2022年三角函数最值问题的几种常见类型.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载求三角函数最值问题的几种常见类型1：yasinxb或yacosxb型的函数ab此类函数利用 sinx1或cosx1即可求解,明显ymaxab y min 例 1 求ysinx6cosx 的最大值与最小值解析 ysinx6cosx1sin2x6sin62 =1sin 2x6124ymax1111244ymin1 113244例. 在直角三角形中,两锐角为A 和 B,求sinAsinB的最大值；解：sinAsinBsinAsin2A sinAcosA1sin2A2由0A2,得02A,就当A4时,

2、sinAsinB有最大值1 ；22y=asinx+bcosx型的函数特点是含有正余弦函数,并且是一次式；解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数；应用课本中现成的公式即可：y=a22 b sinx+ ,其中tanb a 上的最小值为 _；例 1（20XX年全国,理 4）函数ysinx3cosx在区间 0 ,2 解析 ：ysinx3cosx=2（1sinx3cosx）223时,易知 y 的最小值 =2（sinxcos3cosxsin3）=2sin x3.由于x0 ,2,所以3x323,当x33,2为ymin2sin232cos3211 第 1 页,共 8 页 - - - -

3、- - - - - 2答案 所以应填“1” ；例 2 已知函数 fx=2cosxsinx+33 sin 2x+sinxcosx细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载1求函数 fx的最小正周期；2求 fx的最小值及取得最小值时相应的 x 的值；3如当 x,7时, fx的反函数为 f1x,求 f-11的值 . 12 12解：1fx=2cosxsinx+ 33 sin 2x+sinxcosx=2cosxsinxcos 3+cosxsin 33 sin

4、 2x+sinxcosx=2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin2x+ 3 fx的最小正周期 T=2当 2x+ 3=2k 2,即 x=k 512 kZ时, fx取得最小值 2. 3令 2sin2x+ 3=1,又 x2 , 72, 2x+ 33, 32,2x+ 3= 56,就x=4,故 f-11= 4. 3y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数；此类函数可先降次,再整理转化 y A sin x B 形式解决,例 求 y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值,并求出2 2解析 ：y=sinx 2sin x cos x 3 cosx2 2 2 s

5、inx+cosx 2sin x cos x 2 cosx1 sin 2 x 1 cos2 sin 2 x cos2 x 2y 取最小值时的 x 的集合；2 sin2x42csin 2x+cos 2x=1,使函数当sin2x41, 即 2x422 k,xk3kZ时8y min22,x xk3,kZ84y=asin 2x+bcosx+c型的函数特点是含有 sinx, cosx,并且其中一个是二次,处理方式是应用式只含有一种三角函数,再应用换元法,转化成形如yAt2Bt 1t1的二次函数来求解；例是否存在实数 a,使得函数 y=sin 2x+a cosx+5 a83 在闭区间 0,22上的最大值是细

6、心整理归纳 精选学习资料 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载. 1 2.1？如存在,求出对应的a 值；如不存在,试说明理由. 解:y12 cosxacosx5a3cosxa2a25 8a8224当0x2时,0cosx1.如a1 时 即 ,a2,就当cosx1 时,ymaxa5a3128211a202舍去,13如0a1, 即0a2,就当cosxa时,ymaxa25a22482a3或a40舍去.12舍去2如a0,

7、即a0,就当cosx0 时,ymax5a11a2825综合上述知,存在a3符合题设25y=asinxc型的函数bcosxd特点是一个分式,分子、分母分别会有正、余弦的一次式；几乎全部的分式型都可以通过分子,分母的化简,最终整理成这个形式,它的处理方式有多种,如利用万能公式换元后用判别式处理；例求函数 y=2 sin x 的最大值和最小值；2 cos x解法 1：原解析式即： sinx-ycosx=2-2y, 即 sinx+ = 2 2 y2,1 y |sinx+ |1, 2 2 y1,解出 y 的范畴即可；21 y解法 2：2 sin x 表示的是过点 2, 2与点 cosx, sinx的斜率

8、,而点 cosx, sinx是单位圆2 cos x上的点,观看图形可以得出在直线与圆相切时取极值；2解法 3：应用万能公式设 t=tg x 就 y= 2 t2 2 t 2,即 2-3yt 2-2t+2-y=0 2 3 t 1依据 0 解出 y 的最值即可；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例5 :求y23 cosx的值域精品资料欢迎下载sinx法一：由y23 cosx得 ysinx-3cosx2y

9、yk x2sinxy23sinx2ysinx2y3y21sinx112y31 由此解得1y1y2函数的值域为-1,1法二 ：由y23 cosx得ycosx0设点P sinx,cosx,Q2,03sinxsinx2可看作是单位圆上的动点P 与 Q连线的斜率,设直线的方程为即kxy2 k0,就圆心（ 0,0 ）到它的距离d2k11k2解得k 13或k231y133函数的值域为-1,1【附】：求y2sinx5的值域（反解法）sinx3法一ysinx3y2sinx5y2 sinx53y 又xRsinx153y13y7y224 第 4 页,共 8 页 函数y2sinx5的值域3 7 ,2 4sinx3法

10、二y2 sinx312sin13sinx3x2sinx341sin1314x232sin1372x4细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载利用正（余）弦函数的有界性,转化为以函数 正确方法；例. 求函数ysinx1的最大值和最小值；cosx2解：由已知得ycosx2ysinx1,y 为主元的不等式,是解决这类问题的即sinxycosx12y,y21sinx12y,所以sinx12yy211,因|sinx|1

11、,1y22y1即3y24y0,解得0y4 3,故ymax4,ymin036y=sinxcos2x型的函数；它的特点是关于 sinx,cosx 的三次式（ cos2x 是 cosx 的二次式）；由于高中数学不涉 及三次函数的最值问题,故几乎全部的三次式的最值问题（不只是在三角）都用均值不等 式来解（没有其它的方法）；但需要留意是否符合应用的条件（既然题目让你求,多半是 符合使用条件的,但做题不能少这一步）,及等号是否能取得；例、如右图,在半径为R 的圆桌的正中心上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角 的正弦成正比, 角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比,即

12、I=ksinr 2,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,那么怎样挑选电灯悬挂的高度 h,才能使桌子边缘处最亮？解：R=rcos ,由此得：1cos, 02,232RrRIksinksin2 cosksincos2r2R2R22I2k22sin2 1sin21sin2k2R2R 23由此得Ik23,等号在sin3时成立,此时hRtanR2932注：此题的角和函数很难统一,并且仍会显现次数太高的问题；细心整理归纳 精选学习资料 7含有“sinxcos ,sinxcos x 的三角函数的最值问题 第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

13、 - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -此类函数的常用解决方法是精品资料cosx欢迎下载2,将 sin cosx 转化为 t 的函数关系sinxt tt212sinxcosx,2t2,并应用 sinx+cosx 2=1+2sinxcosx 进行转化最终划归为二次函数的最值问题；解此类型最值问题通常令例 求 y=2sinxcosx+sinx+cosx 的最大值；解：令 sinx+cosx=t,- 2 t2 ,就 1+2sinxcosx=t 2,所以 2sinxcosx=t 2-1, 所以 y=t 2-1+t=t+ 1 2- 5 .

14、2 4依据二次函数的图象,解出 y 的最大值是 1+ 2 ；例 6：已知 0 a 2, 求函数 y sin x a cos x a 的最值；解析 : y sin x a cos x a sin x cos x a sin x cos x a 22设 sin x cos x t t 2 sin cos x t 122y t 1 at a 2 1 t a 2a 212 22t a 时 , y min a 12t 2 时 , y max a 22 a 128：利用函数单调性求最值例 7 .求y1sinx3xsinx的最值及对应的 x 的集合2sin12 第 6 页,共 8 页 2sin解析 ：将分子

15、绽开转化为yxa的形式来解决xy1sinx3xsinxsinxx221sinx2sinsin2x令 sinx2t 就yftt1且1t3,设1t 1t23t细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载f t 1 f t 2 t 1 1t 2 1t 1 t 2 1 t t 1 2 0t 1 t 2 t t 1 2f t 在t 1,3 上单调递增t 1 时, f t m i n 0 此时 , s i n x 1 , x

16、 x | k 22 k Z ,t 3 时, f t m a x 83 , 此时 , s i n x 1 , x x | k 22 k Z ,9、形如 y c sin x d 的形式a sin x b例 4. 求函数 y 3 2 sin x 的最大值和最小值；sin x 2解：y 3 2 sin x 2 sin x 3 2 sin x 2 1 1 2sin x 2 sin x 2 sin x 2 sin x 2由 1 sin x 1,得 3 sin x 2 1,1 1 1,sin x 2 31 11,即 5 1 2 13 sin x 2 3 sin x 25y max 1,y min3此题是利用

17、了分别分母的方法求解的；例 1：求函数 y sin x 1 的值域；2 sin x解 ： 由 y s i n x 1 变 形 为 y 1 s i n y 2, 知 y 1, 就 有 sin x 2 y 1,2 s i n x y 1| sin x | | 2 y 1| 1 | 2 y 1| 21 2 y 1 2 y 1 2 2 y 0,就此函数y 1 y 1 3的值域是 y 2 , 03利用函数的有界性求解10、形如 y sin x a 的形式sin x2例 5. 求 y sin x 0 x 的最小值；sin x解：设 u sin x,就 y u 2 0 u 1 ；u从图 2 中可以看到 y

18、u 2 在区间 , 上是减函数（也可以利用函数的单调性定义来u证明这一结论）；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当u1时,ymin123精品资料欢迎下载1点评如由sinx2x2sinx2x22,可得最小值22是错误的；sinsin这是由于当等号成立时,sinx2x,ysinx1x0x就可以用不等式sin即sin x21是不行能的；如把此题改为sin法求解了,同学们不妨琢磨一下；条件最值问题；例 1：已知3sin22sin22sin,求ysin2sin2的取值范畴； 第 8 页,共 8 页 解： 3sin22sin22sinsin,sin23sin220sin213sin2sin0sin22解得03sin23sin12ysin2sin21sin2sin1sin1 21 2 220sin2sin =0 时,2 3时,ymax4ymin0；sin390sin2sin24；9细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -