矩阵的标准型精.ppt

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1、矩阵的标准型第1页，本讲稿共58页2.12.1矩阵的矩阵的矩阵的矩阵的Jordan标准型标准型 一一一一.Cayley-Hamilton定理定理 第二章第二章 矩阵的矩阵的JordanJordan标准型标准型凯莱凯莱凯莱凯莱 英英英英 A.A.Cayley Cayley(1821.8-1895.1)(1821.8-1895.1)哈密尔顿哈密尔顿哈密尔顿哈密尔顿 英英英英 W.R.W.R.Hamilton Hamilton(1805.8-1865.9)(1805.8-1865.9)约当约当约当约当 法法法法 M.E.C.M.E.C.Jordan Jordan(1838.1-1922.1)(183

2、8.1-1922.1)第2页，本讲稿共58页 矩阵的多项式表示矩阵的多项式表示定义：定义：已知已知 和关于变量和关于变量 的多项式的多项式那么我们称那么我们称 为为 的的矩阵多项式矩阵多项式。化零多项式化零多项式化零多项式化零多项式第3页，本讲稿共58页 定理定理定理定理2.1.c()=|E EAn n n n|则则c(A)=)=O.注注注注:c c(A)=|)=|AE A|?|EAn n n|=|=a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann=n+an 1 1 n n 1 1+a1 +a0=n tr(tr(A)n 1+(1)n n|A|.第4页，本讲稿共58页 c

3、c()=n+an 1 n 1 1+a1 +a0 c(A)=An n+an 1An n 1+a1A+a0E c(A)=O O A An+a an 1An n 1 1+a a1A=a0E E =A(An n 1 1 +an 1An 2+a a1E)当当A A可逆时可逆时,a0=(1)n|A|0,0,于是于是A A 1=1a0(An 1+an 1An 2+a1E)A*=|A|A A 1=第5页，本讲稿共58页则则 c(A)=An+an-1An-1+a0E=0。对于一般的对于一般的n阶矩阵组成的集合，需要取出阶矩阵组成的集合，需要取出n2+1个才能个才能保证是线性相关的。保证是线性相关的。但是对于矩阵

4、序列但是对于矩阵序列I,A,A2,A3，按顺序取到第，按顺序取到第n+1个时，个时，An一定可以被前面的矩阵线性表出。一定可以被前面的矩阵线性表出。则则 An=-an-1An-1-a0E第6页，本讲稿共58页 例例1.已知已知A=1 2 2 1 0 3 1 1 2,求求A100.解解:c()=|E A|=(+1)2(1).分别将分别将 =1,1代入上式得代入上式得代入上式得代入上式得 100 9999=(=(100100)1=a+b+c c,设设 100=c()g()+a a 2+b +c c,1=a b+c c.=c()g g()+a 2 2+b +c =c c()g()+c c()g()+

5、2a a +b 将将 =1代入上式得代入上式得 100=2a+b.于是可得于是可得a=50,b=0,c=49.第7页，本讲稿共58页 =50A A2 49 49E 故故故故A100100=c c(A)g(A)+50A2 49E =50=50即即 100=c c()g()+50 2 49,3 3 0 8 0 8 2 1 4 2 1 4 2 0 5 2 0 5 4949 0 0 0 0 0 49 0 0 49 0 0 0 49 0 0 49=199199 0 400 0 400 100 1 200 100 1 200 100 0 201 100 0 201.例例1.已知已知A=1 2 2 1 0

6、3 1 1 2,求求A100.第8页，本讲稿共58页 A A=0 1 1 0 1 0 1 1 2 c()=|EA A|=(1)3 3满足满足c(A)=O f()=(1)2=2 2 2 2+1满足满足满足满足f f(A A)=O.c c()的次数为的次数为的次数为的次数为3 f f()的次数为的次数为2 不存在更低次数的多项式不存在更低次数的多项式g g()使得使得g(A A)=O O.A的化零多项式的化零多项式 次数最低次数最低,首首项系数为项系数为1 例例例例2.第9页，本讲稿共58页 二二.最小多项式最小多项式最小多项式最小多项式 1.定义定义:A的的次数最低次数最低的的最高次项系数为最高

7、次项系数为1 1的的 化零化零多项式称为多项式称为A的的的的最小多项式最小多项式.2.性质性质:(1)A的最小多项式的最小多项式|A A的任一化零多项式的任一化零多项式.(2)(2)A的最小多项式是唯一的的最小多项式是唯一的,记为记为mA()或简记为或简记为m().(3)则则m(0)=0 c(0 0)=0.(4)A B mA()=)=mmB().但反之未必但反之未必!第10页，本讲稿共58页 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 21 1 0 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2例如例如:与与 的最小多项式都是的

8、最小多项式都是(1)2(2),2),但是它们的特征多项式分别为但是它们的特征多项式分别为 因而这两个矩阵不相似因而这两个矩阵不相似因而这两个矩阵不相似因而这两个矩阵不相似.(1)3 3(2)和和和和(1)2(2)2)2 2,第11页，本讲稿共58页定理第12页，本讲稿共58页第13页，本讲稿共58页第14页，本讲稿共58页第15页，本讲稿共58页定理第16页，本讲稿共58页第17页，本讲稿共58页第18页，本讲稿共58页例第19页，本讲稿共58页第20页，本讲稿共58页第21页，本讲稿共58页第22页，本讲稿共58页 推论推论.设设设设A,B B分别为分别为s n矩阵和矩阵和n n t矩阵矩阵

9、,则则r(AB)r(r(A A)+r(B)n.引理引理引理引理.设设A1,A2,As都是都是n阶方阵阶方阵,且且 A1A2 As=O,则则 r(Ai)(s 1)n.i i=1=1s s r(A1A2 As)r(A1)+r(A2 As)n r(A1)+r(A2)+r(A3 As)2n r(r(A1)+r(A2)+r(As)(s s 1)n.三三三三.最小多项式与对角化的关系最小多项式与对角化的关系最小多项式与对角化的关系最小多项式与对角化的关系 第23页，本讲稿共58页 定理定理3 3.A A相似于对角矩阵相似于对角矩阵 mA()没有重根没有重根没有重根没有重根.对角阵的最小多项式对角阵的最小多

10、项式没有重根没有重根.因而因而 r(iE A)(s 1)n,i i=1=1s s 证明证明证明证明:()相似的矩阵的最小多项式相同相似的矩阵的最小多项式相同;()设设mA()=(1 1)(2 2)()(s s),),则则(1E E A)(2 2E A)(sE E A)=O,故故 n r(iE A)n.i i=1=1s s 第24页，本讲稿共58页第25页，本讲稿共58页第26页，本讲稿共58页定理定理：阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。每一个特征值的代数重数等于其几何重数。有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。综

11、合综合第27页，本讲稿共58页 例例3 3.若若n阶方阵阶方阵A满足满足A A2 3A+2+2E E=O O,r(r(A E)=r,则行列式则行列式|A A+3E|=_.|=_.解解:A2 2 3A+2E=O (A E)(A A 2E E)=O 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使得使得P 1APAP=|A+3E|=|=|P P 1 1|A+3E|P|E En n r r O O O O 2 2E Er r 秩秩(A E)=r=|P P 1(A+3E)P P|=|P 1 1A AP +3E|=4En r O O 5Er=4n n r 5r r.第28页，本讲稿共58页 例例例例4.求解矩阵方程求解矩阵

12、方程求解矩阵方程求解矩阵方程X X2 5 5X+6E=O,n阶方阵阶方阵X令令r(r(A 3E)=r r,解解解解:f(x)=:f(x)=x2 5x+6=(x x 3)(x 2)为为X X的零化多项式的零化多项式的零化多项式的零化多项式 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使得使得P 1 1XP=2 2E Er r O O O O 3E3En n r r由由 X X2 5X X+6E=O O (A 2E)(A 3E)=O f(x)=f(x)=(x 3)()(x 2)无重因式，故为最小多项式无重因式，故为最小多项式 m(x)矩阵矩阵X的特征值为的特征值为3和和2，且，且X X可以相似对角化可以相似对角化

13、2 2E Er r O O O O 3E3En n r r X=P P P 1 第29页，本讲稿共58页 例例5.设设m阶方阵阶方阵J0 0为为为为证明证明:J0 0特征多项式为特征多项式为特征多项式为特征多项式为 c()=(-a)m a a a 1 1 a mm mm O O E Em-1m-1O O O O证明证明:J0 0必不可以对角化。必不可以对角化。必不可以对角化。必不可以对角化。J0 0-aE E =NNk 不等于不等于不等于不等于O，Nmm=OO 第30页，本讲稿共58页 四四.Jordan标准形标准形 0 0 0 1 1 0 mm mm m阶阶Jordan块块:例如例如例如例如

14、:(0 0)0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 注注:0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0=一阶一阶一阶一阶 JordanJordan块是一阶矩阵块是一阶矩阵块是一阶矩阵块是一阶矩阵 第31页，本讲稿共58页 J1 J2 Js JordanJordan形矩阵形矩阵:若当块若当块 例如例如例如例如:1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 2 0 0 0 3 1 1 0 0 2 0 0 0 3 但但但但 不是不是不是不是JordanJordan形矩阵形矩阵.第32页，本讲稿共58页Jordan标准型标准型

15、定理定理5：设：设A是是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使，使得得其中其中 1,s是是A的互不相同的特征值，的互不相同的特征值，而且这个标准型在除去对角块顺序后是唯一的。而且这个标准型在除去对角块顺序后是唯一的。且且第33页，本讲稿共58页 若若A与与Jordan形矩阵形矩阵J相似相似,则称则称J为为A的的 Jordan当标准形当标准形.注注:J1 O O J2 O E E O O E E O 1 J2 O O J1=推论推论推论推论.两个复方阵相似两个复方阵相似它们具有相同的它们具有相同的 JordanJordan标准形标准形.推论推论.两个复方阵相似两个复方阵相似

16、两个复方阵相似两个复方阵相似，特征值、秩？，特征值、秩？第34页，本讲稿共58页JordanJordan矩阵的结构与几个结论矩阵的结构与几个结论:(1)(1)Jordan Jordan块的个数块的个数 k k是线性无关特征向量的个数是线性无关特征向量的个数;(2)(2)矩阵可对角化矩阵可对角化,当且仅当当且仅当s s=n n;(3)(3)相应于一个已知特征值相应于一个已知特征值 的的JordanJordan块的个数块的个数是该是该(1)(1)特征值的特征值的几何重数几何重数 ,它是相应的特征子空间的维数它是相应的特征子空间的维数,(2)(2)相应于一个相应于一个 的所有的所有JordanJor

17、dan块的块的阶数之和阶数之和是该特征值的是该特征值的代数重数代数重数 .特征值特征值 的几何重的几何重(1)(1)数数 代数重数代数重数(2)(2)(4)(4)矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关.J的对角元素给出了特征值的信息。的对角元素给出了特征值的信息。第35页，本讲稿共58页第36页，本讲稿共58页推论：推论：则下列命题等价：则下列命题等价：(3)A 的的Jordan标准形中的标准形中的 Jordan块都是一阶的。块都是一阶的。第37页，本讲稿共58页推论推论：阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是每一可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数

18、重数等于其几何重数。个特征值的代数重数等于其几何重数。有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。综合：综合：第38页，本讲稿共58页 1,2,s A A 11,1q ,1 1 线性无关线性无关线性无关线性无关 11,1q,21,2q ,s1,sq 线性无关线性无关 1 1 2 2 s s 2 2 线性无关线性无关线性无关线性无关 21,2q ,s s 线性无关线性无关线性无关线性无关 s1,sq 相似矩阵相似矩阵P的求法的求法第39页，本讲稿共58页定理定理5 5：1,s是是n n阶复矩阵阶复矩阵A A的的互不相同的特征值，互不相同的特征值，且且(1)则必存在可逆矩阵则必存在可逆矩阵S

19、，使得，使得则下面是等价的则下面是等价的第40页，本讲稿共58页 则则V V 上必然存在一个线性变换上必然存在一个线性变换T T，使得，使得亦即亦即 中必然存在一组基中必然存在一组基(个个)，使得使得T在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为第41页，本讲稿共58页 1,2,s A 11,1q ,1 1 线性无关线性无关线性无关线性无关 11,1q,21,2q ,s1,sq 线性无关线性无关 1 1 2 2 s s 2 2 线性无关线性无关线性无关线性无关 21,2q ,s s 线性无关线性无关线性无关线性无关 s1,sq 相似矩阵相似矩阵S的求法的求法第42页，本讲稿共58页五五.Jordan标

20、准型与最小多项式的关系标准型与最小多项式的关系设设A是是n阶复矩阵，则必存在可逆矩阵阶复矩阵，则必存在可逆矩阵S，使得，使得其中其中 1,s是是A的互不相同的特征值，的互不相同的特征值，且且则则A的最小多项式为：的最小多项式为：第43页，本讲稿共58页第44页，本讲稿共58页六六.Jordan标准型的确定标准型的确定 Jordan Jordan标准型标准型 的两个关键要素：的两个关键要素：JordanJordan块的阶数与块数块的阶数与块数波尔曼波尔曼定理定理:Jordan:Jordan标准型标准型唯一性原理第45页，本讲稿共58页例 P82 例2.3.6,2.3.7 第46页，本讲稿共58页

21、例 已知矩阵已知矩阵已知矩阵已知矩阵A A的特征多项式为的特征多项式为的特征多项式为的特征多项式为求矩阵求矩阵求矩阵求矩阵A A的的的的JordanJordan标准形标准形标准形标准形第47页，本讲稿共58页七、方阵七、方阵A的的Jordan 标准形的求法标准形的求法求可逆矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵求可逆矩阵S S和和和和JordanJordan矩阵矩阵矩阵矩阵J JA A，使，使，使，使AS=SJAS=SJA A分析方法：分析方法：分析方法：分析方法：在在在在定理定理5的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵的基础上逆向分析矩阵J JA A 和和和和S S的构成。的构成。的

22、构成。的构成。求法与步骤：求法与步骤：求法与步骤：求法与步骤：矩阵矩阵矩阵矩阵A A和和和和J JA A的特征值相等的特征值相等的特征值相等的特征值相等细分矩阵细分矩阵细分矩阵细分矩阵P Pi i 和和和和 J Ji i，在，在，在，在JordanJordan块上，有块上，有块上，有块上，有 Jordan Jordan块的确定按照块的确定按照块的确定按照块的确定按照波尔曼定理波尔曼定理第48页，本讲稿共58页Jordan链链，y2，ynj特征向量特征向量特征向量特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量广义特征向量链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵链条中的向量合起来

23、构成可逆矩阵链条中的向量合起来构成可逆矩阵S S，JordanJordan块构成块构成块构成块构成J JA A可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵S S不唯一，不唯一，不唯一，不唯一，J JA A不考虑次序是唯一的不考虑次序是唯一的不考虑次序是唯一的不考虑次序是唯一的第49页，本讲稿共58页例例6 p77 2.3.3第50页，本讲稿共58页第51页，本讲稿共58页第52页，本讲稿共58页第53页，本讲稿共58页例例9 证明：若证明：若A的所有特征值是的所有特征值是 1,n，则，则Am的所有特的所有特征值是征值是 1m,nm。第54页，本讲稿共58页第55页，本讲稿共58页 例例10.设设设设A=.

24、1 a a 0 0 a a 1+1+a b b 0 0 1(1)求求求求A A的特征值和所有可能的的特征值和所有可能的JordanJordan标准形标准形.解解:|E A A|=(1)3.由此可得由此可得A的特征值为的特征值为的特征值为的特征值为 1 1=2=3=1.因此因此A A的所有可能的的所有可能的的所有可能的的所有可能的Jordan标准形如下标准形如下:1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J1=,1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J2=,1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 J3

25、=.第56页，本讲稿共58页 例例10.设设A=.1 1 a a a 0 a 1+1+a b b 0 0 1(2)a,b满足什么条件时满足什么条件时满足什么条件时满足什么条件时,A相似于对角矩阵相似于对角矩阵?解解解解:由由(1)(1)知知,A相似于对角矩阵相似于对角矩阵 A相似于相似于相似于相似于E 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P使得使得P 1AP=E A=E 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J1=,1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J2=,1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 J3=

26、.a=b=0.第57页，本讲稿共58页 例例例例1010.设设A A=.1 a a 0 0 a 1+1+a b 0 0 1(3)(3)当当a=1,b b=2时时,求求A的的的的Jordan标准形标准形.解解解解:当当当当a a=1,b=2时时,A A=r(E E A)=2.1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J1=,1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 J2=,1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 J3=.r(E E J3 3)=2)=2.0 0 1 0 1 0 1 2 2 1 2 2 0 0 1 0 0 1,可见可见可见可见A的的Jordan标准形为标准形为J3.r(E J2)=1,r(r(E J1)=0,第58页，本讲稿共58页