直线的方程两直线的交点坐标与距离公式精.ppt

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1、直线的方程两直线的交点坐标与距离公式第1页，本讲稿共29页名称方程适用范围斜截式不能表示垂直于x轴的直线点斜式不能表示垂直于x轴的直线两点式不能表示垂直于坐标轴的直线截距式不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)能表示平面上任何直线y yk kx xb by yy y1 1k k(x xx x1 1)提示：提示：截距和距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与截距和距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y y轴的轴的交点的纵坐标，横截距是直线与交点的纵坐标，横截距是直线与x x轴的交点的横坐标；距离是一个非负数轴的交点的横坐标；距离是一个非负数第2页，本讲稿共

2、29页 线段的中点坐标公式线段的中点坐标公式若点若点P P1 1，P P2 2的坐的坐标标分分别为别为(x x1 1，y y1 1)，(x x2 2，y y2 2)且且线线段段P P1 1P P2 2的中点的中点MM的的坐坐标为标为(x x，y y)，则则x x 且且y y .直直线线l l1 1：A A1 1x xB B1 1y yC C1 10 0与与l l2 2：A A2 2x xB B2 2y yC C2 20 0的交点坐的交点坐标标就是方就是方程程组组 的的 .2 2解解3 3第3页，本讲稿共29页 距离公式距离公式(1)(1)两点间的距离公式：已知点两点间的距离公式：已知点A A(

3、x x1 1，y y1 1)、B B(x x2 2，y y2 2)，|ABAB|；(2)(2)点到直线的距离公式：已知点点到直线的距离公式：已知点P P(x x0 0，y y0 0)，直线，直线l l：AxAxByByC C0 0，则则d d ；(3)(3)两平行两平行线间线间的距离公式：已知直的距离公式：已知直线线l l1 1：AxAxByByC C1 10 0，直，直 线线l l2 2：AxAxByByC C2 20 0，则则d d .4 4第4页，本讲稿共29页【思考思考】在应用点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式在应用点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式时应注意什么问题？时

4、应注意什么问题？答案：答案：(1)(1)求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；(2)(2)求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算般形式后，才能套用公式计算第5页，本讲稿共29页1 1过点过点(1(1，1)1)和和(0(0，3)3)的直线在的直线在y y轴上的截距为轴上的截距为()A A B.B.C C3 3 D D3 3解析：解析：由斜率公式求得由斜率公式求得k k2 2，直线方程为：直线方程为：y y3 32 2x x令令x x0 0，y y3.3

5、.答案：答案：D D第6页，本讲稿共29页若三条直线若三条直线2 2x x3 3y y8 80 0，x xy y1 10 0和和x xk ky yk k 0 0相交相交于一点，则于一点，则k k等于等于()解析：解析：由由 得得(1 1，2)2)，代入，代入x xk ky yk k得得k k答案：答案：B B2 2第7页，本讲稿共29页已知点已知点A A(1,2)(1,2)、B B(3,1)(3,1)，则线段，则线段ABAB的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为()A A4 4x x2 2y y5 5 B B4 4x x2 2y y5 5C Cx x2 2y y5 5 D Dx x2 2y

6、y5 5解析：解析：k kABAB 则线段则线段ABAB的垂直平分线的斜率的垂直平分线的斜率k k2 2，又线段，又线段ABAB的的中点坐标为中点坐标为 则线段则线段ABAB的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为y y 2(2(x x2)2)，即，即4 4x x2 2y y5.5.答案：答案：B B3 3第8页，本讲稿共29页已知点已知点(a,a,2)(2)(a a0)0)到直线到直线l l：x xy y1 10 0的距离为的距离为2 2，则则a a等于等于_解析：解析：由点到直线的距离公式得：由点到直线的距离公式得：|a a1|1|2 2 ，又，又a a0 0，a a1 12 2答案：答案：1

7、 12 24 4第9页，本讲稿共29页确确定定一一条条直直线线需需要要两两个个独独立立条条件件，故故求求直直线线方方程程时时就就应应围围绕绕如如何何根根据据已已知知条条件件确确定定或或找找出出能能确确定定直直线线方方程程的的两两个个条条件件，从从而而达达到到求求出出直直线线方方程程的的目目的的一一般般地地，已已知知直直线线过过一一点点，一一般般考考虑虑点点斜斜式式或或斜斜截截式式；已已知知直直线线过过两两点点，一一般般考考虑虑两两点点式式；已已知知直直线线与与两两坐坐标标轴轴相相交交得得到到的的三三角角形形的的相相关关条件，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式条件，一般考虑截

8、距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式第10页，本讲稿共29页 求经过点求经过点P P(3,2)(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程思维点拨：思维点拨：选择截距式和斜截式均可选择截距式和斜截式均可解：解法一：解：解法一：设直线设直线l l在在x x，y y轴上的截距均为轴上的截距均为a a，若若a a0 0，即，即l l过点过点(0,0)(0,0)和和(3,2)(3,2)，l l的方程为的方程为y y 即即2 2x x3 3y y0.0.若若a a0 0，则设，则设l l的方程为的方程为l l过点过点P P(3,2)(3,2)，a a5 5，

9、l l的方程为的方程为x xy y5 50 0，综上可知，直线综上可知，直线l l的方程为的方程为2 2x x3 3y y0 0或或x xy y5 50.0.【例例1 1】第11页，本讲稿共29页解法二：解法二：由题意，所求直线的斜率存在且由题意，所求直线的斜率存在且k k0 0，设直线方程为设直线方程为y y2 2k k (x x3)3)，令令y y0 0，得得x x3 3 ，令令x x0 0，得得y y2 23 3k k，由已知由已知3 3 2 23 3k k，解得解得k k1 1或或k k 直线直线l l的方程为的方程为：y y2 2(x x3)3)或或y y2 2 (x x3)3)即即

10、x xy y5 50 0或或2 2x x3 3y y0.0.第12页，本讲稿共29页 求经过点求经过点A A(1,2)(1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程的直线方程解：解：当直线过原点时，截距相等且均为零截距，当直线过原点时，截距相等且均为零截距，直线方程为直线方程为y y2 2x x.当直线不过原点时，可设方程为：当直线不过原点时，可设方程为：1 1，将将(1,2)(1,2)代入可求得代入可求得a a3 3或或a a1 1，直线方程为直线方程为x xy y3 3或或x xy y1.1.故所求直线方程为故所求直线方程为2 2x xy

11、y0 0或或x xy y3 30 0或或x xy y1 10.0.拓展拓展1 1：第13页，本讲稿共29页求直线的方程，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法确定其求直线的方程，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法确定其中的参数，待定系数法求直线方程的步骤：中的参数，待定系数法求直线方程的步骤：设出所求直线方程；设出所求直线方程；由条件建立所求参数的方程由条件建立所求参数的方程(组组)；解这个方程解这个方程(组组)求出参数；求出参数；把参数的值代入所设的方程把参数的值代入所设的方程第14页，本讲稿共29页 直线直线l l经过点经过点P P(3,2)(3,2)且与且

12、与x x，y y轴的正半轴分别交于轴的正半轴分别交于A A、B B两点，两点，OABOAB的面积为的面积为1212，求直线，求直线l l的方程的方程思维点拨：思维点拨：题中题中OABOAB的面积与截距有关，自然联想到直线方程的截距式的面积与截距有关，自然联想到直线方程的截距式【例例2 2】解：解法一解：解法一：设直线：设直线l l的方程为的方程为 1(1(a a00，b b0)0)，A A(a,a,0)0)，B B(0(0，b b)，所求直线所求直线l l的方程为的方程为 1 1，即即2 2x x3 3y y12120.0.第15页，本讲稿共29页解法二：解法二：设直线设直线l l的方程为的方

13、程为y y2 2k k (x x3)3)，令令y y0 0，得直线，得直线l l在在x x轴的正半轴上的截距轴的正半轴上的截距a a3 3令令x x0 0，得直线，得直线l l在在y y轴的正半轴上的截距轴的正半轴上的截距b b2 23 3k k，(2(23 3k k)2424，解得，解得k k所求直线所求直线 l l 的方程为的方程为y y2 2 (x x3)3)，即即2 2x x3 3y y12120.0.第16页，本讲稿共29页 一条直线一条直线l l过点过点P P(1,4)(1,4)，且分别交且分别交x x轴轴，y y轴的正半轴于轴的正半轴于A A、B B两点两点，O O为原点，求为原

14、点，求AOBAOB的面积最小时直线的面积最小时直线l l的方程的方程解：解：设直线设直线l l：1(1(a a，b b0)0)因为点因为点P P(1,4)(1,4)在在l l上上，所以所以 1.1.由由1 1所以所以S SAOBAOB abab8.8.当当 即即a a2 2，b b8 8时取等号，且此时时取等号，且此时AOBAOB的面积最小的面积最小故故4 4x xy y8 80 0为所求直线为所求直线l l的方程的方程.变式变式2 2：第17页，本讲稿共29页应用点到直线的距离公式和两平行线的距离公式处理问题时，直线方程应应用点到直线的距离公式和两平行线的距离公式处理问题时，直线方程应 化为

15、一般式，特别是两平行线距离公式中化为一般式，特别是两平行线距离公式中x x、y y系数必须相等系数必须相等 过过点点P P(1,2)1,2)引引一一直直线线，使使它它与与两两点点A A(2,3)(2,3)，B B(4,5)4,5)的的距距离离相相等等，求求 这这条条直直线线方程方程【例例3 3】第18页，本讲稿共29页解：解法一：解：解法一：设直线设直线l l的方程为的方程为y y2 2k k (x x1)1)，即即k kx xy yk k2 20.0.由题意知由题意知即即|3|3k k1|1|3 3k k3|3|，k k 直线直线l l的方程为的方程为y y2 2即即x x3 3y y5 5

16、0.0.当直线当直线l l的斜率不存在时，直线方程为的斜率不存在时，直线方程为x x1 1，也适合题意，也适合题意故所求直线方程为故所求直线方程为x x3 3y y5 50 0或或x x1.1.解法二：解法二：当当ABABl l时，有时，有k kk kABAB直线直线l l的方程为的方程为y y2 2 即即x x3 3y y5 50.0.当当l l过过ABAB中点时中点时，ABAB中点为中点为(1,4)1,4)直线直线ABAB方程为方程为x x1 1，故所求直线故所求直线l l的方程为的方程为x x3 3y y5 50 0，或，或x x1.1.第19页，本讲稿共29页在在对对称称问问题题中中，

17、点点关关于于直直线线的的对对称称是是最最基基本本也也是是最最重重要要的的对对称称，处处理理这这种种问问题题关关键键是是抓抓住住垂垂直直与与平平分分两两个个几几何何条条件件，转转化化为为代代数数关关系系列列方方程程求求解解；也也可可以以先先求求出出过过点点A A与与l l垂垂直直的的直直线线方方程程，再再求求中中点点坐坐标标，处处理理线线关关于于线线的的对对称称可可以以转转化化为为点点关关于于直直线线的的对对称称问问题题来来解解决决；直直线线关关于于点点的的对对称称都都可可转转化化为为点点关关于于点点的的对对称称来来处处理理，结合结合“代入法代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法

18、求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法第20页，本讲稿共29页 求直线求直线l l1 1：y y2 2x x3 3关于直线关于直线l l：y yx x1 1对称的直线对称的直线l l2 2的方程的方程思维点拨：思维点拨：转化为点关于直线的对称，利用方程组求解转化为点关于直线的对称，利用方程组求解解：解：解法一：由解法一：由知直线知直线l l1 1与与l l的交点坐标为的交点坐标为(2 2，1)1)，设直线设直线l l2 2的方程为的方程为y y1 1k k (x x2)2)，即即k kx xy y2 2k k1 10.0.在直线在直线l l上任取一点上任取一点(1,2)(1,2)，由题

19、设知点由题设知点(1,2)(1,2)到直线到直线l l1 1、l l2 2的距离相等，的距离相等，由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得解得解得k k (k k2 2舍去舍去)，直线直线l l2 2的方程为的方程为x x2 2y y0.0.【例例4 4】第21页，本讲稿共29页解法二：解法二：设所求直线上一点设所求直线上一点P P(x x，y y)，则在直线则在直线l l1 1上必存在一点上必存在一点P P1 1(x x0 0，y y0 0)与点与点P P关于直线关于直线l l对称对称由题设：直线由题设：直线PPPP1 1与直线与直线l l垂直，且线段垂直，且线段PPPP1 1的中点的中

20、点P P2 2在直线在直线l l上上代入直线代入直线l l1 1：y y2 2x x3 3，得，得x x1 12 2(y y1)1)3 3，整理得，整理得x x2 2y y0.0.所以所求直线方程为所以所求直线方程为x x2 2y y0.0.第22页，本讲稿共29页【方法规律方法规律】1 1直线一定有倾斜角，但不一定都存在斜率；因此在求直线方程时，一直线一定有倾斜角，但不一定都存在斜率；因此在求直线方程时，一定要判断所求直线是否存在斜率，若斜率存在时再选择适当的方程形式定要判断所求直线是否存在斜率，若斜率存在时再选择适当的方程形式求直线方程求直线方程2 2求直线方程中一种重要的方法就是先设直线

21、方程，再求直线方程中的求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法系数，这种方法叫待定系数法3 3重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线上设一任意点重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线上设一任意点P P(x x，y y)，再找出再找出x x，y y的一次关系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直线关的一次关系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求.第23页，本讲稿共29页【高考真题高考真题】(2009(2009全国全国卷卷)若直线若直线m m被两平行线被两平行线l l

22、1 1：x xy y1 10 0与与l l2 2：x xy y3 30 0所截得的线段所截得的线段的长为的长为2 2 则则m m的倾斜角可以是的倾斜角可以是15153030454560607575其中正确答案的序号是其中正确答案的序号是(写出所有正确答案的序号写出所有正确答案的序号)第24页，本讲稿共29页【规范解答规范解答】解析：解析：两平行线间的距离为两平行线间的距离为d d 如图所示，可知直线如图所示，可知直线m m与与l l1 1、l l2 2的夹角为的夹角为3030，l l1 1、l l2 2的倾斜角为的倾斜角为4545，所以直线，所以直线m m的倾斜角等于的倾斜角等于3030454

23、57575或或4545303015.15.故填故填.答案：答案：点评：点评：最常出现的错误就是漏解最常出现的错误就是漏解第25页，本讲稿共29页【探究与研究探究与研究】本本题题的的目目的的是是考考查查考考生生利利用用直直线线的的斜斜率率、直直线线的的倾倾斜斜角角、两两条条平平行行线线间间的距离等基础知识灵活解决问题的能力及数形结合思想的运用的距离等基础知识灵活解决问题的能力及数形结合思想的运用第26页，本讲稿共29页该类问题的一般解决方法是通过数形结合转化为两直线该类问题的一般解决方法是通过数形结合转化为两直线的夹角问题如图所示，设直线的夹角问题如图所示，设直线m m被两条平行线被两条平行线l

24、 l1 1、l l2 2所所截得的线段长度为截得的线段长度为l l ，两平行线间的距离是，两平行线间的距离是d.d.当当l l=d=d时，时，直线直线m m与与l l1 1、l l2 2垂直，根据垂直关系解决；垂直，根据垂直关系解决；当当l l dd时，根据图中的直角三角形可以求出直线时，根据图中的直角三角形可以求出直线m m与直与直线线l l1 1、l l2 2的夹角，根据这个夹角和直线的夹角，根据这个夹角和直线l l1 1、l l2 2的倾斜角就可以求出直线的倾斜角就可以求出直线m m的倾斜角的倾斜角第27页，本讲稿共29页本题也可以直接设出直线方程求解：当直线本题也可以直接设出直线方程求

25、解：当直线m m的斜率不存在时，不妨设直线的斜率不存在时，不妨设直线m m的方程为的方程为x x0 0，此时直线，此时直线m m与直线与直线l l1 1，l l2 2的交点是的交点是(0,1)(0,1)，(0,3)(0,3)，这两点之间的距离为，这两点之间的距离为2 2，不等于，不等于2 2 故直线故直线m m的斜率一定存在设直线的斜率一定存在设直线m m：y ykxkx(这样设不失一般性这样设不失一般性)，与，与l l1 1的方程联的方程联立得交点坐标是立得交点坐标是 与与l l2 2的方程联立得交点坐标是的方程联立得交点坐标是 根据两点间的距离公式得根据两点间的距离公式得 ,化简，得化简，得k k2 24 4k k1 10 0，解得，解得k k22 故直线故直线m m的倾斜角是的倾斜角是1515或或75.75.第28页，本讲稿共29页【技巧点拨技巧点拨】一条直线被两条平行线所截得的线段和这两条平行线间的垂线段可以放一条直线被两条平行线所截得的线段和这两条平行线间的垂线段可以放到一个直角三角形中，这时这个直角三角形是完全已知的，可以通过这到一个直角三角形中，这时这个直角三角形是完全已知的，可以通过这个直角三角形和已知直线的倾斜角解决这类问题数形结合是解决解析个直角三角形和已知直线的倾斜角解决这类问题数形结合是解决解析几何问题的有效手段几何问题的有效手段.第29页，本讲稿共29页