常微分方程的数值解法讲稿.ppt
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1、常微分方程的数值解法1第一页,讲稿共三十三页哦上一页上一页 下一页下一页 返回返回 本章介绍求解微分方程数值解的基本思想和方法本章介绍求解微分方程数值解的基本思想和方法.含有自变量、未知函数和它的一阶导数和高阶导数含有自变量、未知函数和它的一阶导数和高阶导数的方程的方程.常微分方程常微分方程 它是描述运动、变化规律的重要数学方法之一,分为它是描述运动、变化规律的重要数学方法之一,分为两类:两类:1.初值问题初值问题 即给出未知函数及导数在初始点的值;即给出未知函数及导数在初始点的值;2.边值问题边值问题 即给出未知函数及(或)它的某些导数在区间即给出未知函数及(或)它的某些导数在区间两个端点的
2、值两个端点的值。2第二页,讲稿共三十三页哦 考虑考虑一阶一阶常微分方程的常微分方程的初值问题初值问题:只要只要 f(x,y)在在a,b R1 上连续,且关于上连续,且关于 y 满足满足 Lipschitz 条件条件,即存在与即存在与 x,y 无关的常数无关的常数 L 使使对任意定义在对任意定义在 a,b 上的上的 y1(x)和和 y2(x)都成立,则上述问题解都成立,则上述问题解存在唯一解存在唯一解。所谓所谓数值解法数值解法就是要计算出初值问题的解函数就是要计算出初值问题的解函数 y(x)在一系列在一系列离散点离散点 a=x0 x1 xN=b上的近似值:上的近似值:y0,y1,yN.节点间距节
3、点间距 为步长,为步长,通常采用通常采用等距节点等距节点,即取,即取 hi=h(常数常数)。yn 称为问题的称为问题的数值解数值解.数值解所满足的离散方程统称为数值解所满足的离散方程统称为差分格式差分格式.上一页上一页 下一页下一页 返回返回 3第三页,讲稿共三十三页哦第一节第一节 欧拉方法欧拉方法一、一、欧拉公式欧拉公式令令yn为为y(xn)的近似值,将上式代入的近似值,将上式代入(*)式可得式可得此式称为此式称为欧拉欧拉(Euler)公式公式.为为Euler方法的方法的局部截断误差局部截断误差.上一页上一页 下一页下一页 返回返回 4第四页,讲稿共三十三页哦例例1 用欧拉公式解初值问题用欧
4、拉公式解初值问题解解:取步长取步长 h=0.1,欧拉公式的具体形式为:欧拉公式的具体形式为:依次计算可得依次计算可得 y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9,y10上一页上一页 下一页下一页 返回返回 5第五页,讲稿共三十三页哦其部分结果见下表其部分结果见下表 可见可见Euler方法的计算结果精度不太高。方法的计算结果精度不太高。上一页上一页 下一页下一页 返回返回 6第六页,讲稿共三十三页哦 欧拉公式的几何意义:欧拉公式的几何意义:x0P0 x1P1x2P2xnPn几何意义:几何意义:用折线近似代替方程的解曲线用折线近似代替方程的解曲线,因而也称因而也称Euler方法为方法为折线法折线法.
5、上一页上一页 下一页下一页 返回返回 7第七页,讲稿共三十三页哦二、二、后退的后退的欧拉公式欧拉公式也用一阶差商逼近导数也用一阶差商逼近导数令令yn+1为为y(xn+1)的近似值,则可得的近似值,则可得称为称为后退后退Euler公式公式 已知已知 yn时时,必须通过解方程才能求出必须通过解方程才能求出yn1,这样的公式称为这样的公式称为隐式公式隐式公式,而而Euler公式为公式为显式公式显式公式.Euler公式和后退公式和后退Euler公式都是由公式都是由yn去计算去计算yn+1,因此,称,因此,称它们为它们为单步法。单步法。上一页上一页 下一页下一页 返回返回 8第八页,讲稿共三十三页哦在在
6、假假设设 yi=y(xi),即即第第 i 步步计计算算是是精精确确的的前前提提下下,考考虑虑的截断误差的截断误差 Ti+1=y(xi+1)yi+1 称为称为局部截断误差。局部截断误差。若若某某算算法法的的局局部部截截断断误误差差为为O(hp+1),则则称称该该算算法法有有p 阶精度。阶精度。显然显然,p越大越大,精度越高精度越高.三、三、局部截断误差与方法的阶局部截断误差与方法的阶(将准确解(将准确解代入公式的左、右两端,其左端与右端之差)代入公式的左、右两端,其左端与右端之差)Euler方法的精度方法的精度 其中:其中:上一页上一页 下一页下一页 返回返回 9第九页,讲稿共三十三页哦所以,所
7、以,Euler方法具有方法具有 1 阶精度。阶精度。将将在点在点处一阶处一阶Taylor展开展开上一页上一页 下一页下一页 返回返回 10第十页,讲稿共三十三页哦所以,所以,后退的后退的Euler方法也具有方法也具有 1 阶精度。阶精度。将将在点在点处一阶处一阶Taylor展开展开 隐式隐式Euler方法的精度方法的精度 上一页上一页 下一页下一页 返回返回 11第十一页,讲稿共三十三页哦 显、隐式两种算法的显、隐式两种算法的平均平均 欧拉公式的改进欧拉公式的改进其局部误差为:其局部误差为:此公式具有此公式具有2 2阶精度阶精度.称称平均公式或梯形公式平均公式或梯形公式梯形公式可由下迭代式计算
8、:其中迭代初值是梯形公式可由下迭代式计算:其中迭代初值是Euler公式提供公式提供.上一页上一页 下一页下一页 返回返回 12第十二页,讲稿共三十三页哦四、四、改进的欧拉公式改进的欧拉公式Step 1:先用先用显式显式欧拉公式作欧拉公式作预测预测,算出,算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step 2:再将再将 代入代入隐式隐式梯形公式的右边作梯形公式的右边作校正校正,得到,得到1+iy),(),(2111+=iiiiiiyxfyxfhyy注:注:此法亦称为此法亦称为预测预测-校正法校正法。可以证明该算法具有可以证明该算法具有 2 阶精度,同时可以看到它是个阶精度,同时可以看到它是个单单步步
9、递推格式,比隐式公式的迭代求解过程递推格式,比隐式公式的迭代求解过程简单简单。它的。它的精精度高度高于显式欧拉法。于显式欧拉法。上一页上一页 下一页下一页 返回返回 13第十三页,讲稿共三十三页哦为了便于编程为了便于编程,常将常将改进的欧拉公式改进的欧拉公式写为:写为:上一页上一页 下一页下一页 返回返回 14第十四页,讲稿共三十三页哦例例2 用用改进的欧拉法解例改进的欧拉法解例1中的初值问题中的初值问题.解:解:取步长取步长 h=0.1,改进欧拉法的具体改进欧拉法的具体 形式为形式为具体计算过程如下具体计算过程如下上一页上一页 下一页下一页 返回返回 15第十五页,讲稿共三十三页哦xn改进的
10、欧拉法改进的欧拉法误差误差xn改进的欧拉法改进的欧拉法误差误差0100.61.4859560.0027160.21.1840960.0000880.81.6164760.0040240.41.3433600.0017191.01.7378690.005818依次计算可得依次计算可得 y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9,y10其部分结果见下表其部分结果见下表 上一页上一页 下一页下一页 返回返回 16第十六页,讲稿共三十三页哦例例3 对下面的对下面的初值问题初值问题解解 (1)取步长取步长 h=0.1,欧拉方法的具体公式为欧拉方法的具体公式为(2)取步长取步长 h=0.1,改进的欧拉方法的
11、具体公式为改进的欧拉方法的具体公式为取步长取步长h=0.1,分别用,分别用Euler方法、改进的方法、改进的Euler方法求数值解。方法求数值解。上一页上一页 下一页下一页 返回返回 17第十七页,讲稿共三十三页哦计算结果见下表计算结果见下表Euler方法方法改进的改进的Euler方法方法xnynyn0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.900 0000.810 0000.729 0000.656 1000.590 4900.531 4410.478 2970.430 4670.387 4210.348 6790.905 0000.819 0250.741 2180.
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