2022年利用导数解决不等式恒成立中的参数问题学案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载利用导数解决不等式恒成立中的参数问题一、单参数放在不等式上型：【例题 1】（ 07 全国理）设函数 f x e xe x如对全部 x 0 都有 f x ax ,求 a 的取值范畴解：令 g x f x ax ,就 g x f a e xe xa,（1）如 a 2,当 x 0 时,g x e xe xa 2 a 0,故 g x 在 0, 上为增函数,x 0 时,g x g 0,即 f x ax 2（2）如 a 2,方程 g x 0 的正根为 x 1 ln a a 4,2此时,如 x 0, x 1 ,就 g 0,故 g x 在

2、该区间为减函数x 0, x 1 时,g x g 0 0,即 f x ax ,与题设 f x ax 相冲突综上,满意条件的 a 的取值范畴是 ,2 说明：上述方法是不等式放缩法【针对练习1】（10 课标理）设函数f x x e1x2 ax ,当x0时,f x 0,求 a 的取值范畴解：【例题 2】（ 07 全国文）设函数f x 2x32 3 ax3 bx8 c 在x1及x2时取得极值（1）求 a 、 b 的值；（2）如对于任意的x0,3,都有f x 2 c 成立,求 c 的取值范畴解：（ 1）f 62 x6 ax3 b ,0,f20函数f x 在x1及x2取得极值,就有f1即6 246 a3b0

3、0,解得a3,b412a3 b6 x218 x126x1 x2（ 2）由（ 1）可知,f x 2 x39 x212 x8 c ,f 当x0,1时,f 0；当x1,2时,f 0；当x2,3时,f 0当x1时,f x 取得极大值f158 c ,又f08 c ,f398 c 就当x0,3时,f x 的最大值为f398 c 8c2 c ,解得c1或c9,对于任意的x0,3,有f x 2 c 恒成立,9因此 c的取值范畴为, 19, 最值法总结：区间给定情形下,转化为求函数在给定区间上的最值名师归纳总结 【针对练习2】（07 重庆理）已知函数f x 4 axlnx4 bxc x0在x1处取得极值3c ,

4、其中第 1 页,共 10 页a 、 b 、 c为常数（1）试确定 a 、 b 的值；（ 2）争论函数f x 的单调区间；（3）如对任意x0,不等式f x 2 2 c 恒成立,求 c的取值范畴- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解：【针对练习3】（10 天津文）已知函数f x 3 ax3x21xR ,其中a0如在区间1 1 ,2 2上,2f 0恒成立,求 a 的取值范畴解：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2【例题 3】（ 08 湖南

5、理）已知函数 f x ln 2x 1 x1 x（1）求函数 f x 的单调区间；（2）如不等式 1 1 n ae 对任意的 n N 都成立（其中 e是自然对数的底数） ,求 a 的最大值n解：（ 1）函数 f x 的定义域是 1, ,f 2ln1 x x 2 2 x2 21 x ln1 x 2 x 2 2 x1 x 1 x 1 x 2设 g x 21 x ln1 x x 2 x 就 g x 2ln1 x 2 x ,令 h x 2ln1 x 2 x ,就 h x 22 2 x1 x 1 x当 1 x 0 时,h x 0,h x 在 1,0 上为增函数,当 x 0 时,h x 0,h x 在 0,

6、 上为减函数h x 在 x 0 处取得极大值,而 h 0 0,g x 0 x 0,函数 g x 在 1, 上为减函数于是当 1 x 0 时,g x g 0 0,当 x 0 时,g x g 0 0当 1 x 0 时,f 0, f x 在 1,0 上为增函数当 x 0 时,f 0,f x 在 0, 上为减函数故函数 f x 的单调递增区间为 1,0 ,单调递减区间为 0, （ 2）不等式 1 1 n ae 等价于不等式 n a ln1 1 1,由 1 1 1 知,n n naln1 11 n设 G x ln1 1x 1x,x 0,1,就n2 2G x 12 12 12 x ln 12 x x1 x

7、 ln 1 x x x 1 x ln 1 x 2由（ 1）知,ln 1 2x x0,即 1 x ln 1 2x x 201 xG x 0,x 0,1,于是 G x 在 0,1 上为减函数故函数 G x 在 0,1上的最小值为 G 1 11 a 的最大值为 11ln 2 ln 2小结：解决此类问题用的是恒成立问题的变量分别的方法,此类方法的解题步骤是：分别变量；构造函数（非变量一方） ；对所构造的函数求最值（一般需要求导数 量的取值范畴,有时仍需求两次导数） ；写出变【针对练习4】（10 全国 1 理）已知f x x1lnxx1,如xf x2ax1,求 a 的取值范畴解：【针对练习5】如对全部的

8、x ,都有xlnxaxa 成立,求实数 a 的取值范畴名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解：二、单参数放在区间上型：【例题 4】已知三次函数 f x ax 3 5 x 2 cx d 图象上点 1,8 处的切线经过点 3,0 ,并且 f x 在x 3 处有极值（1）求 f x 的解析式；（2）当 x 0, m 时,f x 0 恒成立,求实数 m的取值范畴解：（ 1）f 3 ax 2 10 x c ,f 1 3 a 10 c ,于是过点 1,8 处的切线为 y 8 3 a 10 c x 1,又切线

9、经过点 3,0 , 3 a 6 c 0,f x 在 x 3 处有极值,f 3 27 a 30 c 0,又 f 1 a 5 c d 8,由解得：a 1,c 3,d 9,f x x 35 x 23 x 9（ 2）f 3 x 210 x 3 3 x 1 x 3,由 f 0 得 x 1 1,x 2 331当 x 0, 时,f 0,f x 单调递增,f x f 0 9；3当 x 1 ,3 时,f 0,f x 单调递减,f x f 3 03当 m 3 时,f x 0 在 0, m 内不恒成立,当且仅当 m 0,3 时,f x 0 在 0, m 内恒成立, m 的取值范畴为 0,3 【针对练习 6】（07

10、陕西文） 已知 f x ax 3bx 2cx 在区间 0,1 上是增函数, 在区间 ,0 ,1, 上是减函数,又 f 1 32 2（1）求 f x 的解析式；（2）如在区间 0, m m 0 上恒有 f x x 成立,求 m 的取值范畴解：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载三、双参数中知道其中一个参数的范畴型：【例题 5】（ 07 天津理）已知函数 f x x ab x 0,其中 a , b R x（1）争论函数 f x 的单调性；（2）如对于任意的 a 1,2,不等式 f x 10 在1 ,

11、1 上恒成立,求 b 的取值范畴2 4a解：（ 1）f 1 2x当 a 0 时,明显 f 0 x 0这时 f x 在 ,0 , 0, 上内是增函数当 a 0 时,令 f 0,解得 x a当 x 变化时,f x ,f x 的变化情形如下表：x , a a a ,0 0, a a a , f 0 0f x 极大值微小值f x 在 , a , a , 内是增函数,在 a ,0, 0, 内是减函数（ 2）法一：化归为最值名师归纳总结 由（ 2）知,f x 在1 4,1上的最大值为f1与f1的较大者,对于任意的a1,2,不等式42f x10在1 4,1上恒成立,当且仅当f1 41 10,即b39a4a,

12、对a1,2成立4 92f10b从而得b7,满意条件的b 的取值范畴是,744法二：变量分别f x 10,b10xa,即b10xaminxx令g x 10xa,g x 1ax22a0,xxx2g x 在1 4,1上递减,g x 最小值为g14a3942397,4444x2,从而得b7,满意条件的b 的取值范畴是,744或用a2 x10b x ,即2 x10b x2,进一步分别变量得b10x利用导数可以得到10x2在x1时取得最小值7,x440第 5 页,共 10 页从而得b7,满意条件的b 的取值范畴是,744法三：变更主元f x 10在1 4,1上恒成立,即xab10, xab100,xxx1

13、,1, a 在12,2递增,即 a 的最大值为2x2b104x以下同上法- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 说明：此题是在对于任意的a 2,2,优秀学习资料欢迎下载f x 1在 1,1 上恒成立相当于两次恒成立,这样的题,往往先保证一个恒成立,在此基础上,再保证另一个恒成立4 3 2【例题 6】设函数 f x x ax 2 x 16ln x b a,b R ,如对于任意的 a 2,2,不等式4f x x 在 x 0,1 上恒成立,求实数 b 的取值范畴24 2 x 16ln x b解：f x x 在 x 0,1 上恒成立,即 3 a 在 x 0,1 上恒

14、成立x2由条件 a 2,2 得 2 x 16ln3 x ba min 2,x又 x 0,1,2 x 216ln x b 2 x ,即 3b 2 x 32 x 216ln x min3 2 3 2设 g x 2 x 3 2 x 2 16ln x ,就 g x 6 x 24 x 16 6 x 4 x 16 23 x 2 x 8x x x3 2 2令 3 x 2 x 8, 9 x 4 x x 9 x 4,4 4当 x 0, , 0；当 x ,1, 0,9 9x 0,1 时, x 微小值 4 8 320,于是 g x 0,9 2433 2g x 2 x 2 x 16ln x 在 x 0,1 递减,g

15、x 的最小值为 g 1 0,b 0,因此满意条件的 b 的取值范畴是 ,0 4 3 2【针对练习 7】设函数 f x x ax 2 x b x R ,其中 a , b R 如对于任意的 a 2,2,不等式 f x 1 在 1,1上恒成立,求 b 的取值范畴解：四、双参数中的范畴均未知型：名师归纳总结 【例题 7】（ 10 湖南理）已知函数f x x2bxc b cR ,对任意的xR ,恒有f f x 第 6 页,共 10 页（1）证明：当x0时,f x xc 2；恒成立,求M的最小值（2）如对满意题设条件的任意b , c ,不等式f c f b M c22 b解：（ 1）易知f 2xb 由题设

16、,对任意的xR,2xbx2bxc ,即x2 b2xcb0恒成立,b224 cb 0,从而cb214于是c1,且c2b21|b ,因此 2 cbccb00时,f x xc 24故当x0时,有xc2f x 2cb xc c10,即当x（ 2）由（ 1）知, c|b - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载当 c|b 时,有Mf c f b c2b2bcb2c2 bc2b2c2b2bc令tb,就1tc 1,b2 b211t而函数g t 211t 1t1的值域是,3cc2因此,当 c|b 时, M 的取值集合为c3 2,f c f b 8或 0

17、,c2b20当 c|b 时,由（ 1）知,b2,2此时从而f c f b 3c22 b恒成立综上所述,M 的最小值为322【针对练习8】如f x 3 x图象上斜率为3 的两切线间的距离为2 10,设g x f x 3 bx23a x25a2（1）如函数1处有极值,求g x 的解析式；gx在（2）如函数gx在区间 1,1 上为增函数,且b2mb4g x 在区间 1,1 上都成立,求实数m的取值范畴解：五、双参数中的线性规划型：名师归纳总结 【例题 8】（ 12 浙江理）已知a0, bR ,函数f x 43 ax2 bxab第 7 页,共 10 页（1）证明：当 0x1时,函数f x 的最大值为

18、| 2ab|a ；f x | 2ab|a0；（2）如1f x 1对x0,1恒成立,求 ab 的取值范畴解：（ 1）f 12ax22 b12 a x2b6a当b0时,f 2 12 ax2 b0,在 0x1上恒成立,f x 在 0,1 上递增,此时f x 的最大值为：f14 a2bab3ab| 2ab|a ；当b0时,f 2 12 ax2 b12 a xbxb,6 a6 a此时f x 在 0,b上递减,在 b,上递增,f x 在 0,1 上的最大值为：6a6 af maxmaxf0,f1maxba,3abbaa b2 a| 2 ab|a 3b b2a综上所述：函数f x 在 0x1上的最大值为 |

19、 2ab|a 0x1,当b2a 时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载3f x |2 a b | a f x 3 a b 4 ax 2 bx 2 a4 ax 3 4 ax 2 a 2 2 x 3 2 x 1当 b 2 a 时,f x |2 a b | a f x a b 4 ax 3 2 1 x 2 a4 ax 3 4 1 x 2 a 2 2 x 3 2 x 1设 g x 2 x 32 x 1,g x 6 x 22 2 x 3 x 3,列表可得3 33 4 3 3g x min g 1 0,当 0 x 1 时,2 x 2 x 1

20、0,3 9f x |2 a b | a 2 2 x 32 x 1 0（2）由知：函数 f x 在 0 x 1 上的最大值为 | 2 a b | a , | 2 a b | a 1 由知：f x | 2 a b | a 1,于是 1 f x 1 对 x 0,1 恒成立的充要条件为：2 a b 0 2 a b 0 b3 a b 1 或 b a 1,在坐标系 aOb 中,2 Aa 0 a 0 C1不等式组所表示的平面区域为如下列图的阴影部分,其中不包括线段 BC 作一组平行线 a b t t R ,得 1 a b 3, a b 的取值范畴为 1,3 b a 11 O 1 a【针对练习 9】已知函数

21、f 1x 2ax 2 ln x 1 x 0b 2 a B 12 b 3 a 1（1）如 a b 1,求 f x 的单调区间；（2）如 f x 的两个极值点 1x ,x 恒满意 0 x 1 1 x 2 2,求 a 2 b 的取值范畴解：六、双参数中的肯定值存在型：名师归纳总结 【例题 9】（ 06 湖北理）设x3是函数f x 2 xax3 b ex xR 的一个极值点第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（1）求 a 与 b 的关系式（用 a 表示 b ）,并求 f x 的单调区间；（2）设 a 0,g x a

22、2 25 e 如存在 x1,2 0,4 使得 | f 1 g 2 | 1 成立,求 a 的4取值范畴解：（ 1）f x 2 a 2 x b a e 3 x,由 f 3 0,得 3 2 a 23 b a e 3 3 0,即得 b 3 2 a ,就 f x 2 a 2 x 3 3 a e 3 x x 3 x a 1 e 3 x令 f 0,得 x 1 3 或 x 2 a 1,由于 x 3 是极值点,x 1 x ,即 a 4当 a 4 时,x 2 3 x ,就在区间 ,3 上,f 0,f x 为减函数；在区间 3, a 1 上,f 0,f x 为增函数；在区间 a 1, 上,f 0,f x 为减函数当

23、 a 4 时,x 2 3 x ,就在区间 , a 1 上,f 0,f x 为减函数；在区间 a 1,3 上,f 0,f x 为增函数；在区间 3, 上,f 0,f x 为减函数（ 2）由（ 1）知,当 a 0 时,a 1 0,f x 在区间 0,3 上的单调递增,在区间 3,4 上单调递减,那么 f x 在区间 0,4 上的值域是 min f 0, f 4, f 3,而 f 0 2 a 3 e 3 0,f 4 2 a 13 e 1 0,f 3 a 6,那么 f x 在区间 0,4 上的值域是 2 a 3 e a 36又 g x a 2 25 e 在区间 0,4 上是增函数,且它在区间 x0,4

24、 上的值域是42 25 2 25 4 2 25 2 1 1 2 a , a e ,由于 a a 6 a a a 0,4 4 4 4 2只须仅须 a 2 25 a 6 1 且 a 0,解得 0 a 3故 a 的取值范畴是 0, 34 2 22【针对练习 10】（ 10 辽宁理）已知函数 f x a 1ln x ax 1（1）争论函数 f x 的单调性；（2）设 a 1,假如对任意 1x ,x 2 0, ,| f x 1 f x 2 4| x 1 x 2 |,求 a 的取值范畴解：总结： 关于运用导数解决含参函数问题的策略仍有许多,参数问题形式多样,方法敏捷多变, 技巧性较强,名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载对于某些“ 含参函数” 题目,不肯定用某一种方法,仍可用多种方法去处理这就要求我们养成良好的数 学思维,有良好的观看与分析问题的才能,敏捷的转化问题才能,使所见到的“ 含参函数” 问题能更有效 地解决名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页