2022年吉林大学线性代数试题B.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 2022.6 一、填空题（共 6 小题, 每道题 3 分,满分 18 分）1 0 0 00 1 0 01. 设 A,就 A 2 .0 0 1 00 3 0 82. A 为 n 阶方阵 , AA T= E 且 A ,0 就 A E 0 . 1 2 23设方阵 A 4 t 3 , B 为三阶非零矩阵,且 AB=O, 就 t -3 .3 1 14. 设 向 量 组 1 , 2 , , m 线 性 无 关 , 向 量 不 能 由 它 们 线 性 表 示 , 就 向 量 组1 , 2 , , m , 的秩为 m+1 . 5设 A 为实对称阵,且 |A|

2、0,就二次型 f =x TA x 化为 f =y TA-1 y 的线性变换是x=_ A 1y _ 设 R 3的 两 组 基 为 a 1 1,1,1 T,a 2 1,0, 1,a 3 1,0,1；1 1,2,1, , T2 2,3,4 , 3 3,4,3,就由基 a a a 到基 1 , 2 , 3 的过渡2 3 4矩阵 P= 0 1 01 0 1二、单项挑选题（共 6 小题,每道题 3 分,满分 18 分）1. 设 D 为 n 阶行列式,就 D 0 的必要条件是 D . A D 中有两行元素对应成比例；B D 中各行元素之和为零；C D 中有一行元素全为零； D以 D 为系数行列式的齐次线性方

3、程组有非零解2如向量组, ,线性无关, ,线性相关,就 C . A 必可由 , ,线性表示 . B 必可由, ,线性表示 . C 必可由 , ,线性表示 . D 必可由, ,线性表示 .设 3 阶方阵 A 有特点值 0, 1,1,其对应的特点向量为 P1,P2,P3,令 P P1,名师归纳总结 第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P2,P3 ,就 P1AP B . 100000000100A010； B010； C 010；D000000001001001 设 1,2,3 线性无关,就以下向量组线性相关的是 D （A）1,2,3 -

4、 1；（C）1+2,2+3,3+1；（B）1,1+2,1+3；（D）1-2,2-3,3-1. 如矩阵 A 3 4 有一个 3 阶子式不为 0,就 C . （A） A =1； （B） A =2； （C） A =3；（D） A =4 实二次型 fx Ax 为正定的充分必要条件是 A A A 的特点值全大于零；B A 的负惯性指数为零；C |A| 0 ；D RA = n. 得 分三、解答题（共 5 小题,每道题 8 分,满分 40 分）1 b 1 0 01. 求 D 1 1 b 1 b 2 0 的值0 1 1 b 2 b 30 0 1 1 b 31 b 1 0 0 1 b 1 0 0 1 b 1 0

5、 0解：D 0 1 b 2 0 0 1 b 2 0 0 1 b 2 01.0 1 1 b 2 b 3 0 0 1 b 3 0 0 1 b 30 0 1 1 b 3 0 0 1 1 b 3 0 0 0 1. 求向量组 1 ,1,1,1 4 , 2 2 ,1, ,3 5 , 3 ,1 ,1 ,3 2 , 4 ,1,3 ,5 6 的一个极大无关组,并把其余的向量用该极大无关组线性表出 . 解：极大无关组 1 , 2,3 2 2 3 1,4 2 2 1 .1 0 0T. 设 A、P 均为 3 阶矩阵,且 P AP= 0 1 0 , 如0 0 0名师归纳总结 第 2 页,共 6 页- - - - - -

6、 -精选学习资料 - - - - - - - - - P=1,2,3,Q=1+2,2,3,求 Q TAQ解：由于10010000,求A3 E. Q=1+2,2,3= 1,2,3 110P110 ,001001于是 Q TAQ= 100T1001101P110A P110010T P AP110001001001001110100100210kn 010010110110 .0010000010004设 A 是 n阶实对称矩阵,A22AO,如R Ak0解: 由A22AO知, A 的特点值 -2 或0, 又R Ak0kn, 且 A 是 n阶实对称2矩阵 , 就A20 k个-2 ,故A3E3 n k

7、 05. 设矩阵A=220相像于对角矩阵,求 a. 82a006解：由|A-E|=0,得 A 的三个特点值 1=2=6,3= -2.由于 A 相像于对角矩阵,R（A-6E）=1,即42021084a00a ,000000明显,当 a=0 时, R（A-6E）=1,A 的二重特点值 6 对应两个线性无关的特点向 量名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1a x 22 a x 3a 1 3,a10T 1,1, 1, 四、（此题满分 10 分）对线性方程组x 1a x 22 a x 3a 2 3,x 1a x22 a x

8、3a3 3,x 1a x22 a x3a3 4.1 如a 1,a 2,a 3,a 4两两不等,问方程组是否有解,为什么？2 如a 1a 3b, a2a 4bb0 , 且 已 知 方 程 的 两 个 解2T 1,1,1 ,试给出方程组的通解0,1a12 a 1a31解：（1）1a2a2 2a3 2a2a1a3a1a 3a2a4a 1a 4a2a433 331a2 a 3a1a4a2a344经正交变R A b R A ,无解（2）R A 2,n3,故通解21xk21 1k01,kR 21五、（此题满分 8 分）设二次曲面的方程axy2xz2 byz1）ax换yQ,化成22221,求 a 、 b 的

9、值及正交矩阵 Q.z解：设A0a1,由AE0,A2E10知a2 b1 ,12,1 T第 4 页,共 6 页2a0b2当1时,1b011111,1,1,1 0 t,2AE111 000名师归纳总结 111000- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 0 1当 2 时,A 2 E 0 1 1 3 1,1,1 . T0 0 01 1 12 6 3故正交阵 Q 1 1 1 . 2 6 32 10得 分 6 3六、（此题满分 6 分）设 A 为 n 阶实矩阵, 为 A 的对应于实特点值 的特征向量, 为 A T 的对应于实特点值 的特点向量,且 ,证明 与 正交证 ：依题意得 A =, A T=,将 A = 的两边转置得, TA T = T,在上式的两边右乘 得, TA T = T,即 T= T,亦即（-） T=0,由于 ,所以 T=0,故 与 正交名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页