数学物理方程举例和基本概念课件.ppt

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1、数学物理方程举例和基本概念第1页，此课件共48页哦第一章第一章 典型方程与定解条件典型方程与定解条件 引言引言如：如：位移、位移、时间、温度、密度、温度、密度、场强，等等，等等.在数学中，我在数学中，我们发现真理的主要工具是真理的主要工具是归纳和模和模拟。拉普拉斯拉普拉斯 想要探索自然界的奥秘就得解微分方程想要探索自然界的奥秘就得解微分方程 牛牛顿从数量形式上刻画了从数量形式上刻画了由相由相应的的物理定律所确立的物理定律所确立的某些物理量某些物理量之之间的相互制的相互制约关系关系+=泛定方程泛定方程反映的是反映的是同一同一类物理物理现象的共性象的共性，和具体条件无关。，和具体条件无关。求解求解

2、第2页，此课件共48页哦概述性地描述物理系概述性地描述物理系统数学建模中常用的几个物理学定律：数学建模中常用的几个物理学定律：第3页，此课件共48页哦 一般一般说来，由于来，由于浓度的不均匀，物度的不均匀，物质从从浓度高的地方向度高的地方向浓度低的地方度低的地方转移，移，这种种现象叫象叫扩散散。例如：气体、液体、固体中都有例如：气体、液体、固体中都有扩散散现象。象。第4页，此课件共48页哦参考书目参考书目:数学物理方程学数学物理方程学习指指导与与习题解答解答 陈才生才生 科学出版社科学出版社 2010年年数学物理方程与特殊函数学数学物理方程与特殊函数学习指南指南 王元明王元明 高等教育出版社高

3、等教育出版社 2004年年数学物理方程与特殊函数学数学物理方程与特殊函数学习指指导与与习题全解全解 赵振海振海 大大连理工大学出版理工大学出版社社 2003年年数学物理方法学数学物理方法学习指指导 姚端正姚端正 科学出版社科学出版社 2001年年数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 导教教导学学导考考 张慧清慧清 西北工西北工业大学出版社大学出版社 2005年年超星数字超星数字图书馆（注（注:网网络图书馆）第5页，此课件共48页哦 数学物理方程：数学物理方程：方程的几个基本概念方程的几个基本概念 定定义：主要指从物理学以及其他自然科学、工程技主要指从物理学以及其他自然科学、工程技术中所

4、中所产生的偏微分方程，有生的偏微分方程，有时也包也包括与此有关的一些常微分方程、括与此有关的一些常微分方程、积分方程、微分分方程、微分积分方程等。分方程等。例如：例如：双曲型双曲型抛物型抛物型椭圆型型典型方程典型方程 数学物理方程的数学物理方程的发展展历史史简述述偏微分方程理偏微分方程理论的起源可追溯到十八世的起源可追溯到十八世纪（微（微积分分产生之后），生之后），人人们将力将力学中的一些学中的一些问题，归结为偏微分方程偏微分方程进行研究。行研究。例如：例如：1715年，泰勒年，泰勒（1746年，达朗年，达朗贝尔）研究了弦研究了弦线振振动规律，律，归结为一一维弦振弦振动方程。方程。这一一第6页

5、，此课件共48页哦讨论吸引了众多数学家的注意。吸引了众多数学家的注意。例如：欧拉（例如：欧拉（1759年）和丹年）和丹贝努利（努利（1762年年）在声波的研究中将）在声波的研究中将该方程推广到二、三方程推广到二、三维。这样就由就由对弦振弦振动的研究的研究开创开创了了数学物理方程数学物理方程这门学科学科。随后，人随后，人们陆续地了解了流体的运地了解了流体的运动、弹性体的平衡与振性体的平衡与振动、热传导、电磁相互作用、原子核磁相互作用、原子核和和电子的相互作用、化学反子的相互作用、化学反应过程等等自然程等等自然现象的基本象的基本规律，把它律，把它们写成偏微分方程的形式，写成偏微分方程的形式，并且求

6、出了典型并且求出了典型问题的解。的解。例如：例如：1780年，年，Laplace在研究引力在研究引力势的工作中提出了的工作中提出了Laplace方程。方程。Euler与与 Lagrange在流体力学的工作中，在流体力学的工作中，Legendre和和Laplace在天体力学的工作中都研究了在天体力学的工作中都研究了调和方程。和方程。所有这些都所有这些都丰富了丰富了这门学科的内容。学科的内容。数学物理数学物理问题的研究的研究繁荣起来繁荣起来是在十九世是在十九世纪，许多数学家都多数学家都对数学物理数学物理问题的解决做的解决做出了出了贡献。如：献。如：Fourier（1811年）年），在研究，在研究热

7、的的传播中，提出了三播中，提出了三维空空间的的热传导方程。他方程。他的研究的研究对偏微分方程的偏微分方程的发展展产生了重大影响。生了重大影响。Cauchy给出了第一个关于解的存在定理，出了第一个关于解的存在定理，开开创了了PDE的的现代理代理论。到。到19世世纪末，二末，二阶线性性PDE的一般理的一般理论已基本建立，已基本建立，PDE这门学科开学科开始形成始形成。从二十世从二十世纪开始，随着开始，随着现代科学和技代科学和技术的的进步，数学物理也步，数学物理也有了新的面貌有了新的面貌。不断涌。不断涌现新的数学物理方程、理新的数学物理方程、理论（广（广义函数函数论和索伯列夫空和索伯列夫空间）、方法

8、。）、方法。例如：例如：爱因斯坦方程（引力因斯坦方程（引力场），），Yang-Mills方程（方程（规范范场）第7页，此课件共48页哦 偏微分方程偏微分方程方程中除了含有几个自方程中除了含有几个自变量和未知函数外，量和未知函数外，还含有未知函数的偏含有未知函数的偏导数数(也可也可仅含偏含偏导数数)的方程称的方程称为偏微分方程。偏微分方程。定定义一般形式：一般形式：方程的方程的阶方程中涉及到的未知函数偏方程中涉及到的未知函数偏导数的最高数的最高阶数称数称为偏微分方程的偏微分方程的阶。方程的分方程的分类线性偏微分方程性偏微分方程如果一个偏微分方程如果一个偏微分方程对于未知函数及其各于未知函数及其各

9、阶偏偏导数都是数都是线性的（一次的），且其系数性的（一次的），且其系数仅依依赖于自于自变量，就称之量，就称之为线性偏微分方程性偏微分方程。非非线性偏微分方程性偏微分方程如果非如果非线性方程性方程对未知函数的一切最高未知函数的一切最高阶偏偏导数是数是线性的（一次的），性的（一次的），则称其称其为拟线性性偏微分方程偏微分方程。若非若非线性方程性方程对未知函数的一切最高未知函数的一切最高阶偏偏导数是数是线性的（一次的），而其系数不含性的（一次的），而其系数不含未知函数及其低未知函数及其低阶偏偏导数，数，则称其称其为半半线性偏微分方程性偏微分方程。第8页，此课件共48页哦对线性偏微分方程性偏微分方程而

10、言，将方程中不含未知函数及其偏而言，将方程中不含未知函数及其偏导数的数的项称之称之为自由自由项。线性偏微分方程可性偏微分方程可分分为当自由当自由项为零零时齐次方程次方程当自由当自由项为非零非零时非非齐次方程次方程2阶2阶2阶4阶2阶1阶1阶3阶线性性线性性线性性线性性非非线性性非非线性性线性性非非线性性非非齐次次齐次次齐次次非非齐次次齐次次半半线性性拟线性性拟线性性第9页，此课件共48页哦2阶2阶2阶非非线性性半半线性性非非线性性拟线性性非非线性性完全非完全非线性性 偏微分方程具有偏微分方程具有3个特点个特点特点特点1：解的自由度比常微分方程大解的自由度比常微分方程大。这是因是因为n阶常微分方

11、程的解通常依常微分方程的解通常依赖于于n个任个任意意常数常数；而；而对n阶偏微分方程，其解通常依偏微分方程，其解通常依赖于于n个任意个任意函数函数.注注：一般地，任意函数的个数与方程的一般地，任意函数的个数与方程的阶数相等数相等.特点特点2：偏微分方程解的存在性，较常微分方程相比，有较大的差别。偏微分方程解的存在性，较常微分方程相比，有较大的差别。注注：常微分方程在相当一般的条件下，解是局部存在的。但偏微分方程也常微分方程在相当一般的条件下，解是局部存在的。但偏微分方程也 有在条件非常好的情况下，解在非常小的局部范围内也不存在的。有在条件非常好的情况下，解在非常小的局部范围内也不存在的。特点特

12、点2：解具有叠加性解具有叠加性注注：解的叠加原理对解的叠加原理对任何阶的线性方程任何阶的线性方程都适用，而对都适用，而对非线性方程非线性方程不成立不成立.第10页，此课件共48页哦 定解条件与定解定解条件与定解问题 定解条件的定定解条件的定义定解条件是确定数学物理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一性的充分必要定解条件是确定数学物理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一性的充分必要条件。条件。定解条件的种定解条件的种类个数：个数：关于关于时间t的的n阶偏微分方程，要偏微分方程，要给出出n个初始个初始条件才能确定一个特解条件才能确定一个特解定定义：体：体现物理物理过程程边界状况的数学表

13、达式界状况的数学表达式种种类第一第一类边值条件条件第二第二类边值条件条件第三第三类边值条件条件个数：个数：类似于初始条件的情况似于初始条件的情况由于系由于系统由不同介由不同介质组成，在两种不同介成，在两种不同介质的交界的交界处需需给定两个定两个衔接条件接条件由于物理上的合理性的需要，有由于物理上的合理性的需要，有时还需需对未知函数未知函数附加以附加以单值、有限、周期性等限制，、有限、周期性等限制，这类附加条件附加条件称称为自然自然边界条件界条件.第11页，此课件共48页哦定解定解问题初初值问题：由泛定方程和初始条件构成的定解由泛定方程和初始条件构成的定解问题，也称，也称为柯西柯西（Cauchy

14、）问题.边值问题：由泛定方程和由泛定方程和边值条件构成的定解条件构成的定解问题.混合混合问题：由泛定方程和初、由泛定方程和初、边值条件构成的定解条件构成的定解问题.注意：注意：泛定方程只能反映和描述同一泛定方程只能反映和描述同一类现象的共同象的共同规律，即共性律，即共性.定解条件描述物定解条件描述物理理问题的特性，即个性。二者构成了描述具体物理的特性，即个性。二者构成了描述具体物理问题的定解的定解问题（数学模型）（数学模型）.定解定解问题、微分方程的解、定解、微分方程的解、定解问题的适定性的适定性微分方程的解微分方程的解假假设方程的方程的阶数数为n，若函数，若函数u在所考在所考虑的区域内具有的

15、区域内具有n阶的的连续偏偏导数，且代入方程后能使方程成数，且代入方程后能使方程成为恒等式，恒等式，则称称u为方程的方程的解解（或（或古典解古典解）.若方程解若方程解u的表达式中含有的表达式中含有n个任意常数（或函数），个任意常数（或函数），则称称u是方程的是方程的通解通解（或（或一般解一般解）.通通过定解条件确定了通解中的任一常数（或函数）后所得到的解，称定解条件确定了通解中的任一常数（或函数）后所得到的解，称之之为定解定解问题的解的解。未未经过验证的解，称之的解，称之为形式解形式解。注注：除了古典解外，根据：除了古典解外，根据实际应用需要，用需要，还研究各种广研究各种广义意意义下的解。它下的

16、解。它们按按较弱的弱的意意义满足方程，足方程，这种解称种解称为广广义解解。第12页，此课件共48页哦定解定解问题的适定性的适定性定解定解定解定解问题问题是否能是否能是否能是否能够够反映反映反映反映实际实际，或者，定解或者，定解问题的提法是否适合？的提法是否适合？从数学的从数学的从数学的从数学的角度看主要从下面三个方面来角度看主要从下面三个方面来角度看主要从下面三个方面来角度看主要从下面三个方面来验证验证：解的存在性解的存在性解的存在性解的存在性：即在即在即在即在给给定的定解条件下，定解定的定解条件下，定解定的定解条件下，定解定的定解条件下，定解问题问题是否有解存在是否有解存在是否有解存在是否有

17、解存在?解的唯一性解的唯一性解的唯一性解的唯一性：即在即在即在即在给给定的定解条件下，定解定的定解条件下，定解定的定解条件下，定解定的定解条件下，定解问题问题的解若存在，是否唯一？若能确定的解若存在，是否唯一？若能确定的解若存在，是否唯一？若能确定的解若存在，是否唯一？若能确定问题问题解的存在唯一性，就能采用合适的方法去解的存在唯一性，就能采用合适的方法去解的存在唯一性，就能采用合适的方法去解的存在唯一性，就能采用合适的方法去寻寻找它。找它。找它。找它。解的稳定性解的稳定性解的稳定性解的稳定性：当定解条件及方程中的参数有微小当定解条件及方程中的参数有微小当定解条件及方程中的参数有微小当定解条件

18、及方程中的参数有微小变变化化化化时时，解也只有微小的，解也只有微小的，解也只有微小的，解也只有微小的变动变动，则则称称称称该该定定定定解解解解问题问题的解是的解是的解是的解是稳稳定的，否定的，否定的，否定的，否则则称之称之称之称之为为不不不不稳稳定的。定的。定的。定的。如果一个定解如果一个定解问题的解存在、唯一、且解的解存在、唯一、且解连续依依赖于定解条件中的初始数据或于定解条件中的初始数据或边界数界数据，据，则称称该定解定解问题是是适定的适定的，否，否则称它是称它是不适定的不适定的.注：注：对不适定不适定问题的研究也是非常有意的研究也是非常有意义的！的！例如：例如：在流体力学、在流体力学、电

19、磁学、金属探磁学、金属探矿、气象、气象预报等等实际问题中中.例如：例如：对对于某物体，希望在某于某物体，希望在某于某物体，希望在某于某物体，希望在某时时刻具有一个刻具有一个刻具有一个刻具有一个实际实际的温度分布，那么在初始的温度分布，那么在初始的温度分布，那么在初始的温度分布，那么在初始时时刻物体刻物体刻物体刻物体应应具有一个什么具有一个什么具有一个什么具有一个什么样样的温度分布才能达到此目的？的温度分布才能达到此目的？的温度分布才能达到此目的？的温度分布才能达到此目的？这这是个不适定的是个不适定的是个不适定的是个不适定的问题问题，它是所，它是所，它是所，它是所谓谓的的的的数学物理数学物理数学

20、物理数学物理问题问题的反的反的反的反问题问题。注：注：对不适定不适定问题的研究已成的研究已成为偏微分方程的一个重要研究方向。偏微分方程的一个重要研究方向。1923年，阿达年，阿达马（J.S.Hadamard，法国）提出，法国）提出第13页，此课件共48页哦基本步基本步骤 数学物理方程的数学物理方程的导出出1 1、明确要研究的物理量是什么？建立适当的坐、明确要研究的物理量是什么？建立适当的坐标系，从所研究的系系，从所研究的系统中中2 2、研究物理量遵循哪些物理、研究物理量遵循哪些物理规律？据此，以数学式子表达律？据此，以数学式子表达这个作用；个作用；3 3、化、化简、整理即得所研究、整理即得所研

21、究问题的偏微分方程（泛定方程）。的偏微分方程（泛定方程）。划出任一微元，分析划出任一微元，分析邻近部分与它的相互作用；近部分与它的相互作用；弦振弦振动方程和定解条件方程和定解条件物理模型物理模型（弦的微小横振弦的微小横振动问题）第14页，此课件共48页哦第15页，此课件共48页哦公式被称公式被称为弦的弦的强迫横振迫横振动方程方程（又称一（又称一维非非齐次波次波动方程）方程）.讨论若考若考虑弦的重量弦的重量，则第16页，此课件共48页哦推广推广（如薄膜振（如薄膜振动等）等）二二二二维维（如（如弹性体振性体振动、电磁波或声波磁波或声波传播等）播等）三三三三维维上述公式上述公式虽然然为弦振弦振动方程

22、，但在力学上方程，但在力学上弹性杆的性杆的纵振振动，建筑物的剪振建筑物的剪振动，潮汐波潮汐波，地震波地震波，管道中气体小管道中气体小扰动的的传播播以及以及电报方程方程等等问题，都，都说明：明：只是其只是其可以用可以用这个方程描述。个方程描述。这些物理些物理现象的象的共性共性是振是振动产生波的生波的传播。播。中的未知函数中的未知函数表示的物理意表示的物理意义不同不同。第17页，此课件共48页哦定解条件的提法定解条件的提法初始条件初始条件（初始状（初始状态）注注：未知函数关于时间为二阶导数，需要两个初始条件！未知函数关于时间为二阶导数，需要两个初始条件！边值条件条件（边界上的界上的约束）束）注注：

23、如果研究无界区域中的问题，当然就不再需要边界条件，但有如果研究无界区域中的问题，当然就不再需要边界条件，但有时需对解在无穷远处的渐进状况加以限制，这实际上也是边值时需对解在无穷远处的渐进状况加以限制，这实际上也是边值条件条件（Dirichlet边界条件）界条件）（Neumann边界条件）界条件）（Robin边界条件）界条件）第18页，此课件共48页哦两端弦的两端弦的张力力对外界沿着垂直方向的作用力分外界沿着垂直方向的作用力分别是是 两端受垂直方向的（已知）外力的作用。两端受垂直方向的（已知）外力的作用。两端不受垂直方向的外力的作用（即，可沿着垂直方向自由滑两端不受垂直方向的外力的作用（即，可沿

24、着垂直方向自由滑动）。）。由于由于它它们的的负值应分分别等于沿着垂直方向所受外力，即等于沿着垂直方向所受外力，即此此时边界条件界条件为称称为自由自由边界条件界条件第19页，此课件共48页哦第20页，此课件共48页哦 热传导方程方程（也（也统称称为输运方程）运方程）和定解条件和定解条件物理模型物理模型（热传导问题）物理定律物理定律：第21页，此课件共48页哦第22页，此课件共48页哦第23页，此课件共48页哦特例特例说明明方程方程虽通常被称通常被称为热传导方程，但方程，但绝不只用于表述不只用于表述热传导现象象.例如：例如：考察气体的考察气体的扩散散,液体的渗透液体的渗透,半半导体材料中的体材料中

25、的杂质扩散等物理散等物理过程，都可用程，都可用这个方程个方程来刻画来刻画.故故该方程也被称方程也被称为扩散方程散方程.第24页，此课件共48页哦定解条件的提法定解条件的提法初始条件初始条件（初始状（初始状态）注：注：未知函数关于未知函数关于时间为一一阶导数，故只需一个初始条件！数，故只需一个初始条件！边值条件条件第25页，此课件共48页哦牛牛顿冷却定律：冷却定律：在在单位位时间内，从物体表面内，从物体表面单位面位面积中流向外界的中流向外界的热量量q，与物体外，与物体外表面的温度和外界在表面表面的温度和外界在表面处的温度差成正比的温度差成正比.第26页，此课件共48页哦 薄膜平衡薄膜平衡方程和定

26、解条件方程和定解条件物理模型物理模型（薄膜平衡薄膜平衡问题）假假设：物理原理物理原理：沿位移沿位移u方向的方向的张力和重力的合力力和重力的合力等于等于0 平衡状平衡状态；第28页，此课件共48页哦这就是微就是微翘的的薄膜平衡方程薄膜平衡方程.的方程的方程为二二维泊松方程泊松方程.一般地，称形如一般地，称形如若薄膜的重力可忽略，即若薄膜的重力可忽略，即f=0，则方程被称方程被称为二二维拉普拉斯拉普拉斯方程方程（或（或调和方程和方程）.第29页，此课件共48页哦Poisson方程和方程和Laplace方程方程还可描述可描述许多物理多物理现象，如静象，如静电场的的电势分布分布、热传导问题中定常温度分

27、布、中定常温度分布、引力引力势、流体力学中的、流体力学中的势和和弹性力学中的性力学中的调和和势，概括地概括地说，它，它所描写的自然所描写的自然现象是象是稳恒的、定常的，即与恒的、定常的，即与时间无关的无关的反映物理量在反映物理量在稳恒状恒状态下的下的变化化规律律.说明：明：例如：例如：稳定温度分布定温度分布 导热物体内的物体内的热源分布和源分布和边界条件不随界条件不随时间变化化.故故热传导方程中方程中对时间的偏微分的偏微分项为零，从而前述零，从而前述热传导方程即方程即为下列拉普拉斯下列拉普拉斯方程和泊松方程方程和泊松方程.薄膜振薄膜振动方程方程（二（二维波波动方程）方程）（薄膜平衡方程）（薄膜

28、平衡方程）第30页，此课件共48页哦定解条件的提法定解条件的提法初始条件初始条件（初始状（初始状态）注：注：由于它由于它们都是描述都是描述稳定状定状态的，与的，与时间无关，故不提初始条件！无关，故不提初始条件！边值条件条件注意：注意：边界条件并不只限于以上三界条件并不只限于以上三类，还有其他有其他边界条件（界条件（热传导中有中有辐射条件），有射条件），有时甚至甚至还有非有非线性性边界条件。界条件。第31页，此课件共48页哦 几个重要的基本原理几个重要的基本原理叠加原理叠加原理 在在物物理理学学中中经常常出出现这样的的现象象：一一些些不不同同的的单个个原原因因的的综合合所所产生生的的综合合效效果

29、果等等于于这些些不不同同的的单个个原原因因各各自自产生生的的单个个效效果果的的累累加加，这就就是是叠叠加加原理原理.适用条件：适用条件：例如：例如：例如：例如：1.1.1.1.物理中几个外力作用于一个物体上所物理中几个外力作用于一个物体上所物理中几个外力作用于一个物体上所物理中几个外力作用于一个物体上所产产生的加速度生的加速度生的加速度生的加速度,于于于于 各个外力各个外力各个外力各个外力单单独作用在独作用在独作用在独作用在该该物体上所物体上所物体上所物体上所产产生的加速度的矢量和生的加速度的矢量和生的加速度的矢量和生的加速度的矢量和,这这叫叫叫叫做做做做力的叠加原理力的叠加原理力的叠加原理力

30、的叠加原理（或（或（或（或力的独立作用原理力的独立作用原理力的独立作用原理力的独立作用原理）.2.2.2.2.如果几个如果几个如果几个如果几个电电荷同荷同荷同荷同时时存在存在存在存在,它它它它们们电场就互相叠加就互相叠加就互相叠加就互相叠加,形成合形成合形成合形成合电电 场场.这时这时某点的某点的某点的某点的场强场强等于各个等于各个等于各个等于各个电电荷荷荷荷单单独存在独存在独存在独存在时时在在在在该该点点点点产产 生的生的生的生的场强场强的的的的矢量矢量矢量矢量和和和和,这这叫做叫做叫做叫做电场电场的叠加原理的叠加原理的叠加原理的叠加原理.3.3.3.3.点点点点电电荷系荷系荷系荷系产产生的

31、生的生的生的电场电场中某点的中某点的中某点的中某点的电势电势等于各个点等于各个点等于各个点等于各个点电电荷荷荷荷单单独独独独 存在存在存在存在时时,在在在在该该点点点点产产生的生的生的生的电势电势的代数和的代数和的代数和的代数和,称称称称为为电势电势叠加原理叠加原理叠加原理叠加原理.泛定方程、定解条件都是泛定方程、定解条件都是线性的性的线性定解性定解问题.数学表述：数学表述：可可将将复复杂的的定定解解问题看看作作是是若若个个相相对简单部部分分的的线性性叠叠加加而而成成，那那么么这几几个个部部分分所所得得出出的的解解的的线性性叠叠加加给出出的的形形式式解解，即即为原原定定解解问题的解的解体体现了

32、了“化化归”思想思想.第32页，此课件共48页哦第33页，此课件共48页哦利用叠加原理，可以分解成如下两个利用叠加原理，可以分解成如下两个问题定解定解问题的分解的分解第34页，此课件共48页哦注注.上面列出的两端上面列出的两端边界条件都是第一界条件都是第一类的的.实际上，上，对于第二于第二类边界条件以界条件以及两端不同及两端不同类型的型的边界条件，也成立叠加原理界条件，也成立叠加原理.第36页，此课件共48页哦利用叠加原理，可以分解成如下三个利用叠加原理，可以分解成如下三个问题定解定解问题的分解的分解第37页，此课件共48页哦（积分形式的）分形式的）叠加原理叠加原理III.III.非非齐次方程

33、次方程第39页，此课件共48页哦叠加原理叠加原理IV.IV.带齐次次边界界条条件件的的初初边值问题第40页，此课件共48页哦例如例如.考考虑弦振弦振动的初的初值问题利用叠加原理利用叠加原理IV，可以分解成如下两个，可以分解成如下两个问题和和说明：明：利用利用Duhamel原理求解原理求解由物理意由物理意义知，知，这种振种振动可看成是可看成是仅由由强迫力引起的振迫力引起的振动和和仅由初始状由初始状态引起的引起的振振动的合成的合成.第41页，此课件共48页哦于是，原于是，原问题可分解可分解为如下三个如下三个问题利用叠加原理利用叠加原理IV，问题（1）又可分解成如下两个）又可分解成如下两个问题和和第

34、42页，此课件共48页哦齐次化（次化（Duhamel）原理）原理 （杜阿梅杜阿梅尔，法国，法国，1797-18721797-1872）非定常、非非定常、非齐次次线性偏微分方程、性偏微分方程、齐次条件次条件 的定解的定解问题（柯西（柯西问题、初、初边值问题）.例如：双曲型及抛物型例如：双曲型及抛物型叠加原理的一个重要叠加原理的一个重要叠加原理的一个重要叠加原理的一个重要应应用就是它可以把用就是它可以把用就是它可以把用就是它可以把非非齐次的次的线性偏微分方程的求解性偏微分方程的求解化化化化为为齐齐次次次次线线性偏微分性偏微分性偏微分性偏微分方程的求解方程的求解方程的求解方程的求解，即所，即所，即所

35、，即所谓谓的的的的齐齐次化原理次化原理次化原理次化原理，又叫，又叫，又叫，又叫杜阿梅杜阿梅尔（Duhamel）原理原理原理原理.Duhamel原理（原理（齐次初始条件的次初始条件的非非齐次方程的次方程的初初值问题）第43页，此课件共48页哦第44页，此课件共48页哦该方法可以看作是求解非方法可以看作是求解非齐次次线性常微分方程性常微分方程时使用的常数使用的常数变易法的推广易法的推广.第45页，此课件共48页哦第46页，此课件共48页哦第47页，此课件共48页哦换句句话说，我，我们先考察先考察时间微元微元d内弦的位移量，然后再内弦的位移量，然后再进行行0t段的段的积分，就是分，就是t时刻刻x处弦的位移量弦的位移量u(t,x).第48页，此课件共48页哦