矩阵第一章线性空间与线性变换精.ppt

《矩阵第一章线性空间与线性变换精.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵第一章线性空间与线性变换精.ppt（101页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、矩阵第一章线性空间与线性变换第1页，本讲稿共101页1.11.1线性空间线性空间定义定义1.1.11.1.1第2页，本讲稿共101页加法规则：加法规则：第3页，本讲稿共101页数乘规则：数乘规则：第4页，本讲稿共101页两条相容性规则：两条相容性规则：第5页，本讲稿共101页第6页，本讲稿共101页第7页，本讲稿共101页第8页，本讲稿共101页定理定理1.1.11.1.1第9页，本讲稿共101页1.1.2 1.1.2 基、坐标基、坐标定义定义1.1.21.1.2第10页，本讲稿共101页0)t2t2(k)t3t2(kt1k)t(Pk)t(Pk)t(Pk2322111=-+-+）（解：解：第1

2、1页，本讲稿共101页 于是于是k k有非平凡解，是线性相有非平凡解，是线性相关向量组。关向量组。第12页，本讲稿共101页。的维数，记为的维数，记为称为线性空间称为线性空间的基向量，的基向量，称为称为（底），（底），称是的一个基称是的一个基n)Vdim(n,n21=a aa aa aL定义定义1.1.31.1.3第13页，本讲稿共101页注：注：线性空间中的基不是唯一的。线性空间中的基不是唯一的。如如和和第14页，本讲稿共101页定义定义1.1.41.1.4第15页，本讲稿共101页定理定理1.1.21.1.2第16页，本讲稿共101页定义定义1.1.51.1.5第17页，本讲稿共101页第

3、18页，本讲稿共101页1.1.3 1.1.3 基变换与坐标变换基变换与坐标变换(1)(1)基变换基变换第19页，本讲稿共101页上式用矩阵可以写成上式用矩阵可以写成 第20页，本讲稿共101页(1.1.9)(1.1.9)式称为式称为 中两个基的变换公式。中两个基的变换公式。矩阵矩阵 p p 称为从称为从 s s 到到 s*s*的过渡矩阵，的过渡矩阵，且且 第21页，本讲稿共101页（2)2)向量的坐标变换向量的坐标变换定理定理1.1.31.1.3 设向量设向量 在基在基 下下的坐标是的坐标是 ;在基在基 下下的坐标是的坐标是 ，；假设从；假设从 到到 的基满足关系式的基满足关系式(1.1.1

4、0)(1.1.10)，那么坐标，那么坐标 满足关系式满足关系式 (1.1.11)(1.1.12)即即第22页，本讲稿共101页其中其中第23页，本讲稿共101页第24页，本讲稿共101页第25页，本讲稿共101页1.2.11.2.1线性子空间线性子空间定义定义1.1.21.1.2 设设 是线性空间是线性空间 的非空子集，如果的非空子集，如果 对对 中所定义的加法和数乘两种运算满足：中所定义的加法和数乘两种运算满足：如果如果 ，则，则 ；如果如果 ，则，则 ，则称则称 是是 的线性空间的子空间。的线性空间的子空间。1.2 1.2 线性空间的子空间线性空间的子空间第26页，本讲稿共101页易证，线

5、性子空间易证，线性子空间 也是线性空间。也是线性空间。和和 叫做线性空间叫做线性空间 的两个平凡子空间，其的两个平凡子空间，其它子空间叫做非平凡子空间。它子空间叫做非平凡子空间。第27页，本讲稿共101页图1.2.1中 是 的两个线性子空间，而在图1.2.2中由于直线 和平面 不含原点所以不能形成的子空间。图1.2.1 第28页，本讲稿共101页图1.2.2 第29页，本讲稿共101页见下面动画见下面动画第30页，本讲稿共101页 零子空间维数规定为零。而对于零子空间维数规定为零。而对于 的其它的的其它的子空间，维数比原空间的维数小，即子空间，维数比原空间的维数小，即 第31页，本讲稿共101

6、页下面讨论子空间的生成问题下面讨论子空间的生成问题设设 是数域是数域 上上 中的一个向量中的一个向量组，在组，在 中任取中任取m m个数个数 ，做，做S S中向量中向量的线性组合的线性组合显然显然 ，这样，这样 全体的集合表示成全体的集合表示成第32页，本讲稿共101页）（）（生成的子空间，记为生成的子空间，记为为由中的向量为由中的向量称称m21mm2211m21m21,spankkk,SWa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aLLLL+=第33页，本讲稿共101页图图1.2.31.2.3中中,表示表示 的几的几个子空间。其中个子空间。其中 是是 的一个基。三

7、个子空的一个基。三个子空间分别可以写成间分别可以写成第34页，本讲稿共101页子空间子空间 也可以写成：也可以写成：也可以写成以上类似形式。也可以写成以上类似形式。第35页，本讲稿共101页像空间和零空间像空间和零空间第36页，本讲稿共101页像空间和零空间像空间和零空间第37页，本讲稿共101页定理定理1.2.11.2.1 设设 是数域是数域 上线性空间上线性空间 的一个的一个 维子空间，维子空间，是是 的基，则的基，则 的向量一定可以扩充的向量一定可以扩充为为 的一个基。的一个基。第38页，本讲稿共101页定理定理1.2.21.2.2 设设 和和 是线性空间是线性空间 的两个子空间，则它们

8、的交的两个子空间，则它们的交 是是 的子空间，称为的子空间，称为 和和 的交空的交空间间.第39页，本讲稿共101页定理定理1.2.31.2.3 设设 和和 是线性空间是线性空间 的两个的两个子空间，则它们的和子空间，则它们的和是是 的子空间，称为的子空间，称为 和和 的和空间。的和空间。第40页，本讲稿共101页第41页，本讲稿共101页第42页，本讲稿共101页第43页，本讲稿共101页定理定理1.2.41.2.4 （维数公式）设（维数公式）设 和和 是的是的两个线性子空间，则两个线性子空间，则 第44页，本讲稿共101页推论推论1 1 如果如果 维线性空间的两个子空间维线性空间的两个子空

9、间 和和 的和空间维数小于的和空间维数小于 和和 维数之维数之和，那么它们的交空间一定含有非零向量，和，那么它们的交空间一定含有非零向量，即即第45页，本讲稿共101页定义定义1.2.21.2.2 如果如果 中任一向量只能中任一向量只能唯一的表示成子空间唯一的表示成子空间 的一个向量和子的一个向量和子空间空间 中的一个向量的和，则称中的一个向量的和，则称 是是 的直和，记为的直和，记为 （或）（或）第46页，本讲稿共101页定理定理1.2.51.2.5 两个子空间的和是直和两个子空间的和是直和的充要条件是：的充要条件是：第47页，本讲稿共101页推论推论 设设 是的是的 两个子空间，则两个子空

10、间，则 的充要条件是：的充要条件是：推论推论2 2可以作为定义可以作为定义1.2.21.2.2的等价定义。的等价定义。第48页，本讲稿共101页推论推论3 3 如果如果 是的是的 基；基；是是 的基的基,是直和是直和,那么那么 是是 的基的基.第49页，本讲稿共101页1.3.1 1.3.1 线性变换线性变换 定义定义从线性空间到线性空间的映射叫做变换从线性空间到线性空间的映射叫做变换 先看一个例子先看一个例子 1.3 1.3 线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示第50页，本讲稿共101页第51页，本讲稿共101页注注:不满足不满足(1)(1)，（，（2 2）的变换不是线性变换的变换不是线

11、性变换 定义定义1.3.11.3.1 设设 和和 是两个线性空间，假如一是两个线性空间，假如一个从个从 到到 的变换的变换 具有以下性质具有以下性质（1 1）（2 2）称作称作 的一个线性变换或线性算子。特别当的一个线性变换或线性算子。特别当 =时，称时，称 是上是上 的线性变换。的线性变换。第52页，本讲稿共101页在在 的线性变换中有两个特殊的变换：的线性变换中有两个特殊的变换：(1)(1)如果对任意如果对任意 ，恒有，恒有 ，则，则 称称 是零变换，记为是零变换，记为 ，即对任意，即对任意 ，恒有，恒有 。(2)(2)如果对任意如果对任意 ，恒有，恒有 ，则称，则称 是恒等变换，记为是恒

12、等变换，记为 ，即，即 第53页，本讲稿共101页关于线性变换还有以下性质：关于线性变换还有以下性质：(1)(1)(2)(2)则则 (1.3.2)(1.3.2)若若 线性相关，则线性相关，则 也线性相关也线性相关,但逆命题不成立。但逆命题不成立。第54页，本讲稿共101页例例:如下图如下图第55页，本讲稿共101页图图1.3.21.3.2 第56页，本讲稿共101页1.3.2 1.3.2 线性变换的运算线性变换的运算 线性变换的相等线性变换的相等 两个线性变换两个线性变换 ，若对，若对 中任意向量中任意向量都有都有 则则 .设设 是是 的一个基，则的一个基，则第57页，本讲稿共101页 线性变

13、换的和线性变换的和 两个线性变换两个线性变换 ，对任意一个元，对任意一个元素素 ，与，与 相对应的变换为相对应的变换为 。即。即 第58页，本讲稿共101页 线性变换的数乘线性变换的数乘 设设 ，则与，则与 对应的变换称为对应的变换称为 与线性变换与线性变换 的数乘，记为的数乘，记为 ，即，即 第59页，本讲稿共101页 线性变换的乘积线性变换的乘积 两个线性变换两个线性变换 ,，与，与 对对应的变换称为应的变换称为 与与 的积，记作的积，记作 ，即即 第60页，本讲稿共101页定理定理1.3.11.3.1 设设 是线性空间是线性空间 中的两个中的两个线性变换，则线性变换，则 都是都是 中的线

14、性中的线性变换。变换。第61页，本讲稿共101页第62页，本讲稿共101页 线性变换的逆变换线性变换的逆变换 如果两个线性变换满足如果两个线性变换满足 ，则，则称称 互为逆变换，记作互为逆变换，记作 ，。第63页，本讲稿共101页1.3.31.3.3用矩阵表示线性变换用矩阵表示线性变换 第64页，本讲稿共101页第65页，本讲稿共101页第66页，本讲稿共101页定义定义1.3.21.3.2第67页，本讲稿共101页 定理定理1.3.21.3.2 设设 与与 分别是线性变分别是线性变换换 与与 在基在基 下的矩阵，则下的矩阵，则在这个基下有在这个基下有（1 1）的矩阵是的矩阵是 ；（2 2）的

15、矩阵是的矩阵是 ；（3 3）的矩阵是的矩阵是 ；（4 4）若）若 可逆，则可逆，则 的矩阵是的矩阵是 .第68页，本讲稿共101页例：例：第69页，本讲稿共101页下面我们用实例来了解线性变换。下面我们用实例来了解线性变换。第70页，本讲稿共101页第71页，本讲稿共101页第72页，本讲稿共101页第73页，本讲稿共101页*线性变换的值域与核线性变换的值域与核 定义定义1.3.31.3.3第74页，本讲稿共101页第75页，本讲稿共101页 可以证明可以证明 和和 分别是分别是 和和 的的线性子空间线性子空间.称称 的维数的维数 是线性变换是线性变换 的秩，记为的秩，记为 ；的维数的维数

16、称为线性变换称为线性变换 的零度，记为的零度，记为第76页，本讲稿共101页第77页，本讲稿共101页1.3.4 1.3.4 不变子空间不变子空间 定义定义1.3.41.3.4 设设 是线性空间是线性空间 上的线性变上的线性变换，换，是是 的子空间，的子空间，如果如果 ，称称 是是 的不变子空间。的不变子空间。第78页，本讲稿共101页显然线性空间显然线性空间 和零空间是和零空间是 的不变子的不变子空间，称为平凡子空间。空间，称为平凡子空间。第79页，本讲稿共101页 1.4.1 1.4.1 内积的定义内积的定义定义定义 1.4.1 1.4.1 设设 是复数域是复数域 上的线性空间，上的线性空

17、间，对于对于 中的两个任意向量中的两个任意向量 ，按某种法则定，按某种法则定义一个复值函数，用义一个复值函数，用 表示，并且满足以下表示，并且满足以下条件：条件：1.4 1.4 欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间 对称性对称性 ；线性性线性性 ；3.3.第80页，本讲稿共101页这时称函数这时称函数 为向量为向量 的内积或范数。的内积或范数。称为向量称为向量 的长度或范数。记作的长度或范数。记作:第81页，本讲稿共101页如果线性空间如果线性空间 定义在实数域定义在实数域 上，那么，上，那么，关于内积的三个条件就可以改写为：关于内积的三个条件就可以改写为：对称性对称性 ；线性性线性性 ；正定性正

18、定性第82页，本讲稿共101页定义了内积的实线性空间称为欧氏空间，定义了内积的实线性空间称为欧氏空间，定义了内积的复线性空间称为酉空间。定义了内积的复线性空间称为酉空间。我们称我们称 的实值函数的实值函数 为为 与与 的内积。的内积。的范数定义为的范数定义为 。第83页，本讲稿共101页第84页，本讲稿共101页第85页，本讲稿共101页单位向量：长度为单位向量：长度为1 1的向量称为单位向量。的向量称为单位向量。向量向量 ，(1.4.4)(1.4.4)称为称为 的单位向量。的单位向量。向量的夹角：向量向量的夹角：向量 夹角夹角 的余弦定义的余弦定义为为:(1.4.5)(1.4.5)第86页，

19、本讲稿共101页可以证明不等式可以证明不等式 或或 (1.4.6)(1.4.6)此式称为此式称为Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式。不等式。第87页，本讲稿共101页由由Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式，可以得到不等式，可以得到以下两个三角不等式。以下两个三角不等式。(1)(1.4.8)(1)(1.4.8)(2).(1.4.9)(2).(1.4.9)用用 表示向量表示向量 之间的之间的 距离。记作距离。记作 (1.4.10)(1.4.10)第88页，本讲稿共101页距离具有以下性质距离具有以下性质:第89页，本讲稿共101页1.4.2

20、1.4.2 标准正交基与标准正交基与 正交化方法正交化方法 4.2.1 4.2.1 标准正交基标准正交基显然，显然，零向量与任意向量正交；零向量与任意向量正交；只有零向量与自己正交。只有零向量与自己正交。定义定义1.4.21.4.2 线性空间线性空间 中的两个向量中的两个向量 ，如果，如果其内积其内积 则称则称 正交，记为正交，记为 。第90页，本讲稿共101页定义定义1.4.31.4.3 设设 是线性空间是线性空间 中中的一个向量组，如果的一个向量组，如果 称称 是是 中的正交向量组。中的正交向量组。第91页，本讲稿共101页 定理定理1.4.11.4.1 假设假设 是线性空是线性空间间 中

21、的正交向量组，则中的正交向量组，则 也是线性无关也是线性无关向量组。向量组。第92页，本讲稿共101页定义定义1.4.41.4.4 设设 是是 维线性维线性空间空间 的一个基，并且的一个基，并且 (1.4.13)(1.4.13)称称 是是 的一个标准正交基的一个标准正交基。第93页，本讲稿共101页 1.4.2.2 Schmidt 1.4.2.2 Schmidt正交化方法正交化方法 定理定理1.4.21.4.2 (Schmidt (Schmidt正交化方法正交化方法)设设 是内积空间的线性无关的向是内积空间的线性无关的向量组，令量组，令 第94页，本讲稿共101页则则 是不含零向量的正交向量是

22、不含零向量的正交向量组，并且和组，并且和 张成同一个线性空间，即张成同一个线性空间，即第95页，本讲稿共101页SchmidtSchmidt正交化正交化第96页，本讲稿共101页第97页，本讲稿共101页第98页，本讲稿共101页1.4.3 1.4.3 子空间的正交补空间子空间的正交补空间 定义定义1.4.51.4.5 设设 是内积空间是内积空间 的一个子的一个子空间，空间，是是 的一个向量。如果对于的一个向量。如果对于 中中的任意一个向量的任意一个向量 ，都有，都有 ,则则称称 与子空间与子空间 正交，记为正交，记为 。第99页，本讲稿共101页定理定理1.4.31.4.3 内积空间内积空间 中的向量与它的一中的向量与它的一个子空间个子空间 正交的充分必要条件是这个向正交的充分必要条件是这个向量与量与 中每一个基向量正交。中每一个基向量正交。第100页，本讲稿共101页定理定理1.4.41.4.4 任一内积空间任一内积空间 ，是其子空，是其子空间间 和和 的正交补的直和，即的正交补的直和，即 。第101页，本讲稿共101页