概率论与数据分析第六章.ppt

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1、概率论与数据分析第六章现在学习的是第1页，共33页数理统计研究的问题数理统计研究的问题:数理统计的基本研究方法数理统计的基本研究方法统统 计推断计推断统统 计分析计分析参参 数估计数估计假假 设检验设检验 方差分析方差分析 回归分析回归分析现在学习的是第2页，共33页 本章主要内容是统计推断，其中参数估计是统计本章主要内容是统计推断，其中参数估计是统计推断的主要内容之一推断的主要内容之一.参数估计，就是根据样本观测值参数估计，就是根据样本观测值来估计总体分布中的未知参数或数字特征的统计推断方来估计总体分布中的未知参数或数字特征的统计推断方法法.对总体的某个未知参数的估计方式有两种，一种是参对总

2、体的某个未知参数的估计方式有两种，一种是参数的值估计，另一种是参数的范围估计，也即数的值估计，另一种是参数的范围估计，也即点估计和点估计和区间估计，统称为参数估计区间估计，统称为参数估计.本章介绍总体、随机样本及统计量的基本概念，本章介绍总体、随机样本及统计量的基本概念，讨论参数估计的点估计和区间估计方法以及估计的讨论参数估计的点估计和区间估计方法以及估计的优良性优良性.第一节第一节 数理统计的基本概念数理统计的基本概念第二节第二节 点估计点估计(point estimate)第三节第三节 区间估计区间估计(interval estimate)现在学习的是第3页，共33页1 1 数理统计的基本

3、概念数理统计的基本概念一、总体和样本一、总体和样本二、统计量及其分布二、统计量及其分布三、正态总体的抽样分布三、正态总体的抽样分布现在学习的是第4页，共33页 一一个统计问题总有它明确的研究对象个统计问题总有它明确的研究对象.1.1.总总 体体研究某批灯泡的质量研究某批灯泡的质量研究对象的全体称为研究对象的全体称为总体总体(母母 体体)，总体中每个成员称为总体中每个成员称为个体个体.总体总体一、总体和样本一、总体和样本现在学习的是第5页，共33页 然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项心其每个个体的一项(或几项或几项)数量指标和该数量指数

4、量指标和该数量指标在总体中的分布情况标在总体中的分布情况.这时，每个个体具有的数这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体量指标的全体就是总体.某批某批灯泡的寿命灯泡的寿命该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量所有国产轿车每公里耗所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体油量的全体就是总体现在学习的是第6页，共33页 由于每个个体的出现是随机的，即相应的数由于每个个体的出现是随机的，即相应的数量指标的出现带有随机性量指标的出现带有随机性.从而可把这种数量指从而可把这种数量指标看作一个随机变量，我们用一个随机变量或标看作一个随机变量，我们用一

5、个随机变量或其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号其分布来描述总体。为此常用随机变量的符号或分布的符号表示总体或分布的符号表示总体.通常，我们用随机变量通常，我们用随机变量X,Y,ZX,Y,Z等表示等表示总体。总体。当我们呢说到总体，就是一个具有确定概当我们呢说到总体，就是一个具有确定概率分布的随机变量率分布的随机变量.现在学习的是第7页，共33页 如如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是就是寿命寿命，那么，此总体就可以用随机变量，那么，此总体就可以用随机变量X表表示，或用其分布函数示，或用其分布函数F(x)表示表示.总体总体寿命寿命X可用一概可用一

6、概率分布来刻划率分布来刻划F(x)现在学习的是第8页，共33页 实例实例 研究某灯泡厂研究某灯泡厂1000只同一型号灯泡只同一型号灯泡的寿命，这的寿命，这1000只灯泡的寿命就是总体，且只灯泡的寿命就是总体，且为为有限总体有限总体，而每一只灯泡的寿命就是个体，而每一只灯泡的寿命就是个体.如果研究该工厂所有灯泡的寿命，那么所如果研究该工厂所有灯泡的寿命，那么所有灯泡的寿命组成的总体为无限总体。有灯泡的寿命组成的总体为无限总体。当有限总体包含的个体的总数很大时，当有限总体包含的个体的总数很大时，可近似地将它看成是无限总体。可近似地将它看成是无限总体。有限总体和无限总体有限总体和无限总体现在学习的是

7、第9页，共33页3.样本样本:设从总体设从总体X X中随机抽取或观察中随机抽取或观察n个个体个个体X1 1,X2 2Xn n,所得的所得的这一组个体这一组个体(X1 1,X2 2Xn n)称为总体称为总体X的一个样本的一个样本.其中个体的数其中个体的数目目n称为称为样本容量样本容量.注意注意：在抽取或观察每个个体之前，在抽取或观察每个个体之前，X1 1,X2 2Xn n都是未都是未知的，因而它们都是随机变量，知的，因而它们都是随机变量，(X(X1 1,X,X2 2X Xn n)为为n n维维随随机变量机变量当n n次抽取或观察一经完成，我们就得到一组实数次抽取或观察一经完成，我们就得到一组实数

8、（x1 1,x x2 2,xn n),),称其为称其为样本观察值或样本值样本观察值或样本值2.2.抽样抽样:为了推断总体的性态而从总体中抽取部分个体的为了推断总体的性态而从总体中抽取部分个体的 过程称为抽样过程称为抽样.现在学习的是第10页，共33页设设(X X1 1,X,X2 2X Xn n)是是X X的样本的样本,则由则由X X1 1,X,X2 2X Xn n构造出来的、构造出来的、不包含任何未知参数的函数不包含任何未知参数的函数:g g(X X1 1,X,X2 2X Xn n)称为称为统计量统计量.注意注意:统计量是独立同分布随机变量统计量是独立同分布随机变量X1,X2Xn的函的函数数,

9、因而因而它也是一个随机变量它也是一个随机变量.例例 设(X X1 1,X,X2 2)是从是从总体体N(N(,2 2)中抽取的一个容量中抽取的一个容量为2 2的的 样本本,其中其中 为未知参数未知参数,则X X1 1/,1 1、统计量定义、统计量定义:二、统计量二、统计量(statistic)现在学习的是第11页，共33页2.2.几种重要的统计量几种重要的统计量设设（X1，X2，Xn）为总体为总体X的样本，则的样本，则样本方差样本方差；样本标准差样本标准差样本样本k阶阶(原点原点)矩矩样本样本k阶中心矩阶中心矩样本均值样本均值；现在学习的是第12页，共33页当当(X1,X2,Xn)的观察值为的观

10、察值为(x1,x2,xn)时时,上述统计上述统计量的观察值分别为量的观察值分别为:样本均值样本均值；样本方差样本方差；样本标准差样本标准差样本样本k阶阶(原点原点)矩矩样本样本k阶中心矩阶中心矩现在学习的是第13页，共33页解解 设设25瓶洗净剂灌装量为瓶洗净剂灌装量为，它们是来自均值为，它们是来自均值为方差为方差为1的总体的样本，现在需要计算的是事件的总体的样本，现在需要计算的是事件的概率，根据性质的概率，根据性质(2)有有对于装对于装25瓶的一箱而言，平均每瓶灌装量与标定值之差不超过瓶的一箱而言，平均每瓶灌装量与标定值之差不超过0.3毫升的概率近似为毫升的概率近似为0.8664.例例1 1

11、某公司用机器向瓶子里灌装液体洗净剂，规定每瓶装某公司用机器向瓶子里灌装液体洗净剂，规定每瓶装毫升，但实际灌装量有一定的波动，假定灌装量服从正态分布毫升，但实际灌装量有一定的波动，假定灌装量服从正态分布,方差方差瓶洗净剂的平均每瓶灌装量与标定值瓶洗净剂的平均每瓶灌装量与标定值的概率是多少？的概率是多少？=1，如果每箱装，如果每箱装25瓶这样的洗净剂，试问这瓶这样的洗净剂，试问这相差不超过相差不超过0.3毫升毫升现在学习的是第14页，共33页设总体设总体XN(,2),X1,X2,Xn为取自该总体为取自该总体X的样本的样本.几种常用统计量及几种常用统计量及统计四大分布统计四大分布 标准正态分布及其上

12、侧标准正态分布及其上侧分位数分位数若若P(Zz)=,则称则称z为标准正态分布为标准正态分布的的上侧上侧分位数分位数.zX(x)其中其中 定义定义 设设XN(,2),则则 N(0,1),对任意对任意01,三、正态总体下的常用统计量及其分布三、正态总体下的常用统计量及其分布现在学习的是第15页，共33页设设X XN(N(,2 2),(X),(X1 1,X,X2 2X Xn n)是它的一个样本是它的一个样本,那么有那么有统计量的分布统计量的分布(随机变量函数的分布随机变量函数的分布)又称抽样又称抽样 分布分布证:由概率论的知识知由概率论的知识知,服从正态分布服从正态分布.样本均值样本均值 的分布的分

13、布现在学习的是第16页，共33页 2 2分布（第二大分布）分布（第二大分布）分布（第二大分布）分布（第二大分布）:设 ,X1,X2,Xn是来自总体的一个样是来自总体的一个样本本,则称统计量则称统计量:服从自由度为服从自由度为n的的 分布分布,记为记为 2 2 2(n)(n)的密度曲线的密度曲线Xf(x)n=1n=4n=10随着随着n n的增大的增大,密度曲线逐渐趋于平缓密度曲线逐渐趋于平缓现在学习的是第17页，共33页 2 2分布的性质分布的性质分布的性质分布的性质:设设Y 2 2(n),则则 E(Y)=n,D(Y)=2n设设设设Y Y1 1 2 2(n(n1 1),),Y2 2(n(n2 2

14、),),且且且且Y Y1 1,Y2 2相互独立相互独立,则则 Y Y1 1+Y+Y2 2 2 2(n(n1 1+n n2 2),(可加性可加性可加性可加性)证于是于是 根据定义根据定义其中其中E(X4)用定义求用定义求,求积分求积分,用分部积分的方法求得用分部积分的方法求得现在学习的是第18页，共33页 2分布的上分布的上 分位数分位数:的点的点 为为 2(n)分布的上侧分布的上侧 分位数分位数.,对于给定的正数对于给定的正数(0 30时时,两者就非常接近了两者就非常接近了.3)t分布的上侧分布的上侧 分位数分位数t (n):对于给定的对于给定的(0 45n45时时,可利用可利用N(0,1)N

15、(0,1)近似近似,即即 t t (n)n)Z Z,t1-(n)=-t(n)例例现在学习的是第23页，共33页F F分布（第四大分布）分布（第四大分布）分布（第四大分布）分布（第四大分布）设设U 2 2(n(n1 1),),VV 2(n(n2 2),),且且且且U U与与与与V相互独立相互独立,则称随机变量则称随机变量服从自由度为服从自由度为(n1,n2)的的F分布分布.其概率密度函数为其概率密度函数为.根据根据F分布的定义有分布的定义有现在学习的是第24页，共33页 n1=10,n2=25n1=10,n2=5F分布的上侧分布的上侧 分位数分位数:可查附表可查附表6,如如F 0.01(10,1

16、5)=(0 1)的点的点F(n1,n2)为为F分布的上侧分布的上侧 分位数分位数.3.8.现在学习的是第25页，共33页F分布的上分布的上 分位点有下列性分位点有下列性质:证若若F F(n1,n2),按定义有按定义有于是于是再由再由，得从而从而例统计三大分布的定义、统计三大分布的定义、基本性质在后面的学基本性质在后面的学习中经常用到，要牢习中经常用到，要牢记哦！记哦！现在学习的是第26页，共33页1、若若XN（，2），），(X1,X2Xn)为其样本，为其样本，与与S2相互独立相互独立，四、几个重要结论四、几个重要结论分别为样本均值与样本方差，则有分别为样本均值与样本方差，则有的证明从略。的证明

17、从略。的证明如下：的证明如下：现在学习的是第27页，共33页证明证明：从而由从而由t分布的定义得分布的定义得现在学习的是第28页，共33页例例2 在研究设计导弹发射装置时，弹着点偏离目标中心的距离服在研究设计导弹发射装置时，弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布从正态分布 ，这里，这里 =100米米2，现在进行了，现在进行了25次发射试次发射试验，验，表示这表示这25次试验中弹着点偏离目标中心距离的样本方差，次试验中弹着点偏离目标中心距离的样本方差，试求试求 超过超过50米米2的概率的概率.解解 根据上述重要结论也即本定理根据上述重要结论也即本定理6.16.1知：知：于是于是超过超过50米米2的

18、概率为的概率为0.975现在学习的是第29页，共33页、设总体设总体X X N N（1 1，2 2），），Y Y N N（2 2，2 2）而而 (X X1 1,X,X2 2X Xn1n1)和和(Y Y1 1,Y,Y2 2Y Yn2n2)分别是取自总体分别是取自总体X X和和Y Y的的 样本，样本，X X与与Y Y相互独立相互独立,则有则有现在学习的是第30页，共33页、设总体设总体X X N N（1 1，2 21 1），），Y Y N N（2 2，2 22 2）而而(X X1 1,X,X2 2X Xn1n1)和和(Y Y1 1,Y,Y2 2Y Yn2n2)分别是取自总体分别是取自总体X X和和

19、Y Y的的样本，样本，S S1 12,2,S S2 22 2分别表示它们的样本方差分别表示它们的样本方差,且且X X与与Y Y相互相互独立独立,则则现在学习的是第31页，共33页例例3 设设是来自正态总体是来自正态总体的样本，问统计量的样本，问统计量服从什么分布？服从什么分布？解解 因为因为 ，故，故，由，由分布的定义知：分布的定义知：，而而所以所以 现在学习的是第32页，共33页例例4 设总体设总体X服从正态分布服从正态分布N(,2),从中抽取容量为从中抽取容量为16的的样本样本,试在试在:1)1)已知已知 2 2=25,2)=25,2)2 2未知未知,但已知样本方差但已知样本方差S S2 2=20.8=20.8的情况下的情况下,求样本均值求样本均值 与总体均值与总体均值 之差的绝对值小于之差的绝对值小于2 2的概率的概率.解解:1)由统计量由统计量现在学习的是第33页，共33页