2022年三角函数的积化和差与和差化积.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载三角函数的积化和差与和差化积一、教学目的： 1. 明白三角函数的积化和差与和差化积公式的推导过程,明白此组公式与两 角和差的正弦、余弦公式的联系,从而培育规律推理才能； 2. 把握三角函数的积化和差与和差化积公式,能正确运用此公式进行简洁的 三角函数式的化简、求值和恒等式的证明；二、重点、难点：把握三角函数的积化和差与和差化积公式,能正确运用此公式进行简洁的三 角函数式的化简、求值和恒等式的证明；三、新课讲解：（一）三角函数的积化和差与和差化积公式 1 、公式的推导sinsincoscoss

2、in,S1sinsincoscossin, Scoscoscossinsin, Ccoscoscossinsin, CSS,SSCC,CC,得sinsin2sincossinsin2cos sincoscos2coscoscoscos2sinsin即 sincos1sinsin2cos sin1 sin 21 cos 21 cos 2sin2cos coscos3sinsincos4公式叫做积化和差公式；其特点为：同名函数之积化为两角和与差余弦的和（差）的一半,异名函数 之积化为两角和与差正弦的和（差）的一半,等式左边为单角 、 ,等式右 边为它们的和差角；在积化和差的公式中,假如“ 从右往左

3、” 看,实质上就是和差化积；为了用细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载, 就起 来 方 便 , 在 积 化 和 差 的 公 式 中 , 如 果 令2,2；中,就有5把这些值代入积化和差的公式sin2cos2221sin22sin21sinsincos22sinsin2sin2同样可得,sinsin2cos2sin26coscos2cos2cos27coscos2sin2sin28公式

4、叫做和差化积公式；其特点为：同名函数的和或差才可化积；余弦的和或差化为同名函数之积；正弦的和或差化为异名函数之积；等式左边为单角 与,等式右边为2与2的形式；牢记两组公式的区分与联系,才能正确使用之； 2 、明确公式是由两角和与差的三角函数公式推导而得,进一步明确三角函数 中公式虽然多,但都不是孤立的,另外,弄清公式的来源以及公式的内在联系,才能更好地记忆和使用它们；3、典例分析 例 1. 把以下各式化为和差的形式；（1） sin12cos 512y（2） 2cos35osin55oycosx（3） cosx分析：利用积化和差公式；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

5、 - - - - - - 第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载点评：（1）牢记积化和差公式,才能正确使用；（2）如求 sin8sin3 8的值,可不用积化和差公式, 用二倍角公式即可求值,即sin8sin3sin8cos81sin42824例 2. 把以下各式化成积的形式；（1） cosx 1（2） sin x cos x2分析：只要将以上两题稍作变形,如将（1）中1 换成 cos,（2）中 cosx2 3看作 sin 90 ox 即可直接应用公式进行化积；点评：（1

6、）只有同名函数的和（或差）才能化为积的形式,因此题（1）中12化为 cos3,（2）中 cosx 化为 sin 90ox ；a 2b2 sinx也能达到和差化积（2）对于型如 asinxbcos ,可化为的形式之目的；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载例 3. 求值：o（1）sin 7o cos 7ocos 15osin8osin20ocos80osin15osin8o（2） s

7、in220cos 280o3分析：（1）中留意 7 与 15 和 8 的关系；（2）中最常见的想法是降幂扩角及积化和差的应用,但对偶式的应用可能使问题变得更简洁；点评：三角函数变换的敏捷性更多地表达在拆角的敏捷性上,题（1）对这 一点呈现地淋漓尽致； （2）中法 1 属常规方法,只要有扎实的基本功就可以正确完成,而法2 很奇妙的运用了对偶式使解答变得简洁且浪漫；这种方法也可 第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - o 以求型如 cos 20o cos 40cos 80 o 的求值题,试一下是不是很奇妙？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -