2022年知识点一导数与函数的单调性3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.函数的单调性：在某个区间（a,b）内,假如f 0,那么函数yf x 在这个区间内单调递增；如果f 0,那么函数yf x 在这个区间内单调递减,.假如f 0,那么函数yf x 在这个区f 间上是常数函数. 0是yf x 在（ a,b）内单调递增的注：函数yf x 在（ a,b）内单调递增,就f 0充分不必要条件. 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负；曲线在微小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正名师归纳总结 一般地,当函数yf x 在点0x处连续时,判定f x0是极大（小）值的方法是：第

2、 1 页,共 7 页（1）假如在0x邻近的左侧f 0,右侧f 0,那么f x 0是极大值（2）假如在0x邻近的左侧f 0,右侧f 0,那么f x 0是微小值注：导数为0 的点不肯定是极值点学问点一：导数与函数的单调性方法归纳：在某个区间（a,b）内,假如f 0,那么函数yf x 在这个区间内单调递增；假如f 0,那么函数yf x 在这个区间内单调递减.假如f 0,那么函数yf x 在这个区间上是常数函数. 注：函数yf x 在（ a,b）内单调递增,就f 0,f 0是yf x 在（ a,b）内单调递增的充分不必要条件. 例 1】（ B 类）已知函数f x x3bx2cxd 的图象过点P0, 2

3、,且在点M 1,f 1处的切线方程为6xy70. （）求函数yfx的解析式；（）求函数yfx的单调区间 . 【解题思路】留意切点既在切线上,又原曲线上.函数f x 在区间 , a b 上递增可得：f 0；函数f x 在区间 , a b 上递减可得：f 0. 【例 2】（ A 类）如f x 3 axx 在区间 1,1上单调递增,求a的取值范畴 . 【解题思路】利用函数f x 在区间 , a b 上递增可得：f 0；函数f x 在区间 , a b 上递减可得：f 0.得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解【例 3】（ B 类）已知函数f lnx ,g x aa0,设F x f x g

4、x x（）求函数F x 的单调区间；（）如以函数yF x x0,3图像上任意一点P x 0,y0为切点的切线的斜率k1恒成立,2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求实数 a 的最小值【课堂练习】1. （ B ）已 知 函 数f 3 axbx2的 图 像 经 过 点M1,4, 曲 线 在 点 M 处 的 切 线 恰 好 与 直 线x9y0垂直 . （）求实数a b 的值；m 的取值范畴 . （）如函数f x 在区间 m m1上单调递增,求2（ B 类）设函数gx1x21ax2bxa,bR,在其图象上一点P（ x,y）处的切线的斜率记32为fx.x 的表达

5、式；0时,争论函数f x 的单调（ 1）如方程fx 0 有两个实根分别为2 和,4求 f（ 2）如gx在区间,13上是单调递减函数,求a2b2的最小值3.（ A 类）已知函数f x 1x2mlnxm1x , mR 当m2性. 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例一 解析】（）由f x的图象经过P0, 2,知d2,名师归纳总结 - - - - - - -所以f x x3bx2cx2. 所以f 3x22 bxc . 由在M 1,f 1处的切线方程是6xy70,知6f 170,即f 11,f 16. 所以312 bc6,1

6、.即2 bcc3,解得bc3. bc2b0.故所求的解析式是f x x33x23x2. （）由于f 3x26x3,令3x26x30,即x22x10,解得x 112,x 212. 当x12或x12时,f 0,当12x12时,f 0,故f x x33x23x2在,12 内 是 增 函 数 , 在 12,12 内 是 减 函 数 , 在12, 内是增函数 . 例二【解析】Qf 3ax21又f x 在区间 1,1上单调递增f 3ax210在1,1上恒成立即a12在 x1,1时恒成立 . 3xa1故 a 的取值范畴为1,33例三解析】（ I）Fxfxg xlnxax0,Fx1axx2ax0xxx2a0,

7、由Fx0xa, F x 在a ,上单调递增 . 由Fx0x0,a , F x在 0, a 上单调递减 . F x 的单调递减区间为0,a ,单调递增区间为,a. （II ）Fxx2 xa0x3,kFx 0x 02a0x3恒成立a12 x 0x 0maxx 02当x01时,12 x 0x 取得最大值1. 22第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - a1, amin=1 22课堂练习；1,【解析】（）f x 3 axbx2的图象经过点M1,4ab4f 3 ax22 bx ,f13 a2 b由已知条件知f1 11即 3 a2 b99解ab4得：a13 a2 b9b3（

8、）由（）知f x x332 x ,f 3x26x令f 32 x6x0就x2或x0函数f x 在区间 m m1上单调递增 m m1, 2U0,m0或m12即m0或m32,解析】（ 1）依据导数的几何意义知fxgxx2axb由已知 -2、4 是方程x2axb0的两个实根由韦达定理,24aa82 ,fx x22 x824bb（ 2）g x 在区间 1,3上是单调递减函数,所以在1,3区间上恒有fxgx x2axb0,即fxx2axb0在1 3,恒成立这只需满意f1 00 即可,也即ab19f3 b3 a而a2b2 可视为平面区域ab1内的点到原点距离的平 9方,b3 a其中点（ 2,3）距离原点最近

9、,名师归纳总结 所以当a b32 时 ,a2b2有最小值 13 1xm ,第 4 页,共 7 页3,【解析】f xmm1x2mx1xmxxx（ 1）当1m0时,如x0,m时,f 0,f x 为增函数；xm ,10,f x 为减函数；时,f x1,时 ,f 0,f x 为增函数（2）当m1时,x0,1时 ,f 0,f x 为增函数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x1,m时,f 0,f x 为减函数；x m , 时 , f 0, f x 为增函数学问点二 : 导数与函数的极值最值方法归纳：名师归纳总结 1.求函数的极值的步骤: 第 5 页,共 7 页1

10、确定函数的定义域,求导数f .2求方程f 0的根 .3用函数的导数为0 的点,顺次将函数的定义域分成如干小开区间,并列成表格.检查f x 在方程根左右的值的符号,假如左正右负,那么f x在这个根处取得极大值；假如左负右正,那么fx在这个根处取得微小值；假如左右不转变符号,那么fx在这个根处无极值.2.求函数在 , a b 上最值的步骤：（1）求出f x 在 , a b 上的极值 . （2）求出端点函数值f a ,f b . （3）比较极值和端点值,确定最大值或最小值. 注:可导函数yf x 在xx 处取得极值是fx 00的充分不必要条件. 【例 4】（ A 类）如函数f mcosx1sin 2

11、x 在x4处取得极值 ,就 m. 2【解题思路】如在x 邻近的左侧f 0,右侧f 0,且fx 00,那么f x 0是f x 的极大值；如在x 邻近的左侧f 0,右侧f 0,且fx00,那么f x 0是f x 的微小值 . 【解析】由于f x 可导 ,且f msinxcos2x ,所以f4msin4cos20,解得m0. 验证当m0时 , 函数f x 1sin 2x 在x4处取得极大值 . 2【注】如f x 是可导函数,留意fx00是x 为函数f x 极值点的必要条件.要确定极值点仍需在x 左右判定单调性. 例 5】（ B 类）已知函数f xxx k e ,（I）求fx 的单调区间；（II）求f

12、x 在区间 0,1 上的最小值 . 【解析】（I ）f/ xkx 1 e ,令f/ 0xk1；所以fx 在 ,k1上递减,在k1,上递增；（II ）当k10,即k1时,函数f x在区间0,1上递增,所以f x minf0k ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当0k11即1k2时,由（ I）知,函数f x 在区间 0,k1上递减,k1,1上递增,所以 f x min f k 1 e k 1； 当 k 1 1, 即 k 2 时 , 函 数f x 在 区 间0,1上 递 减 , 所 以f min f 1 1 k e . 【例 6】（ B 类）设 x 1,

13、x 2 是 f x a ln x bx x 函数的两个极值点 . （1）试确定常数 a 和 b 的值；（2）试判定 x 1, x 2 是函数f x 的极大值点仍是微小值点,并求相应极值 . 【解析】（ 1）f x a2 bx 1,x由已知得：f f 12 00 12 aa 24 bb 11 00 ab 16 23（2）x变化时 . f , f x 的变化情形如表：x（0,1）1 （ 1,2）2 f,x0 + 0 f x 微小值 极大值故在 x 1 处,函数 f x 取微小值 56 ；在 x 2 处,函数 f x 取得极大值 43 2 ln 231 3 1 2 24.（ A 类）设 f x 3

14、x2 x 2 ax.如 f x 在 3 , 上存在单调递增区间,求 a 的取值范畴 . 5.（ B 类）设 f x ln x ,g x f x f x （1）求g x 的单调区间和最小值；2（2）争论g x 与g1 x 的大小关系；6.（ C 类）已知函数f x x33ax36 a x12a4aR 证明：曲线yf 在x0的切线过点2,2；. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 课堂练习； 4,【解析】fx在2,上存在单调递增区间,3即存在某个子区间m ,n2,使得f x 0. x21,令g 0 得x=1,3由fxx2x

15、2 ax1212 a,24f x 在区间2,上单调递减,就只需f20即可 . 33由f222 a0解得a1,399所以,当a1时,f x 在2,上存在单调递增区间935,解】（ 1）由题设知f x lnx g x lnx1g x x ,x当x（ 0,1）时,g x 0,g x 是减函数,故（0,1）是g x 的单调减区间 . g11.当x（ 1,+）时,g x 0,g x 是增函数,故（1,+）是g x 的单调递增区间,因此,x=1 是g x 的唯独极值点,且为微小值点,从而是最小值点,所以g x 的最小值为2g1lnxx,设h x g x g1lnxx1h x xx2 1,xxx ,就2当x1时,h10,即g x g1 x ,当x0,11,时,h x 0,因此,h x 在 0, 内单调递减,当0x1时,h x h 10,即g x g1.x6,【解析】 f 3 x26 ax36 a ,f036a ,又f012a4名师归纳总结 曲线yf x 在x0的切线方程是：y12a436 a x ,在上式中令x2,得y2. 所以曲线yf x 在x0的切线过点2,2；第 7 页,共 7 页- - - - - - -