连结 AC, ABCD是正方形BDAC PC底面 ABCD 且 平面BDPC-5 分又BD平面 PAC 不论点 E 在何位置,都有 AE 平面 PAC 不论点 E 在何位置,都有 BDAE -7 分 解法一：在

17、平面 DAE内过点 D作 DGAE 于 G,连结 BG CD=CB,EC=EC, ED=EB, AD=AB EDA EBA BGEA 为二面角 DEAB 的平面角 -10分BCDE, AD BC ADDE 在 R ADE中=BG 在 DGB中,由余弦定理得 解法二：以点=-12分C为坐标原点,CD所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：就 , 从设平面 ADE和平面 ABE的法向量分别为名师归纳总结 由；令可得：,就分,第 12 页,共 13 页同理得：-10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设二面角DAEB 的平面角为学习必备欢迎下载-12分,就名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页