几何分布的定义以及期望与方差的证明.pdf

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1、如果本文档对你有帮助，请下载支持，谢谢！几何分布的定义以及期望与方差几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验 k 次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1 次皆失败，第 k 次成功的概率。公式：它分两种情况：1.得到 1 次成功而进行，n 次伯努利实验，n 的概率分布，取值范围为1，2，3，.;2.m=n-1 次失败，第 n 次成功，m 的概率分布，取值范围为0，1，2，3，.由两种不同情况而得出的期望和方差如下：,;,。概率为 p 的事件 A，以 X 记 A 首次发生所进行的试验次数，则X 的分布列：，具有这

2、种分布列的随机变量 X，称为服从参数 p 的几何分布，记为 XGeo(p)。几何分布的期望，方差。高中数学教科书新版第三册（选修 II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E1 p1，（2）D，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。pp2p，知（1）由P(k)qk1下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记两式相减，得由0 p 1，知0 q 1，则limq 0，故kk从而E1pa1(|q|1)（见教科书 91 页阅读材料），推导如下：1 q也可用无穷等比数列各项和公式S 记S 1 2q 3q kq相减，2k1如果本文档对你有帮助，请下载支持，谢谢！则S

3、 11(1 q)2p2nn1还可用导数公式(x)nx上式中令x q，则得，推导如下：（2）为简化运算，利用性质D E(E)来推导（该性质的证明，可见本刊6 页）。可见关键是求E。2k1222对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q(kqk)，并用倍差法求和，有则E p(22 p2 p2 p121 p22)D E(E)()2，因此pp3p2p2p利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。例例 1.1.一个口袋内装有 5 个白球和 2 个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望E与方差D。解：每次从袋内取出白球的概率p 52，取出黑球

4、的概率q。的取值为 1，2，3，77有无穷多个。我们用 k表示前 k1 次均取到黑球，而第k 次取到白球，因此25P(k)qk1p ()k1()(k 1,2,3,)。可见服从几何分布。所以77例例 2.2.某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0p1）。他有10 发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。求他击中目标的期望。解：射手射击次数的可能取值为1，2，9，10。若 k(k 1,2,9)，则表明他前k 1次均没击中目标，而第 k 次击中目标；若 k10，则表明他前 9 次都没击中目标，而第10 次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为k1(1 p)p(k 1,2,9)P(k)9(1 p)(k 10)用倍差法，可求得如果本文档对你有帮助，请下载支持，谢谢！1(1 p)99(1 p)91(1 p)109所以Ep 10(1 p)2ppp说明：本例的试验是有限次的，并且P(10)(1 p)，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。9