2022年立体几何高三总复习学案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高三总复习 - 立体几何 一、本讲进度立体几何复习 二、本讲主要内容 空间几何图形的证明及运算；三、复习指导 1、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结；如下图：条件线线平行线面平行面面平行垂直关系结论线线平行假如 a b,b假如 a ,a假如 ,假如 a ,b , =b, =a, c,那么 a c ,那么 a b 那么 a b =b,那么 a b 线面平行假如 a b,a假如 ,a ,b ,那么 ,那么 a 面面平行假如 a ,b假如 a ,b假如 ,假如 a ,a ,c ,d ,a b=P,a ,a c,b d,

2、,那么 ,b ,那么 ,那么 ab=P,那么 条件线线垂直线面垂直面面垂直平行关系结论线线垂直二垂线定理及逆假如 a ,b假如三个平面两假如 a b,a两垂直,那么它定理 ,那么 a b c,那么 b c 们交线两两垂直线面垂直假如 ab,a假如 ,假如 a ,bc, b , c =b,a ,a ,bc=P,那a,那么 b b,那么 a么 a面面垂直定义（二面角等假如 a ,a于 900） ,那么 2、空间元素位置关系的度量（ 1）角：异面直线所成的角,直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成 的角；异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归,详细途径有：中位线、补形法等；

3、直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载二面角：化归为平面角的度量,化归途径有：定义法,三垂线定理法,棱的垂面法及面积射影法；（ 2）距离：异面直线的距离,点面距离,线面距离及面面距离；异面直线的距离：除求公垂线段长度外,通常化归为线面距离和面面距离；线面距离,面面距离常化归为点面距离；3、两个重要运算公式（ 1）cos =cos 1cos 2其中 1为斜线 PA与平面 所成角,即为 PAO, 2为 PA射影 AO与 内直线 AB所成的角, 为 PAB；

4、明显, 1, 2（ 2）异面直线上两点间距离公式设异面直线 a,b 所成角为 就 EF 2=m 2+n 2+d 2 2mncos4、棱柱、棱锥是常见的多面体；在正棱柱中特殊要运用侧面与底面垂直的性质解题,在正棱锥中,要熟记由高PO,斜高 PM,侧棱 PA,底面外接圆半径OA,底面内切圆半径OM,底面正多边形半边长OM,构成的三棱锥,该三棱锥四个面均为直角三角形；5、球是由曲面围成的旋转体；讨论球,主要抓球心和半径；6、立体几何的学习,主要把握对图形的识别及变换（分割,补形,旋转等）,因此,既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系,也要能在复杂背景图形中“ 剥出” 基本图形；四、典型例题例 1

5、、在正方体 ABCD A1B1C1D1中, E、F、G、 H分别为棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点, O为 AC与 BD的交点（如图） ,求证：（1）EG 平面 BB1D1D；（2）平面 BDF 平面 B1D1H；（3）A1O平面 BDF；（4）平面 BDF平面 AA1C；解析：（ 1）欲证 EG 平面 BB1D1D,须在平面 BB1D1D内找一条与 EG平行的直线,构造帮助平面 BEGO及帮助直线 BO,明显 BO即是；（ 2）按线线平行 线面平行 面面平行的思路,在平面 B1D1H 内查找 B1D1和 OH 两条关键的相交直线,转化为证明：B1D1 平面 BDF,OH 平面 BD

6、F；（ 3）为证 A1O平面 BDF,由三垂线定理,易得 BDA1O,再寻 A1O垂直于平面 BDF内的另一条直线；猜想 A1OOF；借助于正方体棱长及有关线段的关系运算得：A1O 2+OF 2=A1F A1O OF；2（ 4） CC1平面 AC 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载 CC1BD 又 BD AC BD平面 AA1C 又 BD 平面 BDF 平面 BDF平面 AA1C 例 2、在正方体 ABCD A1B1C1D1中, M为 DD1 中点, O 为底面 ABCD的中心, P 为棱 A1

7、B1上任意一点,就直线 OP与直线 AM所成的角是A、6B、4C、3D、2解析：取 P 点的特殊点 A1,连 OA1,在底面上过 O作 OEAD于 E,连 A1E OE平面 ADD 1A1, AMA1E 依据三垂线定理,得：AMOA1 选 D 评注：化“ 动” 为“ 定” 是处理“ 动” 的思路例 3、如图,三棱锥 DABC中,平面 ABD、平面 ABC均为等腰直角三角形,ABC= BAD=90 0,其腰 BC=a,且二面角 DABC=60 0；（ 1）求异面直线 DA与 BC所成的角；（ 2）求异面直线 BD与 AC所成的角；（ 3）求 D到 BC的距离；（ 4）求异面直线 BD与 AC的距

8、离；解析：0（ 1）在平面 ABC内作 AE BC,从而得 DAE=60 DA 与 BC成 60 0角（ 2）过 B 作 BF AC,交 EA延长线于 F,就 DBF为 BD与 AC所成的角0由 DAF易得 AF=a,DA=a, DAF=120 DF2=a 2+a 2-2a21 =3a 22 DF=3 a DBF中, BF=AC= 2 a cos DBF= 141 4 异面直线BD与 AC成角 arccos（ 3） BA平面 ADE 平面 DAE平面 ABC 故取 AE中点 M,就有 DM平面 ABC；取 BC中点 N,由 MN BC,依据三垂线定理,DNBC DN 是 D到 BC的距离名师归

9、纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在 DMN中, DM=3 a,MN=a 2优秀学习资料欢迎下载 DN=7 a 2平面 BDF,AC BF （ 4） BF平面 BDF,AC AC 平面 BDF 又 BD 平面 BDF AC 与 BD的距离即 AC到平面 BDF的距离VABDF1 3hSBDF,VABDFVBADF15a21hS1ABSADF2 a2a15BDF33BFsinDBF11 2BDBDFS244由SADF1 2AFDM1a3a3a25a224ABhBD与 AC的距离为SADF5a,即异面直线SBDF55评注：三棱

10、锥的等体积变换求高,也是求点到面距离的常用方法；例 4、如图,在 60 0的二面角 CD 中,AC ,BD ,且 ACD=45 0,tg BDC=2,CD=a,AC= 2 x,BD= 5 x,当 x 为何值时, A、B 的距离最小？并求此距离；解析：作 AECD 于 E,BFCD 于 F,就 EF 为异面直线AE、 BF 的公垂段, AE 与 BF 成 600 角,可求得|AB|=7x24 axa2,当 x=2a时, |AB| 有最小值21a；77评注：转化为求异面直线上两点间距离的最小值；例 5、如图,斜三棱柱ABCABC中,底面是边长为a 的正三角形,侧棱长为 b ,侧棱 AA与底面相邻两

11、边AB、AC都成 450 角,求此三棱柱的侧面积和体积；解析：在侧面 AB内作 BDAA于 D 连结 CD 0 AC=AB,AD=AD, DAB=DAC=45 DAB DAC CDA=BDA=90 0,BD=CD BDAA, CDAA DBC是斜三棱柱的直截面名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在 Rt ADB中, BD=ABsin450=2优秀学习资料欢迎下载a2 DBC的周长 =BD+CD+BC= 2 +1a , DBC的面积 =a24 S侧=bBD+DC+BC= 2 +1ab V=SDBCAA=a2b4评注：求斜

12、棱柱的侧面积有两种方法,一是判定各侧面的外形,求各侧面的面积之和,二是求直截面的周长与侧棱的乘积,求体积时同样可以利用直截面,即V=直截面面积 侧棱长；例 6、在三棱锥PABC中, PC=16cm,AB=18cm,PA=PB=AC=BC=17cm,求三棱锥的体积VP-ABC；解析：取 PC和 AB的中点 M和 N V P ABC V P AMB V C AMB 1PC S AMB3在 AMB中, AM 2=BM 2=17 2-8 2=25 9 AM=BM=15cm, MN 2=15 2-9 2=24 6 S AMB= 1 AB MN= 1 18 12=108cm 2 2 2 V P-ABC=

13、1 16 108=576cm 3 3评注：把一个几何体分割成如干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法,这样分割的结果,一方面便于求体积,另一方面便于利用体积的相关性质,如等底等高的锥体的体积相等,等底的两个锥体的体积的比等于相应高的比,等等；五、同步练习（一）挑选题1,2 都垂直,就a,b 的关系是D、平行、相交、异面 1 、12,a,b 与 A 、平行B、相交C、异面都有可能 2 、异面直线a,b,ab,c 与 a 成 300,就 c 与 b 成角范畴是0,1200 D、 300,1200 A 、600,900 B、300,900 C、60 3 、正方体 AC1中, E、F 分别是 AB、

14、BB1的中点,就A1E 与 C1F所成的角的余弦值是 A 、1B、2C、2 D 5、21BADC大小225 4、在正 ABC中, AD BC于 D,沿 AD折成二面角BADC后,BC= 1 AB,这时二面角2为名师归纳总结 A、600B、900C、4500 D、 120P 朝垂直5、一个山坡面与水平面成600 的二面角,坡脚的水平线（即二面角的棱）为AB,甲沿山坡自于 AB的方向走 30m,同时乙沿水平面自Q 朝垂直于 AB的方向走30m,P、Q都是 AB上的点,如PQ=10m,第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎

15、下载这时甲、乙 2 个人之间的距离为A、20 7 m B、10 10 m C、30 3 m D、10 19 m6、E、F 分别是正方形 ABCD的边 AB和 CD的中点, EF交 BD于 O,以 EF为棱将正方形折成直二面角如图,就 BOD= 0 A、1350 B、1200 C、150D、 900 , , （都7、三棱锥 VABC中, VA=BC,VB=AC,VC=AB,侧面与底面ABC所成的二面角分别为是锐角）,就 cos +cos +cos 等于A、1 B、2 C、1 2D、3 28、正 n 棱锥侧棱与底面所成的角为 ,侧面与底面所成的角为 ,tan tan 等于A、sinnB、cosnC

16、、sin2D、cos2nn9、一个简洁多面体的各面都是三角形,且有6 个顶点,就这个简洁多面体的面数是A、4 B、6 C、8 D、 10 10、三棱锥PABC中, 3 条侧棱两两垂直,PA=a, PB=b,PC=c, ABC的面积为S,就 P 到平面 ABC的距离为A、abcB、abcC、abcD、abcBAPQCS2S3 S6S11、三棱柱 ABCA1B1C1 的体积为 V,P、Q分别为 AA1、CC1 上的点,且满意AP=C 1Q,就四棱锥的体积是A、1VB、1VC、1VD、2V234312、多面体 ABCDEF中,已知面ABCD是边长为 3 的正方形, EF AB,EF=3 ,EF与面

17、AC的距离为 2,2就该多面体的体积为A、9 2B、5 500,空间有肯定点C、6 D、15300的直线2（二）填空题a 与 b 所成的角是P,就过点 P 与 a, b 所成的角都是13、已知异面直线有_条；14、线段 AB的端点到平面 的距离分别为6cm和 2cm,AB在 上的射影AB的长为3cm,就线段AB的长为_；15、正 n 棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范畴是 _；16、假如一个简洁多面体的每个面都是奇数的多边形,那么它的面数是 _；（三）解答题17、如图,在斜边为 AB的直角三角形 ABC中,过 A 作 AP平面 ABC,AE PB于 E,AFPC于 F,CGAB于 G,CDPB

18、于 D；（ 1）求证 AEF=CDG；（ 2）求 AEF面积的最大值；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18、等边三角形ABC的边长为优秀学习资料欢迎下载APQ平面 PBCQ,设点 A 到直线a,沿平行BC的线段 PQ折起,使平面PQ的距离为 x,AB的长为 d （ 1）x 为何值时, d 2 取得最小值,最小值是多少？（2）如 BAC= ,求 cos 的最小值；C19、如图, ABCD是矩形,其4 个顶点在平面 的同一侧,且它们在平面 内的射影分别为A, B, D,直线 AB 与 CD不重合,（ 1）求证： ABC

19、D是平行四边形；（ 2）在怎样的条件下,ABCD是矩形？并证明你的结论；20、正三棱锥 VABC的底面边长为a,侧棱与底面所成的角等于 （ 4）,过底面一边作此棱锥的截面,当截面与底面所成二面角为何值时,截面面积最小？并求出最小值；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载参考答案（一）挑选题 1 、D 2 、A 3 、 C 4 、A 5 、B 6 、 B 7 、 A 8 、B 9 、 C 10 、 B 11 、B 12 、D （二）填空题273 15、（nn2,） 16、偶数 13 、2 14、 5 或（三）解答题 17 、（ 2）1 2（2） 18 、（ 1）d25a8 19 、（ 2）一边与 平行或在 内名师归纳总结 20 、23a2sin第 8 页,共 8 页4- - - - - - -