2022年离散数学集合论部分综合练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3 次,分别是集合论部分、图论部分、数理规律部分的综合练习,这 3 次综合练习基本上是根据考试的题型支配练习题目,目的是 通过综合练习,使同学自己检验学习成果,找出把握的薄弱学问点,重点复习,争取尽快把握；本次是集合论部分的综合练习；一、单项挑选题1如集合 A= a,b ,B= a,b, a,b ,就（）AA B,且 A B BA B,但 A B CA B,但 A B DA B,且 A B2如集合 A2,a, a ,4 ,就以下表述正确选项 A a, a A B a A C2 A DA3如集合 A a

2、, a ,1 ,2 ,就以下表述正确选项 A a, aAB2AAC aA D4如集合 A= a,b,1,2 ,B=1 ,2 ,就（） AB A,且 B A BB A,但 B A CB A,但 B A DB A,且 B A5设集合 A = 1, a ,就 PA = A1, a B ,1, a C ,1, a, 1, a D 1, a, 1, a 6如集合 A 的元素个数为 10,就其幂集的元素个数为（）A1024B10C100 D1 7集合 A=1, 2,3,4,5,6,7,8上的关系 R=|x+y=10且 x,y A ,就 R 的性质为（） A自反的 B对称的 C传递且对称的 D反自反且传递的

3、8设集合 A = 1 ,2,3,4,5,6 上的二元关系 R =a , ba , bA , 且 a +b= 8 ,就 R 具有的性质为（）A自反的 B对称的 C对称和传递的 D反自反和传递的9假如 R1和 R2是 A 上的自反关系,就 系有（）个A0 B2 C1 D3 10设集合 A=1 , 2 , 3 , 4 上的二元关系R1R2,R1R2,R1- R2中自反关R = 1 , 1,2 , 2 ,2 , 3 ,4 , 4,1 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - S = 1 , 1 ,2 , 2,2 , 3,3

4、, 2 ,4 , 4 ,就 S是 R 的（）闭包 A自反 B传递 C对称 D以上都不对11设集合 A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 上的偏序关系2 1 3 5 的哈斯图如图一所示,如A 的子集 B = 3 , 4 , 5 ,就元素 3为 B 的（）4 A下界 B最大下界 C最小上界 D以上答案都不对图一12设 A=1, 2,3,4,5,6,7,8,R 是 A 上的整除关系, B=2,4, 6 ,就集合 B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 A8、2、8、2B无、 2、无、 2 C6、2、6、2D8、1、6、1 13设 A= a,b ,B=1,2 ,R1,R2,R3是 A 到 B 的

5、二元关系,且 R1=, ,R2=, , ,R3=, ,就（）不是从 A 到 B 的函数AR1 和 R2 BR2CR3 DR1和 R3二、填空题 1设集合 A 有 n 个元素,那么 A 的幂集合 PA的元素个数为2设集合 A a,b,那么集合 A 的幂集是应当填写： , a,b, a, b 3设集合 A=0, 1, 2, 3 ,B=2, 3, 4, 5 ,R是 A 到 B 的二元关系,Rx ,yxA 且yB 且x ,yAB 就 R的有序对集合为4设集合 A=0,1,2 ,B=0,2,4, R 是 A 到 B 的二元关系,Rx ,yxA 且yB 且x ,yAB 就 R的关系矩阵 MR5设集合 A=

6、 a,b,c ,A 上的二元关系就R S1=R=, ,S=, 6设集合 A=a,b,c,A 上的二元关系 R=, , , ,就二元关系 R具有的性质是7如 A=1,2 ,R=|x A,y A,x+y=10,就 R 的自反闭包为8设集合 A=1, 2 ,B= a, b ,那么集合 A 到 B 的双射函数是9设 A= a,b,c ,B=1 ,2 ,作 f：AB,就不同的函数个数为2 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、判定说明题 （判定以下各题,并说明理由）1设 A、B、C 为任意的三个集合,假如 成立？并说明

7、理由AB=AC,判定结论 B=C 是否2假如 R1和 R2是 A 上的自反关系,判定结论：“R- 11、R1R2、R1 R2是自反的”是否成立？并说明理由 3如偏序集 的哈斯图如图一所示,就集合 A 的最大元为 a,最小元不存在4如偏序集 的哈斯图如图二所示,图一就集合 A 的最大元为 a,最小元不存在 5设 N、R 分别为自然数集与实数集,f：N 图二R,fx=x+6,就 f 是单射四、运算题1设集合 A a, b, c ,B= b, d, e ,求（1）B A；（2）A B；（3）AB；（4）B A2设 A= a, b, 1, 2 ,B= a, b, 1, 1 ,试运算（1）（A B）（2

8、）（ AB）（3）（ AB） （AB）3设集合 A=1,2,1,2,B=1,2,1,2 ,试运算（1）（A B）；（2）（ AB）；（3）A B4 设 A=0 , 1 , 2, 3 , 4 , R=|x A, y A 且 x+y0 , S=|x A,y A 且 x+y 3 ,试求 R,S,R S,R-1,S-1,rR5设 A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,R 是 A 上的整除关系, B=2,4, 6 （1）写出关系 R的表示式；（ 2）画出关系 R 的哈斯图；（3）求出集合 B 的最大元、最小元6设集合 Aa, b, c, d上的二元关系 R的关系图ba图三d如图三所示

9、（1）写出 R的表达式；c（2）写出 R的关系矩阵；（3）求出 R 27设集合 A=1 ,2,3,4,R=|x,y A；|x y|=1 或 x y=0 ,试（1）写出 R的有序对表示；（2）画出 R的关系图；（3）说明 R满意自反性,不满意传递性五、证明题 1试证明集合等式： A B C=A B A C2试证明集合等式 A B C=A B A C3设 R是集合 A 上的对称关系和传递关系,试证明：如对任意 a A,存在3 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - b A,使得 R,就 R 是等价关系 4如非空集合 A

10、 上的二元关系 R 和 S是偏序关系,试证明：RS也是 A 上的偏序关系参考解答一、单项挑选题1A2B3C4B 5C6A 7B8B 9B 10C 11C12B13B 二、填空题 n 122 , a,b, a, b 3 , , 41100001105, 6反自反的7, 8, , 98 三、判定说明题 （判定以下各题,并说明理由）1解： 错设 A=1, 2 ,B=1 ,C=2 ,就 AB=AC,但 B C2解 ：成立由于 R1和 R2是 A 上的自反关系,即 IA R1,IA R2；由逆关系定义和 I A R1,得 I A R1- 1；由 I A R1,IA R2,得 IA R1R2,IA R1

11、R2；所以, R1- 1、R1R2、R1 R2是自反的；3解：正确对于集合 A 的任意元素 x,均有 R（或 xRa）,所以 a 是集合 A 中的最大元根据最小元的定义,在集合 A 中不存在最 小元4解：错误集合 A 的最大元不存在, a 是极大元5解：正确4 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设 x1,x2为自然数且 x1 x2,就有 fx1=x1+6 x2+6=fx2,故 f 为单射四、运算题1解：（ 1）B A= a, b, c b, d, e= b （2）A B= a, b, c b, d, e= a

12、, b, c, d, e （3）AB= a, b, c b, d, e= a, c （4）BA=A BBA= a, b, c, d, e b= a, c, d, e 2解：（ 1）（ A B）= a, b, 2 （2）（ AB）= a, b, 1, 2, a, b, 1 （3）（ AB） （AB）= a, b, 2, a, b, 1 3解：（ 1）A B =1,2 （2）AB =1,2 （3）AB= , , , , , , , 4解 ：R= , S=, 6 9 11 R S=,R-1=,S-1=S,8 12 rR=IA5解：（ 1）R=I, , , , 10 4 , , , , , , , 5

13、 2 7 3 , , , , （2）关系 R的哈斯图如图四（3）集合 B 没有最大元,最小元是： 2 6解： R, , , 1 图四：关系哈斯图R 的1010MR001000000001R 2 = , , , , , , =, , 7解： （1）R=, 2 1 3 , （2）关系图如图五4 （3）由于 ,均属于 R,即 A 的每个元素构成的有序对均在R 中,故 R 在图五A 上是自反的；因有与属于 R,但不属于 R,所以 R在 A 上不是传递的；5 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 五、证明题 1证明 ：设,

14、如 xA BC,就 xA 或 xB C,即 xA 或 xB 且 xA 或 xC即 xA B 且 xA C,即 xT=A B A C,所以 A B C A B A C反之,如 xA B A C,就 xA B 且 xA C,即 xA 或 xB 且 xA 或 xC,即 xA 或 xB C,即 xA B C,所以A B A C A B C因此 A B C=A B A C2证明 ：设 S=ABC,T=AB AC,如 xS,就 xA 且 xBC,即 xA 且 xB 或 xA 且 xC,也即 xAB 或 xAC,即 xT,所以 S T反之,如 xT,就 xAB 或 xAC,即 xA 且 xB 或 xA 且

15、xC也即 xA 且 xBC,即 xS,所以 T S因此 T=S3设 R是集合 A 上的对称关系和传递关系,试证明：如对任意 a A,存在b A,使得 R,就 R 是等价关系 证明 ：已知 R 是对称关系和传递关系,只需证明R 是自反关系a A, b A,使得 R,由于 R是对称的,故 R；又 R是传递的,即当 R, R R；由元素 a 的任意性,知 R 是自反的所以, R 是等价关系4如非空集合 A 上的二元关系 R 和 S是偏序关系,试证明：RS也是 A 上的偏序关系证明 ：.xA,x,xR ,x ,xS,x,xRS,所以RS有自反S 性；yx,yS y,xyRy ,xx ,yA ,由于 R,S是反对称的,x,yRSy,xRSx,yRx,yRy,xRx ,yS,xS xyxxy所以, R S有反对称性zSx,y,zA,由于 R,S是传递的,x ,yRSy,zRSx,yRx,ySy,zRyx,yRy,zRx,ySy,zSx ,zRx,zSx,zRS所以,RS有传递性总之, R 是偏序关系6 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7 / 7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页