概率论与数理统计第一章.ppt

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1、概率概率论与数理与数理统计第一章第一章现在学习的是第1页，共42页全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式Total Probability Theorem And Bayes Rule 现在学习的是第2页，共42页现在学习的是第3页，共42页引例：v已知男性人群中有5%是色盲患者，女性人群中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，问这人是色盲患者的概率是多少？现在学习的是第4页，共42页A 定义定义1 设设 为随机试验为随机试验E的的样本空间，样本空间，B1，B2，Bn为为 E的一组事件，的一组事件，如果如果(1)Bi Bj=（ij）;则称则称B1，B2，Bn为样

2、本空间为样本空间 的一个划分。的一个划分。(2)B1B2B3Bn定理1 全概率公式现在学习的是第5页，共42页引例：v已知男性人群中有5%是色盲患者，女性人群中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，问这人是色盲患者的概率是多少？v解：A表示“随机选一人是色盲患者”表示“随机选一人是男性”表示“随机选一人是男性”现在学习的是第6页，共42页v例1 一保险公司据以往的资料知道来投保的客户可分为两类，一类是容易出事故的，另一类则不是。前一类在一年中出一次事故的概率为0.1，后一类则为0.05。一新来的投保客户属于易出事故一类的概率为0.2。求一新来投保客户在第一年内出一次事

3、故的概率。现在学习的是第7页，共42页 例例2 2 今有三个盒子，第一个盒子内有今有三个盒子，第一个盒子内有7 7只红球和只红球和3 3只黄球；第二个盒子内有只黄球；第二个盒子内有5 5只只蓝球蓝球5 5只白球；第三个盒子内有只白球；第三个盒子内有8 8只蓝球和只蓝球和2 2只白球。现在第一个盒子中任取一球，只白球。现在第一个盒子中任取一球，若取到红球则在第二个盒子中任取两球；若取到红球则在第二个盒子中任取两球；若取到黄球则在第三只盒子中任取两球，若取到黄球则在第三只盒子中任取两球，求第二次取到的两球都是蓝球的概率。求第二次取到的两球都是蓝球的概率。现在学习的是第8页，共42页v练习 有朋自远

4、方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2,0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3,0.1，0；求他迟到的概率现在学习的是第9页，共42页123v例3 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.现在学习的是第10页，共42页该该球球取取自自哪哪号号箱箱的的可可能能性最大性最大?实际中还有下面一类问题，是实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已

5、知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小小.某人从任一箱中任意摸某人从任一箱中任意摸出一球，出一球，发现是红球发现是红球,求该球求该球是取自是取自1号箱的概率号箱的概率.或者问或者问:123?现在学习的是第11页，共42页贝叶斯公式在实际中有很贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件确定某结果（事件 A A）发）发生的最可能原因生的最可能原因.定理2 贝叶斯贝叶斯公式 该公式于该公式于17631763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)(Bayes)给给出出.它是在观察到事件它是在观察到事件A A已发生的

6、条件下，已发生的条件下，寻找导致寻找导致A A发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.现在学习的是第12页，共42页v练习练习 某人从外地赶来参加紧急会议，他某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.30.3、0.20.2、0.10.1、0.40.4，如果他乘飞机来就，如果他乘飞机来就不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来迟到的概率分别为的概率分别为1/41/4、1/31/3、1/121/12。（1 1）求他迟到的概率；）求他迟到的概率；（2 2）如果他迟到了，试推断他是怎么来的，说）如果他迟到

7、了，试推断他是怎么来的，说说你的理由。说你的理由。现在学习的是第13页，共42页v例4 据以往的临床记录，某种诊断糖尿病的试验具有以下的效果：若一被诊断者患有糖尿病则试验结果呈阳性的概率为0.90；若一被诊断者未患糖尿病，则试验结果呈阳性的概率为0.06。又已知受试验的人群患糖尿病的概率为0.03。如果一被诊断者其试验结果呈阳性，求此人患糖尿病的条件概率。现在学习的是第14页，共42页 贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Bi)和和P(Bi|A)分别称为分别称为原因的原因的先验概率先验概率和和后验概率后验概率.P(Bi)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道是在没有进

8、一步信息（不知道事件事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道A发生），人们对诸事发生），人们对诸事件发生可能性大小件发生可能性大小P(Bi|A)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。现在学习的是第15页，共42页 在不了解案情细节在不了解案情细节(事件事件B)之前，侦破人员根据过去之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为有一个估计，设为比如原来认为作案可能性较小的某甲，比如原来认

9、为作案可能性较小的某甲，现在变成了重点嫌疑犯现在变成了重点嫌疑犯.例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人甲、乙、丙三人.甲甲乙乙丙丙P(A1)P(A2)P(A3)但在知道案情细但在知道案情细节后节后,这个估计这个估计就有了变化就有了变化.P(A1|B)知道知道B发生后发生后P(A2|B)P(A3|B)最大最大偏小偏小现在学习的是第16页，共42页v例5 在电报通信中不断发出信号0和1，统计资料表明发出0和1的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，分别以概率0.7和0.1接收到0和1，以0.2的概率收到模糊信号“x”；发出1时，分别以概率0.85

10、和0.05收到1和0，以概率0.1收到模糊信号“x”。（1）求收到模糊信号“x”的概率；（2）当收到模糊信号“x”时，译成哪个信号为好，为什么？现在学习的是第17页，共42页0 01 x 10.70.850.20.10.050.1 0.60.4（1）求收到模糊信号“x”的概率；（2）当收到模糊信号“x”时，译成哪个信号为好，为什么？现在学习的是第18页，共42页v例6 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的，根据已往的纪录有以下数据，设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知

11、取到的是次品，试分析此次品最可能出自哪个制造厂？现在学习的是第19页，共42页元件制造厂元件制造厂 次品率次品率 提供晶体提供晶体 管的份额管的份额 1 0.02 0.151 0.02 0.15 2 0.01 0.80 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 3 0.03 0.05（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次品，试分析此次品最可能出自哪个制造厂？现在学习的是第20页，共42页练习练习：设某工厂甲、乙、丙三个车间生设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的产同一种产品，产量依次占全厂的45%45%、

12、35%35%、20%20%，且各车间的合格品的，且各车间的合格品的概率依次为概率依次为96%96%、98%98%、95%95%。现从待出。现从待出厂的产品中检查出了一个次品，问该厂的产品中检查出了一个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大次品是由哪个车间生产的可能性最大？现在学习的是第21页，共42页练习：练习：对以往数据分析结果表明，当机器对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为调整得良好时，产品的合格率为90%90%，而，而当机器发生某一故障时，其合格率为当机器发生某一故障时，其合格率为30%30%。每天早晨机器开动时，机器调整。每天早晨机器开动时，机器调整良好的概率

13、为良好的概率为75%75%。试求已知某日早上。试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？好的概率是多少？现在学习的是第22页，共42页这一节我们介绍了这一节我们介绍了全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学同学们可通过进一步的练习去掌握它们们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶贝叶斯统计斯统计”.可见贝叶斯公式的影响可

14、见贝叶斯公式的影响.现在学习的是第23页，共42页小结小结全概率公式全概率公式：由因遡果：由因遡果贝叶斯公式：由果索因贝叶斯公式：由果索因现在学习的是第24页，共42页第五节第五节 事件的独立性事件的独立性Event IndependenceNew现在学习的是第25页，共42页A,B是试验E的两个事件，若P(B)0,可以定义P(A|B)B B已发生影响已发生影响A A发生的概率发生的概率很多时候还有很多时候还有P(A|B)=P(A)P(A|B)=P(A)此时有此时有P(AB)=P(A)P(B)一般一般 P(A|B)P(A)B B已发生对已发生对A A发生的概率没有影响发生的概率没有影响现在学习

15、的是第26页，共42页 显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的发生的概率概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.一、两事件的独立性一、两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点，B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设现在学习的是第27页，共42页 由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A A、B B独立时，有独立时，有 P(P(ABAB)=)=P P(A A)P P(B B)用用P(P(ABAB)=)=P P(A A)P P(B B)刻划独立性

16、刻划独立性,比用比用 P P(A A|B B)=)=P P(A A)或或 P P(B B|A A)=)=P P(B B)更好更好,它不受它不受P P(B B)0)0或或P P(A A)0)0的制约的制约.P P(ABAB)=)=P P(A A|B B)P P(B B)现在学习的是第28页，共42页一、两个事件相互独立一、两个事件相互独立mutual independence 定义1定理1现在学习的是第29页，共42页v例例1 1 设设P P(A A)0,)0,P P(B B)0,)0,则则A A，B B相互独立与相互独立与A A，B B互不相容不能同时成立。互不相容不能同时成立。事件独立的例题

17、：v例例2 2 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别是其命中率分别是0.50.5和和0.40.4。现已知目标被。现已知目标被命中，则它是乙射中的概率是多少？命中，则它是乙射中的概率是多少？v例例3 3 设设00P P(A A)1)1，且，且P P(B B|A A)=)=P P(B B|A A)，试证：，试证：A A、B B相互独立相互独立.现在学习的是第30页，共42页二、多个事件相互独立性二、多个事件相互独立性mutual independence 定义2定义3定理2现在学习的是第31页，共42页v例4 现有四张卡片，其中第一张只写有1，第二张

18、只写有2，第三张只写有3，第四张上写有1，2，3三个数字。现从中任取一张卡片，设A，B，C分别表示抽到写有数字1，2，3的卡片，则有P(A)=1/2,P(B)=1/2,P(C)=1/2,P(AB)=1/4,P(AC)=1/4,P(BC)=1/4,P(ABC)=1/4.显然 P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),即A,B,C两两相互独立，但是P(ABC)=P(A)P(B)P(C)现在学习的是第32页，共42页定义3：对n个事件 ,若下面的等式同时成立则称 相互独立。定理2现在学习的是第33页，共42页v例5 某电路由电子元件A和两个并联的电子元

19、件B，C串联而成，已知元件A，B，C能正常工作的概率依次为0.8，0.9和0.7，假定各电子元件能否正常工作是相互独立的。(1)求整个电路能正常工作的概率；(2)若整个电路正常工作，分别求A，B能正常工作的概率。现在学习的是第34页，共42页v例6 某工人照看甲、乙、丙三台机床，在某工人照看甲、乙、丙三台机床，在任意时刻这三台机床不需要照管的概率为任意时刻这三台机床不需要照管的概率为0.8,0.9,0.6,0.8,0.9,0.6,设这三台机床是否需要照管是设这三台机床是否需要照管是相互独立的，且这名工人同时只能照管一台相互独立的，且这名工人同时只能照管一台机床。试求在任意时刻：机床。试求在任意

20、时刻：（1 1）“有机床需要工人照管有机床需要工人照管”的概率；的概率；（2 2）“机床因无人照管而停工机床因无人照管而停工”的概率的概率.现在学习的是第35页，共42页例例7 7 一架长机与两架僚机一起飞往某目的地进行轰炸，一架长机与两架僚机一起飞往某目的地进行轰炸，三架飞机中只有长机有导航设备，若无导航设备，三架飞机中只有长机有导航设备，若无导航设备，则飞机不能到达目的地。在飞机到达目的地之前，则飞机不能到达目的地。在飞机到达目的地之前，必须飞过敌方的高射炮阵地上空，这时任何一架飞必须飞过敌方的高射炮阵地上空，这时任何一架飞机被击落的概率都是机被击落的概率都是0.20.2。到达目的地后，各

21、架飞机。到达目的地后，各架飞机独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.30.3。（。（1 1）求）求目标被炸毁的概率；（目标被炸毁的概率；（2 2）如果目标被炸毁，问是）如果目标被炸毁，问是被哪种情况炸毁的可能性最大？被哪种情况炸毁的可能性最大？现在学习的是第36页，共42页例例8 8 一批产品共一批产品共100100件，其中有件，其中有4 4件次品，件次品，其余皆为正品。每次任取一件产品进行检其余皆为正品。每次任取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验验，检验后放回，连续检验3 3次。如发现次。如发现有次品，则认为这批产品不合格，但检验有次品，则认为这批产品不

22、合格，但检验时，一件正品被误判为次品的概率为时，一件正品被误判为次品的概率为0.050.05，而一件次品被误判为正品的概率为，而一件次品被误判为正品的概率为0.010.01，求这批产品被检验为合格品的概率。，求这批产品被检验为合格品的概率。现在学习的是第37页，共42页v练习 设有一系统由4个元件1，2，3，4组成，其联接方式如下图所示。各元件工作相互独立。各元件能正常工作的概率依次为 。求系统能正常工作的概率。1432现在学习的是第38页，共42页 三人独立地去破译一份密码，已知各三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为人能译出的概率分别为1/51/5，1/31/3，1/41/4，问三，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？解：将三人编号为解：将三人编号为1，2，3，记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3v练习所求为所求为 P(A1 A2 A3)现在学习的是第39页，共42页2 =1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3)事件独立的例题：13现在学习的是第40页，共42页请看演示请看演示“诸葛亮和臭皮匠诸葛亮和臭皮匠”现在学习的是第41页，共42页BEY!现在学习的是第42页，共42页