初高中数学衔接---二次函数.pdf

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1、.初高中数学衔接初高中数学衔接-二次函数部分二次函数部分知识梳理知识梳理知识点知识点 1 1二次函数的图象和性质1.二次函数的定义与解析式(1)二次函数的定义形如：f(x)axbxc(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)axbxc(a0).顶点式：f(x)a(xm)n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)点评：点评：.求二次函数解析式的方法：待定系数法求二次函数解析式的方法：待定系数法.根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的根据所给条件的特征，可选择一般式、顶点式或零点式中的一种来求一种来求.已知三个点的坐标时，宜用一般式已知三

2、个点的坐标时，宜用一般式.已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小小)值有关时，常使用顶点式值有关时，常使用顶点式.已知二次函数与已知二次函数与x x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f f(x x)更方便更方便.2.二次函数的图象和性质图象函数性质定义域222a0 x xR(R(个别题目有限制的，由解析式确定个别题目有限制的，由解析式确定)a0a04acby(，4a2值域值域奇偶性奇偶性4acby，)4a2b b0 0 时为偶函数，时为偶函数，b b0 0 时既非奇函数也非偶函数时既非奇函数

3、也非偶函数a0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|.22.|x1x2|.|a|知识点知识点 2 2二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系当 0f(x)ax2bx c的图像与 x 轴无交点ax2bx c 0无实根ax2bxc 0(0)的解集为或者是 R;当 0f(x)ax2bx c的图像与 x 轴相切ax2bx c 0有两个相等的实根ax2bxc 0(0)的解集为或者是 R;当 0f(x)ax2bx c的图像与 x 轴有两个不同的交点ax2bx c 0有两个不等的实根ax2bxc 0(0)的解集为(,)

4、()或者是(,)(,)。(初中没有的初中没有的)知识点知识点 3 3一元二次方程一元二次方程ax2bx c 0实根分布的充要条件实根分布的充要条件一般地对于含有字母的一元二次方程ax2bx c 0的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)ax2bx c（a 0）（同理讨论a 0的结论）0 0(1)x1,x2,x2,则b/(2a)f()0f()0 0f()0 f()0(3)x1,x2,则 (4)x1(),则f()0f()0 b/(2a)(5）若 f(x)=0 在区间(,)内只有一个实根，则有f()f)0点评：点评：（1）讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的

5、函数值的符号；对称轴与区间的相对位置在讨论过程中，注意应用数形结合的思想.(初中没有的初中没有的)知识点知识点 4 4二次函数二次函数y ax bx ca 0在闭区间在闭区间p,q上的最值上的最值2二次函数y ax bx ca 0在闭区间p,q上的最值一般分为三种情况讨论：2（1）若对称轴x b在区间左边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较f(p),f(q)的大小即可决定函数2ab在区间右边，则函数在此区间上具有单调性，只需比较f(p),f(q)的大小即可决定函数2a的最大（小）值；（或利用函数的单调性直接决定函数的最大（小）值）（2）若对称轴x 的最大（小）值；.（3）若对称轴xbb在区间

6、内，则f()是函数的最小值（a 0）或最大值（a 0），再比较f(p),f(q)的2a2a大小决定函数的最大（小）值。点评：点评：（1）两个重要的结论：连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值；单调连续函数在闭区间的两个端点处取得最值。b与区间p,q2a的相对位置的讨论，尤其当顶点横坐标是字母时，则应抓住讨论的基点进行讨论。特别要注意二次项系数a的符号（2）二次函数y ax bx ca 0在闭区间p,q上的最值的讨论的基点是对称轴x 2对抛物线开口及结论的影响。题型一题型一求二次函数的解析式求二次函数的解析式例 1已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是 8，试确定

7、此二次函数.解方法一设f(x)axbxc(a0)，4a2bc1，abc1，依题意有4acb4a8，222a4，解之，得b4，c7，所求二次函数为y4x4x7.方法二设f(x)a(xm)n，a0.2111f(2)f(1)，抛物线对称轴为x.m.222212又根据题意函数有最大值为n8，yf(x)ax8.212f(2)1，a281，解之，得a4.2122f(x)4x84x4x7.2方法三依题意知：f(x)10 的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)，a0.即f(x)ax2ax2a1.4a2a1a又函数有最大值ymax8，即8，4a解之，得a4 或a0(舍去)函数解析式为f(x)

8、4x4x7.探究提高二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)axbxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xh)k(a0)；(3)两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).题型二题型二二次函数的单调性二次函数的单调性2例 2已知函数f(x)x2ax3，x4,6.(1)当a2 时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数；.2222.(3)当a1 时，求f(|x|)的单调区间.解(1)当a2 时，f(x)x4x3(x2)1，由于x4,6，f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)1

9、5，故f(x)的最大值是 35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4 或a6，即a6 或a4.(3)当a1 时，f(x)x2x3，f(|x|)x2|x|3，此时定义域为x6,6，x2x3，x0，6且f(x)2x2x3，x6，022222，f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0变式训练变式训练 2 2：（1）.已知函数f(x)x2(a1)x2 在区间(，3上是减函数，则实数a的取值范围为_(，2_题型三题型三二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上的最值例例 3 3（1）设函数 f(x)=x-2x+2，xt，t+

10、1的最小值为 g(t)，求 g(t)的解析式。22解：解：（1）f(x)=x-2x+2=(x-1)+1，顶点坐标为(1，1)当 t+11，即 t0 时，g(t)=f(t+1)=t+1当t1t+1即 0t1 时，g(t)=f(1)=1；2当 t1，函数在t，t+1上为增函数，g(t)=f(t)=t-2t+2，222t21(t 0),g(t)=1(0 t 1),t2 2t 2(t 1).探究提高(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性

11、问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.变式训练变式训练 3 3：（1）已知函数f(x)4x4ax4aa在区间0,1内有一个最大值5，求a的值.222解f(x)4x4a，对称轴为x，顶点为，4a.222当 0，即a0 时，f(x)在区间0,1上递减，此时f(x)maxf(0)4aa.2令4aa5，即a4a50，a5 或a1(舍去)22aaaa2a5a当 0 1，即 0a2 时，ymaxf 4a，令4a5，a(0,2)242当 1，即a2 时，f(x)在区间0,1上递增ymaxf(1)4a.令4a5，2a12xm恒成立，求实数m的取值范围.解(1)由f(0)1 得，c1.f(x)ax

12、bx1.又f(x1)f(x)2x，a(x1)b(x1)1(axbx1)2x，即 2axab2x，2a2，ab0，2222a1b1.2因此，f(x)xx1.2(2)f(x)2xm等价于xx12xm，即x3x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x3x1m在1,1上的最小值大于 0 即可g(x)x3x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10 得，m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)题型五题型五二次函数与不等式二次函数与不等式例例 8 8 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x2x（1）求函数g(x)的解析式；（2）解不等式g(x)

13、f(x)|x1|；（3）若h(x)g(x)f(x)1 在1，1上是增函数，求实数的取值范围2222x0 x 0,x0 x,2y f xQ x,yP x,y解：解：（1）设函数即 的图象上任意一点00关于原点的对称点为，则y yy y.0 0,02点Qx0,y0在函数y fx的图象上，y x 2x，即y x 2x,故gx x 2x。222（2）由gx fx x1，可得2x x1 0。222当x1时，2x x1 0，此时不等式无解当x1时，2x x1 0，解得1 x 11原不等式的解集为1,22（3）hx 1x2 21x 1，当 1时，hx 4x 1在1,1上是增函数，1.当 1时，对称轴的方程为

14、x1.11）当 1时,1,解得 1.11）当 1时,1,解得1 0.综上，0.1探究提高二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体.因此，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一.本题充分体现了分类讨论的思想方法.在解答本题时有两点容易造成失分：一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结

15、论.除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分：1.含绝对值问题，去绝对值符号，易出现计算错误；2.分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较出大小关系；3.解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻.方法与技巧1.数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常结合图形寻找思路.2.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，又例如涉及二次不等式需讨论根的大小等.3.关于二次函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(

16、x1)f(x2)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xx1x22.(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数).(3)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(x2a)f(x)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数).注意：注意：(2)(3)(2)(3)中，中，f f(a ax x)f f(a ax x)与与f f(x x2 2a a)f f(x x)是等价的是等价的.(4)(4)利用配方法求二次函数利用配方法求二次函数y yaxaxbxbxc c(a a0)0)对称轴方程为对称轴方程为x

17、 x；2 2a a(5)(5)利用方程根法求对称轴方程利用方程根法求对称轴方程.若二次函数若二次函数y yf f(x x)对应方程对应方程f f(x x)0 0 的两根为的两根为x x1 1、x x2 2，那么函数，那么函数y yf f(x x)图象的对称轴方程为图象的对称轴方程为x x失误与防范1.求二次函数的单调区间时要经过配方法，要熟练准确利用配方法.2 2b bx x1 1x x2 22 2.2.对于函数yaxbxc要认为它是二次函数，就必须认定a0，当题目条件中未说明a0 时，就要讨论2a0 和a0 两种情况.4acb3.对于二次函数yaxbxc(a0)给定了定义域为一个区间k1，k

18、2时，利用配方法求函数的最值4a22是极其危险的，一般要讨论函数图象的对称轴在区间外、内的情况，有时要讨论下列四种情况：k1；k12a2abb k1k22；k1k22bb0，二次函数f(x)axbxc的图象可能是 (D)22.函数f(x)xmx1 的图象关于直线x1 对称的充要条件是 (A)A.m2B.m2 C.m122D.m13.设二次函数f(x)ax2axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是(D)A.(，0 B.2，)C.(，02，)D.0,24.已知函数f(x)2mx2(4m)x1，g(x)mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实

19、数m的取值范围是A.(0,2)二、填空题二、填空题7.若二次函数f(x)axbx2 满足f(x1)f(x2)，则f(x1x2)_2_.8.若函数yx(a2)x3，xa，b的图象关于直线x1 对称，则b_6_.9.二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，则它的解析式为_y=10.若函数ymxx5 在2，)上是增函数，则m的取值范围是_0 m2222(B)D.(，0)B.(0,8)C.(2,8)1(x2)21_.21_.4强化训练强化训练(二二)1.下图所示为二次函数y=axbxc的图象，则OAOB等于（）2cD.无法确定acc解析：|OA|OB|=|OAOB|=|x1x2|=|=

20、（a0，c0）.答案：答案：B BaaA.B.C.caca.2.二次函数f(x)ax bxc(a 0)，若f(x1)f(x2)(x1x2)，则f(2x1 x2)等于（D）2bb4ac b2A B Cc D2aa4a3.若方程x2mx40 的两根满足一根大于 1，一根小于 1，则m的取值范围是(B)55A.，B.，C.(，2)(2，)22225D.，24函数f(x)|4xx|a恰有三个零点，则a_4_.2解析：先画出f(x)4xx的图象，再将x轴下方的图象翻转到x轴的上方，如图，ya过抛物线顶点时恰有三个交点，故得a的值为 425.二次函数y=ax+bx+c（xR）的部分对应值如下表：xy36220140616243046则不等式ax+bx+c0 的解集是_x|x3 或x2_.解析：由表知y=a（x+2）（x3），又x=0，y=6，代入知a=1.y=（x+2）（x3）.