初一至初三数学全部知识点!!.pdf

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1、.初一至初三数学全部知识点初一至初三数学全部知识点!八年级上册八年级上册第一章 轴对称图形-轴对称与轴对称图形轴对称与轴对称图形1 什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。2什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。3轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系

2、；轴对称图形是反映一个图形的特性。联系：两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。4线段的垂直平分线：l垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。（也称线段的中垂线）5轴对称的性质：AB成轴对称的两个图形全等。如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。6怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。-线段

3、、角的轴对称性线段、角的轴对称性l1线段的轴对称性：M 线段是轴对称图形，对称轴有两条；一条是线段所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线。线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合2角的轴对称性：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。Di.w.ABACPOEB.角平分线上的点到角的两边距离相等。到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合-等腰三角形的轴

4、对称性等腰三角形的轴对称性1.等腰三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴；等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”)2.等腰三角形的判定：如果一个三角形有 2 个角相等，那么这 2 个角所对的边也相等；（简称“等角对等边”）直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半。3等边三角形：等边三角形的定义：三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。等边三角形的性质：等边三角形是轴对称图形，并且有3 条对称轴；等边三角形的每个角都等于600。等边三角形的判定：3 个角相等的三角形是等边三角形；有

5、两个角等于 600的三角形是等边三角形；有一个角等于 600的等腰三角形是等边三角形。4三角形的分类：斜三角形：三边都不相等的三角形。三角形只有两边相等的三角形。等腰三角形等边三角形-等腰梯形的轴对称性等腰梯形的轴对称性1.等腰梯形的定义：梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行为梯形。梯形中，平行的一组对边称为底，不平行的一组对边称为腰。等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。2.等腰梯形的性质：等腰梯形是轴对称图形，是两底中点的连线所在的直线。等腰梯形同一底上两底角相等。等腰梯形的对角线相等。3等腰梯形的判定：在同一底上的 2 个底角相等的梯形是等腰梯形。补充：对角线相等的梯形是等腰

6、梯形。ADBC第二章 勾股定理与平方根i.w.-勾股定理、勾股定理的应用勾股定理、勾股定理的应用1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。数学式子：C=900a b c2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：如果三角形的三边长a、b、c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形.数学式子：a b cC=900满足a2b2c2三个数a、b、c叫做勾股数。3.一般的，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。一个正数的平方根有两个，他们互为相反数。0 只有一个平方根，它是0 本身。负数没有平方根。一般的，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根，

7、也称为三次方根。正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0.无限不循环小数称为无理数。有理数和无理数统称为实数。常见的无理数有：无限不循环小数：如 0.010010001 开不尽的根号：如3、5、3 4、37等 圆周率：如-3.14、4、近似数的认识：实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度，时间，速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同。在实际计算中对于像这样的数，也常常需取它们的近似值.请说说生活中应用近似数的例子。取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确

8、到哪一位。例如，圆周率=3.1415926取3，就是精确到个位（或精确到1）取3.1，就是精确到十分位（或精确到0.1）取3.14，就是精确到百分位（或精确到0.01）取3.142，就是精确到千分位（或精确到0.001）5、有效数字：对一个近似数，从左面第一个不是 0 的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。例如：上面圆周率的近似值中，3.14 有 3 个有效数字 3，1，4；3.142 有 4 个有效数字 3，1，4，2.222222BaCbcA等。3i.w.第三章中心对称图形(一)-中心对称与中心对称图形中心对称与中心对称图形1、图形的旋转：在平面，将一个图形绕一个定

9、点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。旋转前、后的图形全等。对应点到旋转中心的距离相等。每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。2、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转 180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这一点对称。也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。注意：中心对称是旋转的一种特例，因此，成中心对称的两个图形具有旋转图形的一切性质。成中心对称的 2 个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。3、中心对称图形：把一个平面图形绕着某一点旋转 180，如果旋转后的图

10、形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。4、中心对称与中心对称图形之间的关系：区别：（1）中心对称是指两个图形的关系，中心对称图形是指具有某种性质的图形。（2）成中心对称的两个图形的对称点分别在两个图形上，中心对称图形的对称点在一个图形上。联系：若把中心对称图形的两部分看成两个图形，则它们成中心对称；若把中心对称的两个图形看成一个整体，则成为中心对称图形.5、对比轴对称图形与中心对称图形：轴对称图形有一条对称轴直线沿对称轴对折对折后与原图形重合1、平行四边形的定义：2 组对边分别平行的四边形叫做

11、平行四边形。记作：ABCD，读作平行四边形 ABCD.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。2、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。3、平行四边形的判定：2 组对边分别平行的四边形是平行四边形；中心对称图形有一个对称中心点绕对称中心旋转 180O旋转后与原图形重合-平行四边形平行四边形i.w.2 组对边分别相等的四边形是平行四边形；2 组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。-矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形1、矩形的定义：有一

12、个角是直角的平行四边形叫做矩形，通常也叫长方形。2、矩形的性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；矩形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是对边中点连线所在直线，有两条，对称中心是对角线的交点。矩形的对角线相等；矩形的四个角都是直角。3、矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有 3 个角是直角的四边形是矩形。4、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。5、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质；菱形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，对称中心是对角线的交点。菱形的四条边相等；菱形的

13、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。6、菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。7、菱形的面积：ADOBC1S菱形=ACBD28、正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。9、正方形的性质：正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。AODBC正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点。10、正方形的判定：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；有一组邻边相等矩形形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。11、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的

14、关系：i.w.-三角形、梯形的中位线三角形、梯形的中位线1、三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线区别三角形的中位线与三角形的中线。三角形中位线的性质三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。注意：中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。梯形中位线的性质梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。第四章数量、位置的变化数量、位置的变化、平面直角坐标系数量、位置的变化、平面直角坐标系1、数量的变化：生活中处处有变化的数量关系

15、，并且这些变化的数量之间往往有一定的联系；感受用变化的观点分析数字信息的重要意义。实际问题中的数量常常会发生变化，表示这种变化通常有 3 种各具特色的表达方式表格、图形、式子，可根据实际情况灵活选用。2、位置的变化：现实生活中，人们既关心事物的数量变化，也关心事物的位置变化，如行驶中的车辆、飞行中的火箭、航行中的船只、移动中的台风等位置的变化。3、平面直角坐标系：有关概念：平面上有公共原点且互相垂直的2 条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。水平方向的数轴称为x 轴或横轴；竖直方向的数轴称为y 轴或纵轴。它们统称坐标轴。公共原点O 称为坐标原点。y确定点的位置（点坐标）若平面有一点 P（如

16、图），我们应该如何确定它的位置？（过点 P 分别作 x、y 轴的垂线，将垂足对应的数组合起来形成一对有序实数，这样的有序实数对叫做点的坐标点的坐标，可表示为 P（a，b）若已知点 Q 的坐标为（m，n），该如何确定点 Q 的位置？（分别过 x、y 轴上表示 m、n 的点作 x、y 轴的垂线，两线的交点即为点 Q）4、点坐标的特征：i.w.-4-3-2-1-1-2-3-44321bP（a，b）O1a234x.四个象限点坐标的特征：两条坐标轴将平面分成个区域称为象限，按逆时针顺序分别记作第一、二、三、四象限。数轴上点坐标的特征：x 轴上的点的纵坐标为0，可表示为（a，0）；y 轴上的点的横坐标为0

17、，可表示为（0，b）。象限角平分线上点坐标的特征：第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，-a)。对称点坐标的特征：P(a，b)关于 x x 轴轴对称的点的坐标为(a，-b)；P(a，b)关于 y y 轴轴对称的点的坐标为(-a，b)；P(a，b)关于原点原点对称的点的坐标为(-a，-b)。-函数函数1、常量和变量：在数量和位置的变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量。2、函数：函数的定义：一般的，设在一个变化过程中有两个变量x 与 y，如果对于变量 x 的每一个值，变量 y都有唯一的

18、值与它对应，我们称y 是 x 的函数。其中 x 是自变量，y 是因变量。函数的表示方法：通常,表示 2 个变量之间的关系可用 3 种方法：表格、图形、式子。表示2 个变量之间关系的式子通常称为函数关系式。（函数解析式）例如 s=100t 就是一个函数解析式。函数自变量的取值围：自变量取使函数关系式有意义的值，叫做自变量的取值围。例如式子y 11中，能使它有意义的值是x 3的一切实数，所以函数y 的取x3x3值围是x 3的一切实数。常见的使函数解析式有意义的式子有：函数的解析式是整式时，自变量可以取全体实数；函数的解析式是分式时，自变量的取值要使分母不为0；函数的解析式是二次根式时，自变量的取值

19、要使被开方数是非负数；对实际问题中的函数关系，要使实际问题有意义。第五章一次函数-一次函数一次函数1、一次函数与正比例函数的定义：一般地，如果两个变量x 与 y 之间的关系，可以表示为y=kx+b（k，b 为常数 k0）的形式，那么称 y 是 x 的一次函数。特别地，当 b=0 时，y 叫做 x 的正比例函数。2、如何求一次函数与正比例函数的解析式：因为正比例函数 y=kx(k0)中的待定系数只有一个k，因此确定正比例函数的解析i.w.式只需 x、y 一组条件，列出一个方程，从而求出k 值。而一次函数 y=kx+b(k0)中的待定系数有两个k 和 b，因此要确定一次函数的解析式需 x、y 的两

20、组条件，列出一个方程组，从而求出k 和 b。3、一次函数的图象：一般的，正比例函数 y=kx 的图象是经过原点的一条直线，一次函数 y=kx+b 的图象是由正比例函数 y=kx 的图象沿 y 轴向上（b0）或向下（b0，那么 y 的值随 x 的增大而增大；如果 k0，那么正比例函数的图象经过一、三象限；如果 k0、b0，那么一次函数的图象经过一、二、三象限；如果 k0、b0，那么一次函数的图象经过一、三、四象限；如果 k0，那么一次函数的图象经过一、二、四象限；如果 k0、bb,那么 acbc2.性质 2：如果 ab，c0，那么 acbc(或 a/cb/c)3.性质 3：如果 ab，c0，那么

21、 acbc(或 a/cb 的形式(1)若 a0，则解集为 b/ai.w.(2)若 a0，则解集为 0 时，图象分别位于第一、三象限；当k0 时.在同一个象限，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，函数在 x0 上同为减函数；k0 时，函数在 x0 上同为增函数。定义域为 x0；值域为 y0。3.因为在 y=k/x(k 0)中，x 不能为 0，y 也不能为 0，所以反比例函数的图象不可能与 x 轴相交，也不可能与y 轴相交。4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点 P，Q 分别作 x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2 则 S1S2=|K|5.反比例函数的图象既是轴对

22、称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。6.若设正比例函数 y=mx 与反比例函数 y=n/x 交于 A、B 两点（m、n 同号），那么 A B 两点关于原点对称。7.设在平面有反比例函数y=k/x 和一次函数 y=mx+n，要使它们有公共交点，则b²+4k m（不小于）0。8.反比例函数 y=k/x的渐近线：x轴与y轴。第十章第十章图形的相似图形的相似图形相似图形相似如果两个图形形状相等,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。（相似的符号：）如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。相似多

23、边形的对应边的比叫相似比。相似比为1 时，相似的两个图形全等。相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。相似多边形的周长比等于相似比。相似多边形的面积比等于相似比的平方。三角形相似三角形相似1.两个三角形的两个角对应相等2.两边对应成比例,且夹角相等3.三边对应成比例4.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。性质性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、切圆半径等）的比等于相似比。2.相似三角形周长的比等于相似比。3.相似三角形面积的比等于相似比的平方第十二章认识概率i.w.（1）频率=频数，各小组的频数之和等于总数，

24、各小组的频率之和等于1，频率分布直方总数图中各个小长方形的面积为各组频率。（2）概率如果用 P 表示一个事件 A 发生的概率，则 0P（A）1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；九年级上册九年级上册第二章数据的离散程度设有n个数x1，x2，xn，那么：平均数为：xx1x2.nxn；极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；方差：数据x1、x2,xn2的方差为s2，则s2=1n据x

25、1x2x2x.xnx2标准差：方差的算术平方根.数x1、2x2,2xn的标准2差s，则s=1nx1xx2x.xnx一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。第三章 二次根式I.I.二次根式的定义和概念：二次根式的定义和概念：1、定义：一般地，形如（a0）的代数式叫做二次根式。当a0 时，表示a 的算数平方根,0=0 当 a 小于 0 时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）2、概念：式子（a0）叫二次根式。（a0）是一个非负数。II.II.二次根式二次根式 的简单性质和几何意义的简单性质和几何意义i.w.1）a0;0 双重非负性2）（）2=a（a0）任何一个非负数

26、都可以写成一个数的平方的形式III.III.二次根式的性质和最简二次根式二次根式的性质和最简二次根式1）二次根式 的化简a(a0）=|a|=-a(a0)2）积的平方根与商的平方根ab=ab（a0，b0）a/b=a/b（a0，b0）3）最简二次根式条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a0）、x+y 等；IV.IV.二次根式的乘法和除法二次根式的乘法和除法1 运算法则ab=ab（a0，b0）a/b=a/b（a0，b0）二数二次根之积，等于二数之积的二次根。2 共轭因式如

27、果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做共轭因式，也称互为有理化根式。V.V.二次根式的加法和减法二次根式的加法和减法1 同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。2 合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。VII.VII.分母有理化分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式如:a/b=ab/bb=ab/b如图i.w.II.分母是多项式要利用平方差公式如 1/ab=ab/(ab)(a

28、b)=ab/ab如图根式中不能含有分母,分母中不能含有根式.第四章一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高项的次数的和是2 次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高项的次数和是 2；(3)是整式方程要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理如果能整理为ax2+bx+c=0(a 0)的形式，则这个方程就为一元二次方程（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0 时，应满足（a0）ax2+bx+c=0（a、b、c 是实数 a0)一般解法一般解法1.1.配方法配方法（可解全部一元二次方程）如

29、：解方程：x2+2x 3=0解：把常数项移项得：x2+2x=3等式两边同时加 1（构成完全平方式）得：x2+2x+1=4因式分解得：（x+1）2=4解得：x1=-3,x2=1i.w.用配方法解一元二次方程小口诀用配方法解一元二次方程小口诀二次系数化为一常数要往右边移一次系数一半方两边加上最相当2.2.公式法公式法（可解全部一元二次方程）其公式为 x（-b（b24ac）/2a3.3.因式分解法因式分解法（可解部分一元二次方程）（因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。如：解方程：x2+2x+1=0解：利用完全平方公式因式分解得：（x+

30、1）2=0解得：x1=x2=-14.4.开方法开方法（可解全部一元二次方程）5.5.代数法代数法（可解全部一元二次方程）ax2+bx+c=0同时除以 a，可变为 x2+bx+c=0设：xy-b/2方程就变成：(y2+b2/4-by)+(by+b2/2)+c=0再变成：y2+(b2*3)/4+c=0y=(b2*3)/4+c如何选择最简单的解法：如何选择最简单的解法：1、看是否可以直接开方解；2、看是否能用因式分解法解（因式分解的解法中，先考虑提公因式法，再考虑平方公式法，最后考虑十字相乘法）；3、使用公式法求解；4、最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）。一元

31、二次方程的判断式：一元二次方程的判断式：b2-4ac0方程有两个不相等的实数根b2-4ac 0 方程有两个相等的实数根b2-4ac0方程有两个共轭的虚数根（初中可理解为无实数根）上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边列一元二次方程解题的步骤列一元二次方程解题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；i.w.(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答案是否符合题意，并做答韦达定理 X1+X2=-b/aX1*X2=c/a第五章 中心对称图形(二)圆定义圆的定义有 2其一：平

32、面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360，留下的轨迹叫圆。概括概括把一个圆按一条直线对折过去，并且完全重合，展开再换个方向对折，折出后，这些折痕相交的一个点，叫做圆心，用字母O 表示。连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，用字母 r 表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d 表示。圆心定圆的位置，半径和直径定圆的大小。在同一个圆或等圆中，半径都相等，直径也都相等，直径是半径的2 倍，半径是直径的1/2。用字母表示是：d=2r 或 r=d/2圆的相关量圆的相关量圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率，它是一个无限不循环的小数通常用

33、 表示，=3.1415926535.，在实际应用中我们只取它的近似值，即 3.14（在奥数中一般 只取 3、3.1416 或 3.14159）圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦，弦不能过圆心（过圆心的为直径）。i.w.圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的切圆，其圆心称为心。扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧

34、面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。【圆和圆的相关量字母表示方法】圆 半径r 或 R（在环形圆中外环半径表示的字母）弧 直径d扇形弧长圆锥母线 l 周长C 面积S【圆和其他图形的位置关系】【圆和其他图形的位置关系】圆和点的位置关系：以点 P 与圆 O 的为例（设 P 是一点，则 PO 是点到圆心的距离），P 在O 外，POr；P 在O 上，POr；P 在O，POr。直线与圆有 3 种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB 与圆 O 为例（设 OPAB 于 P，则 P

35、O 是 AB 到圆心的距离）：AB 与O 相离，POr；AB 与O 相切，POr；AB 与O 相交，POr。两圆之间有 5 种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之叫含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之叫切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R 和 r，且 Rr，圆心距为 P：外离 PR+r；外切 P=R+r；相交 R-rPR+r；切 P=R-r；含 PR-r。【圆的平面几何性质和定理】【圆的平面几何性质和定理】一有关圆的基本性质与定理圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360 度后得到圆。圆与直线相切圆的对称性质：

36、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 2 条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2 条弧。i.w.有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90 度的圆周角所对的弦是直径。如果一条弧的长是另一条弧的2 倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2 倍。有关外接圆和切圆的性质和定理一个三角形

37、有唯一确定的外接圆和切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；切圆的圆心是三角形各角平分线的交点，到三角形三边距离相等。R=2S L（R：切圆半径，S：面积，L：周长）两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）圆 O 中的弦 PQ 的中点 M，过点 M 任作两弦 AB，CD，弦 AD 与 BC 分别交 PQ 于 X，Y，则 M 为 XY 之中点。（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。（8）圆角

38、的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。（9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。有关切线的性质和定理圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。有关圆的计算公式1.圆的周长 C=2r=d 2.圆的面积 S=r2;3.扇形弧长 l=nr/1804.扇形面积

39、 S=(nr2)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积 S=rl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r 是底面半径,l 是母线长)平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。圆心：圆中心固定的一点叫做圆心。用字母o 或表示直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d 表示。半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母 r 表示。i.w.圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2 倍，半径是直径的二分之一.d=2r 或 r=二分之 d圆的半径或直径决定圆

40、的大小，圆心决定圆的位置。圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C 表示。圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数，用字母 表示。计算时，通常取它的近似值，3.14。直径所对的圆周角是直角。90 的圆周角所对的弦是直径。圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。r2，用字母 S 表示。一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。九年级下册第六章二次函数1.定义：一般地，如果y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当a

41、0时，开口向上；当a 0时，开口向下；2a相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a 0时开口向上当a 0时开口向下对称轴顶点坐标（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)y ax2y ax ky ax h2x 0（y轴）2x 0（y轴）x hx hx b2ay ax h k2y ax2bx cb4ac b2，()2a4a4.求抛物线的顶点、对称轴的方法b4ac b2b 4ac b22（，）（1）公式法：y ax bx c ax，顶点是，2a4a2a4a2i.w.对称轴是直线x b.

42、2a2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。(x2,y)（及y值相同）若已知抛物线上两点(x1,y)、，则对称轴方程可以表示为：x1 x2229.抛物线y ax bx c中，a,b,c的作用x（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax bx c的对称轴是直线22bb，故：b 0时，对称轴为y轴；0（即a、b同号）时，对称轴a2ab在y轴左侧；0（即a、

43、b异号）时，对称轴在y轴右侧.a2（3）c的大小决定抛物线y ax bx c与y轴交点的位置.x 当x 0时，y c，抛物线y ax bx c与y轴有且只有一个交点（0，c）：c 0，抛物线经过原点;c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y ax bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22b 0.a2（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y a

44、x x1x x2.12.直线与抛物线的交点2（1）y轴与抛物线y ax bx c得交点为(0,c).（2）抛物线与x轴的交点二次函数y ax bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程2ax2bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点(0)抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切；没有交点(0)抛物线与x轴相离.i.w.（3）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax bx

45、c k的两个实数根.（4）一次函数y kx nk 0的图像l与二次函数y ax bx ca 0的图像G22的交点，由方程组y kxny ax2bxc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.（5）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y ax bx c与x轴两交点为2Ax1，0，Bx2，0，则AB x1x2第七章 锐角三角函数锐角角 A 的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割 csc）都叫做角 A 的锐角三角函数。正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边正切等于对

46、边比邻边；余切等于邻边比对边正割等于斜边比邻边余割等于斜边比对边正切与余切互为倒数，2 2、互余角的三角函数间的关系。、互余角的三角函数间的关系。sin(90-)=cos,cos(90-)=sin,tan(90-)=cot,cot(90-)=tan.3 3、同角三角函数间的关系、同角三角函数间的关系平方关系：sin2()+cos2()=1tan2()+1=sec2()cot2()+1=csc2()积的关系：sin=tancoscos=cotsintan=sinseccot=coscscsec=tancsccsc=seccoti.w.倒数关系：tancot=1sincsc=1cossec=1直角

47、三角形 ABC 中,角 A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边,余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边,余切等于邻边比对边4 4、三角函数值、三角函数值（1）特殊角三角函数值（2）090的任意角的三角函数值，查三角函数表。（3）锐角三角函数值的变化情况（i）锐角三角函数值都是正值（ii）当角度在 090间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（iii）当角度在 090间变化时，0sin1,1cos0,当角度在 00,cot 0.i.w.