矩阵理论与方法的应用精选PPT.ppt
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1、关于矩阵理论与方法的应用1第1页,讲稿共45张,创作于星期二2 在经济活动中分析投入多少财力、物力、在经济活动中分析投入多少财力、物力、人力,产出多少社会财富是衡量经济效益高人力,产出多少社会财富是衡量经济效益高低的主要标志。投入产出技术正是研究一个低的主要标志。投入产出技术正是研究一个经济系统各部门间的经济系统各部门间的“投入”与与“产出”关系关系的的数学模型,该方法最早由美国著名的经济学数学模型,该方法最早由美国著名的经济学家家瓦.列昂捷夫(W.Leontief)提出,是目前)提出,是目前比较成熟的经济分析方法。比较成熟的经济分析方法。第2页,讲稿共45张,创作于星期二3一、投入产出数学模
2、型的概念一、投入产出数学模型的概念投入从事一项经济活动的消耗;从事一项经济活动的消耗;产出从事经济活动的结果;从事经济活动的结果;投入产出数学模型通过编制投入产出表,运通过编制投入产出表,运 用线性代数工具建立数学模型,从而揭示用线性代数工具建立数学模型,从而揭示 国民经济各部门、再生产各环节之间的内国民经济各部门、再生产各环节之间的内 在联系,并据此进行经济分析、预测和安在联系,并据此进行经济分析、预测和安 排预算计划。按计量单位不同,该模型可排预算计划。按计量单位不同,该模型可 分为价值型和实物型。分为价值型和实物型。第3页,讲稿共45张,创作于星期二4 流量 产出投入消耗部门最终需求总产
3、出消费 累计 出口合计生产部门新创价值工 资纯收入合 计总投入表表7.1:投入产出表:投入产出表第4页,讲稿共45张,创作于星期二5 投入产出表投入产出表描述了各经济部门在某个时期描述了各经济部门在某个时期的投入产出情况。它的的投入产出情况。它的行表示某部门的表示某部门的产出产出;列表示某部门的表示某部门的投入投入。如。如表表7.1中第一行中第一行x1表表示部门示部门1的总产出水平,的总产出水平,x11为本部门的使用为本部门的使用量,量,(j=1,2,n)为部门为部门1提供给部门提供给部门j的使用的使用量,各部门的供给量,各部门的供给最终需求最终需求(包括居民消耗、(包括居民消耗、政府使用、出
4、口和社会储备等)为政府使用、出口和社会储备等)为(j=1,2,n)。这几个方面投入的总和代表了这这几个方面投入的总和代表了这个时期的个时期的总产出水平总产出水平。第5页,讲稿共45张,创作于星期二6投入产出的基本平衡关系投入产出的基本平衡关系从左到右:从左到右:中间需求最终需求总产出中间需求最终需求总产出 (7-9)从上到下:从上到下:中间消耗净产值总投入中间消耗净产值总投入 (7-10)由此得由此得产出平衡方程组(也称也称分配平衡方程组):(7-11)(7-12)第6页,讲稿共45张,创作于星期二7需求平衡方程组:(7-13)投入平衡方程组(也称也称消耗平衡方程组):(7-15)(7-14)
5、第7页,讲稿共45张,创作于星期二8由由(7-11)和和(7-14),可得可得(7-16)这表明就整个国民经济来讲,用于非生这表明就整个国民经济来讲,用于非生产的消费、积累、储备和出口等方面产品的产的消费、积累、储备和出口等方面产品的总价值总价值与整个国民经济与整个国民经济净产值的总和净产值的总和相等。相等。第8页,讲稿共45张,创作于星期二9 二、直接消耗系数二、直接消耗系数定义定义7.2.1 第第j部门生产单位价值所消耗第部门生产单位价值所消耗第i部部 门的价值称为第门的价值称为第j部门对第部门对第i部门的部门的直接消耗直接消耗 系数系数,记作,记作 。由定义得由定义得(7-17)把投入产
6、出表中的各个中间需求把投入产出表中的各个中间需求 换成相应换成相应的的 后得到的数表称为后得到的数表称为直接消耗系数表直接消耗系数表,并,并称称n阶矩阵阶矩阵 为为直接消耗系数矩阵直接消耗系数矩阵。第9页,讲稿共45张,创作于星期二10例例1 已知某经济系统在一个生产周期内投入已知某经济系统在一个生产周期内投入产出情况如产出情况如表表7.2,试求直接消耗系数矩阵。,试求直接消耗系数矩阵。表表7.2产出投入中间消耗最终需求总产出1 2 3中间投入123100 25 30 80 50 30 40 25 60400250300净产值总投入400 250 300第10页,讲稿共45张,创作于星期二11
7、解 由直接消耗系数的定义由直接消耗系数的定义 ,得直接,得直接 消耗系数消耗系数矩阵直接消耗系数直接消耗系数 具有下面重具有下面重要性质:要性质:性质性质7.2.1 性质性质7.2.2 第11页,讲稿共45张,创作于星期二12由直接消耗系数的定义由直接消耗系数的定义 ,代入,代入(7-17),得得(7-18)令令 ,(7-18)式可表示为式可表示为 ,或,或(7-19)称矩阵称矩阵E-A为为列昂捷夫矩阵列昂捷夫矩阵。第12页,讲稿共45张,创作于星期二13类似地把类似地把 代入平衡方程代入平衡方程(7-14)得到得到(7-20)写成矩阵形式为写成矩阵形式为(7-21)其中其中第13页,讲稿共4
8、5张,创作于星期二14定理定理7.2.1 列昂捷夫矩阵列昂捷夫矩阵E-A是可逆的。是可逆的。如果各部门的最终需求如果各部门的最终需求已知,则由定理已知,则由定理7.2.1知,方程知,方程(7-19)存在惟一存在惟一解解 。例例2 设某工厂有三个车间,在某一个生产周设某工厂有三个车间,在某一个生产周期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求如如表表7.3,求各车间的总产值。,求各车间的总产值。第14页,讲稿共45张,创作于星期二15表表7.3 车间 直耗系数车间 最终需求0.25 0.1 0.10.2 0.2 0.10.1 0.1 0.2235125210解第1
9、5页,讲稿共45张,创作于星期二16即三个车间的总产值分别为即三个车间的总产值分别为400,300,350。第16页,讲稿共45张,创作于星期二17定理定理7.2.2 方程方程(E-D)X=Z的系数矩阵的系数矩阵E-D是可逆是可逆的。的。证明 因因由由性质性质7.2.2知,知,故,故所以所以E-D可逆。可逆。第17页,讲稿共45张,创作于星期二18三、完全消耗系数 直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗,直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗,不能反映各部门间的间接消耗,为此我们给出不能反映各部门间的间接消耗,为此我们给出如下定义。如下定义。定义定义7.2.2 第第j部门生产单位价值量直接和间部门
10、生产单位价值量直接和间 接消耗的第接消耗的第i部门的价值量总和,称为第部门的价值量总和,称为第j部部 门对第门对第i部门的部门的完全消耗系数完全消耗系数,记作,记作 。第18页,讲稿共45张,创作于星期二19由由 构成的构成的n阶方阵阶方阵 称为各部门间的称为各部门间的完全消耗系数矩阵完全消耗系数矩阵。定理定理7.2.3 第第j部门对第部门对第i部门的完全消耗系数部门的完全消耗系数 满足方程满足方程定理定理7.2.4 设设n个个部门的直接消耗系数矩阵为部门的直接消耗系数矩阵为 A,完全消耗系数矩阵为,完全消耗系数矩阵为B,则有,则有第19页,讲稿共45张,创作于星期二20证明 由由定理定理7.
11、2.3知,知,将将 个等式用矩阵表示为个等式用矩阵表示为由由定理定理7.2.1知知(E-A)可逆可逆,故,故第20页,讲稿共45张,创作于星期二21例例3 假设某公司三个生产部门间的报告价值假设某公司三个生产部门间的报告价值 型投入产出表如型投入产出表如表表7.4,产出投入中间消耗最终需求总产出1 2 3中间投入1231500 0 600 0 610 600 250 1525 36004001840625250030506000表表7.4求各部门间的完全消耗系数矩阵。求各部门间的完全消耗系数矩阵。第21页,讲稿共45张,创作于星期二22解 依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中依次用各部门的总产
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