2021年清华大学_杨虎_应用数理统计课后习题参考答案.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -习题一1 设总体 X 的样本容量n5 ，写出在以下4 种情形下样本的联合概率分布.1） X B (1、 p) ；2） X P () ；3） X U a、b；4） X N (、1) .解 设总体的样本为X 1 、 X 2 、 X 3 、 X 4 、 X 5 ，1）对总体X B(1、 p) ，P( X1nx1、 X 2x2 、 X 35x3 、 X 4x4 、 X 5x5)P( X ixi )i 1pxi (1i 1p)1 xip5x (11 5p)5(1 x )其中：xxi5 i 12）对总体X P()P( X1nx1

2、、 X 2x2、 X 35x3 、 X 4xix4 、 X 5x5 )P( X ii 15x5xi )ei 1xi .5exi .i 115其中：xxi5 i 13）对总体X U ( a 、 b)551、axib、i1、.、5f ( x1 、L、 x5 )f ( xi )i 1i 1 ba0 ，其他4）对总体X N (、1)f ( x 、L、 x )55f ( x )=xi21 e25/22exp1x2515iii 1i 122 i 12 为了讨论玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情形，现随机抽取20 个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1， 1， 1， 1， 2， 0，0， 1， 3，

3、1， 0， 0， 2， 4， 0， 3， 1， 4， 0， 2，写出样本频率分布.体会分布函数并画出图形.解 设 i (i =0、1、2、3、4)本频率分布表1.1：代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样第 1 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -表 1.1 频率分布表i01234个数67322if X0.30.350.150.10.1体会分布函数的定义式为：0、 xx(1)F ( x)k 、 xnnk1、xx kxx k1 、 k=1、2、L 、n1、，据此得出样本分布函数：0、

4、x00.3、0x10.65、1x20.8、2x30.9、3x41、x4F20 (x)Fn (x)x图 1.1 体会分布函数3 某地区测量了95 位男性成年人身高，得数据(单位： cm) 如下：组下限165167169171173175177组上限167169171173175177179第 2 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -人 数310212322115试画出身高直方图，它为否近似听从某个正态分布密度函数的图形.解图 1.2 数据直方图它近似听从均值为172，方差为5.64 的正态分布，即N

5、(172、5.64) .4 设总体 X 的方差为4，均值为，现抽取容量为100 的样本，试确定常数k，使得满意 P( Xk)0.9 .解PX -kPX5k 4 100P5k5 X5k因 k 较大，由中心极限定理、X4 100N (0、1) ：PX -k5k5k(5k)(1(5k)25k10.9第 3 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -所以：5k查表得： 5k0.951.65，k20.33.5 从总体X N (52、 6.3 )中抽取容量为36 的样本，求样本均值落在50.8 到 53.8 之间的概

6、率 .X52解P 50.8X53.8P1.14291.71436.32 / 36Q UX6.3252N (0、1)/ 36P50.8X53.8P1.1429U1.7143(1.7143)(1.1429）0.9564(10.8729)0.82936 从总体X N (20、3)中分别抽取容量为10 与 15 的两个独立的样本，求它们的均值之差的肯定值大于0.3 的概率 .解 设两个独立的样本分别为： 由题意知：X 和 Y 相互独立，且：X1、 K、 X10 与 Y1、K、Y15 ，其对应的样本均值为：X 和 Y .X N (20、3 ) ， Y10 N (20、 3 )15P( XY0.3)1P(

7、 XY0.3)XY0.31P()0.50.5Q XYXY 0.5 N (0、 0.5) N (0、1)P( XY0.3)22(0.4243)0.67447 设 X1 、K、 X 10 为总体102X N (0、 4) 的样本，试确定C，使得 P (X iC )0.05 .解 因 X i N (0、 4) ，就X i 2i 1N (0、1) ，且各样本相互独立，就有：第 4 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -X10i22(10)i 1222101 10C所以：P(X ii 1C )P(X i)4 i

8、 141 10ci1PX 20.054 i 141 10ciPX 20.954 i 14查卡方分位数表：c/4=18.31，就 c=73.24.8 设总体X具有连续的分布函数FX (x) ，X 1、K、 X n 为来自总体X 的样本，且EXi，定义随机变量：Y1、X iii0、X、i1、2、 L 、 n试确定统计量nYi 的分布 .i 1解由已知条件得：Yi B(1、 p)，其中 p1FX() .由于 X i 相互独立，所以Yi 也相互独立，再依据二项分布的可加性，有nYi 2i 1B(n、 p) ， p1F X () .9 设 X 1、K、 X n 为来自总体X 的样本，试求EX 、 DX

9、、 ES ；假设总体的分布为：1） X B( N、 p);2) X P();3) X U a、 b;4) X N (、1);解 1) EXEXNpDXES2DXNp (1p)nnDXNp(1p)2) EXEXDXDXnnES2DX3) EXEXab2第 5 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2DXbaDXn12n22baESDX124) EXEXDX1DXnn2ESDX110 设 X 1、K、 X n 为总体X N (、2) 的样本，求nE( Xii 1X )2与 Dn( Xii 1X )2；解n

10、222EXiXE(n1)S(n1)ESi 1(n1)DX(n1)2n2(n1)S2242DX iXD(n1)SDi 12(n1) S2n24又由于2 (n1) 、所以：DX iX2( n1)Yi 111 设X1、K、 X n 来自正态总体N (0、1) ，定义：1| X |、 Y1nX|in i 1| ，运算EY1、 EY2 .2解由题意知X N (0、1/n) ，令： YnX ，就 Y N (0、1)E YnE ( X )1| y |e2y 22 dy2ye202e t dt 20y22 dy22(1)2E (Y1 )2E (| X |)nE (Y2 )1nE| X i |n i 11nn

11、i 1E (| X i |)E ( X )2第 6 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -12 设X1 、K、 X n 为总体X N (、 4) 的样本，X 为样本均值，试问样本容量n 应分别2取多大，才能使以下各式成立：1） E | X解 1)|0.1 ；2）E | X|0.1； 3）P(| X|1)0.95 ；Q X N (、 4)4X N (、)XU N (0、1)n， 2 /n2E X24 EXn2 /n4DXn2 /nE2X2 /n所以： n2)令： XU N (0、1)4 100.1n40

12、2 /nE XE( U )1u2ue 2 du2 /n22u102u2e 2 du2所以： E X220.1n运算可得：n3)225PX1P1X1PnXn22 /n2nn22第 7 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2n10.952查表可得：nu0.97521.96、 n15.36，而 n 取整数，n16 .13 设( X 1、K、 X n ) 和(Y1 、K、 Yn) 为两个样本，且有关系式：Y1i2b( X ia ) （a、b 均为常数， b0 ），试求两样本均值X 和 Y 之间的关系，两样本

13、方差SX 和2SY 之间的关系 .1n1解 因：YX ian i 1 b1 1nXinab ni 11Xa b1所以：EYEXab即：21n21n11S2YYXaXaYiin1 i 11n1n1 i 1bb21=XXS22iXn1 i 1bb14 设X 1、K、 X 5 为总体X N (0、1)的样本 .1) 试确定常数c1 、 d1 ，使得c1 ( X 12X 2 )d1 ( X 3X 42X 5 )(n ) ，并求出 n ；22222) 试确定常数c2 ，使得c2 ( X 1X 2 ) /( X 3X 4X 5 )F (m 、 n) ，并求出 m 和 n .解 1）因： X 1X 2 N

14、(0、 2) ， X 3X 4X 5 N (0、3)标准化得：X 1X 2 2N (0、1) ， X 3X 43X 5 N (0、1)且两式相互独立2X1X 2故：X 3X 422X 5(2)23可得： c11， d121 ， n2.3222X 3X 42X522） 因： X 1X 2 (2) ，(1)，3第 8 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -X 2X 22所以：可得：12X 3X 43c3 、 m222X 52、 n F (2、1) ，1 .15 设 t p ( n)、 Fp (m 、 n)

15、 分别为 t 分布和 F 分布的 p 分位数，求证t( n) 2F(1、n) .1 p / 21 p证明设F1 p (1、n) ，就：P ( F)1pP(F)1pP(T)P(T)1p所以：tp (n)122P(T P(T)2p)1p2故：t12 ( n)p2F1 p (1、n) .16 设X 1 、 X 2 为来自总体X N (0、 1) 的一个样本，求常数c ，使：2P( X 1X) 22c0. 1.22( X 1X)( X 1X) 2解 易 知X 1X 2 N (0、 2) ，就 X1X 2 2N (0、1) ；同理 X1X 2 N (0、 2) ，就 X 1X 2 2N (0、1)又因：

16、Cov( X 1X 2 、 X1X 2 )0 ，所以 X 1X 2 与 X 1X 2 相互独立 .2P( X1X 2 )cP(1c)( X1X2 )c2222( X1X 2 )( X1X 2 )( X1X 2 )22P( X1X 2 )c( X1X 2 )1cX1(P( X1X 2 )22cX 2 )21c20.1第 9 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -所以：cF0.9(1、1）=39.91c运算得： c = 0.976.17设X1 、 X 2 、K、 X n 、 X n 1为 总 体X N (

17、、) 的 容 量 n1 的 样 本 ，2X 、 S为 样 本2( X 1 、K 、 X n ) 的样本均值和样本方差，求证：1） TnXn 1n1SX t (n1) ；2） XX n N (0、 n1) ；21n3） X 1Xn12 N (0、) .n解1）因：E ( XX )0 ， D ( XX )n12n 1n 1n所以：XX N (0、 n12 ) ， X n 1X N (0、1)n 1nn1nn12又：2S2 (n1)X n 1Xn且：与n1n12 相互独立S2所以：X n 1Xn12nnX n 1X t(n1)Sn122n1n1Sn122） 由 1）可得：XXn 1 N (0、)n3

18、） 因：E( X 1X )0 ，D( X 1X)n12n所以：X 1X N (0、 n12 )2n18 设 X 1 、K、 X n 为总体X N (、) 的样本， X 为样本均值，求n ，使得P(| X|0.25)0.95 .第 10 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解XQ U/nN (0、1)XPX0.25P0.25n0.25n/n20.25n10.95所以：0.25n0.975查表可得：0.25nu0.9751.96 ，即 n62 .19 设X1、 K、 Xn 为总体X U a、 b 的样本

19、，试求：1） X(1)的密度函数；2）X ( n) 的密度函数；解 因：X U a、 b ，所以 X 的密度函数为：f ( x)1、 xa 、 bba，0、 xa 、 b0、 xaxaF (x)、 axb ba1、 xb由定理：f (1) (x)n(1F ( x)n1 f ( x)bx n 11n()、 x a、bf( n ) (x)nn( F (x)baba0、 x1f ( x)a、 bxa n 11n()、 x baba0、 xa、b a、 b20 设X 1、K、 X 5 为总体X N (12、4) 的样本，试求：1） P ( X (1)解10) ；2）P ( X (5)15)Q X N

20、(12、 4)X i12 N (0、1)2第 11 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -PX (1)101PX (1)1051PX i10i1511PX i10i 15X1211Pi1i 121(1(1)515 (1)0.57855PX (5)15PX i15i 15X12Pii 121.525 (1.5)0.933250.707721 设 ( X 1、K布：、 X m 、 X m 1 、K、 X m n ) 为总体X N (0、) 的一个样本，试确定以下统计量的分mm222Y3X inXinX i

21、i 11m1m n1） Y1i 1； 2）Ym n2； 3）2m n2m2X i2mX imX ii 1ni m 1i m 1i m 1解 1）由于：mX i i 1N (0、 m2 )m2X im nX 2所以：mi 1mN (0、1) ，i m 1i2 (n)X im n且 i 1与X i相互独立，由抽样定理可得：22mi m 1mi 1mX inX iYi 1=m t (n)X1m nm n2i2mX 2ini m 1i m 11m221m n222）由于：2X i( m) ，2X i(n)i 1i m 1第 12 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可

22、编辑资料 - - - - - - - - - - - - -1m2且2X i与1m n 2X 2 相互独立，ii 1i m 1mm2nX i122Ximi 1所以：=i 1 F (m、 n)m n21m n2mX i2X in2i m 1i m 13）由于：mX i i 1N (0、 m2 ) ，m nX ii m 1 N (0、 n)所以：m2(X i )i 1m22 (1) ，m n(i m 1nX )2i22 (1)2m(X i )m n2(X i )且i 1m 2与i m 1n 2相互独立，221m1m n2由卡方分布可加性得：XX2 (2) .i2imi 1ni m n22 设总体

23、X 听从正态分布N (、2 ) ，样本X 1 、 X 2 、 X n 来自总体X ，S2 为样本方差，问样本容量n 取多大能满意P(n1)S2232.670.95 ？解 由抽样分布定理：n12S22 (n1) 、 P ( n1232.67)0.95 、S2查表可得：n121， n22 .23 从两个正态总体中分别抽取容量为20 和 15 的两独立的样本，设总体方差相等，S2 、 S2 分别为两样本方差，求PS12.39.2122S22解 设 n =20， n =15 分别为两样本的容量，为总体方差，由题意，12(n1)S219S2( n1)S214S211 =1 2 (19)，22 =2 2

24、(14)222212又因 S2 、 S2分别为两独立的样本方差：19S1222192= S1 F (19、14)S214S21422SS22所以： P12.391P12.3910.950.05 .22S2S2第 13 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -24 设总体 X N (、2 ) ，抽取容量为20 的样本X 1 、 X 2 、 X 20 ，求概率2202( X i)1） P10.85 i 137. 57；2） P11.65202( X iX )i 1238.58.解 1） 因 Xi N (0、

25、1) ，且各样本间相互独立，所以：202Xi220Xi 1i22i 12 2 (20)故： P10.8537.570.990.050.94202XiXi 12）因：19S22 (19) 、 所以：22P 11.6519S2238.580.9950.10.895.25 设总体X N (80、2 ) ，从中抽取一容量为25 的样本，试在以下两种情形下P( X803) 的值：1） 已知20 ；2）未知，但已知样本标准差解1）S7.2674 .2Q X N (80、)2X80X802X N (80、)， N (0、1)、 t (24)25/25S 5PX803X803P20 / 541PU312(0.

26、75)14220.77340.4532第 14 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2） PX803PX802.0647.2674 / 51PT2.064120.97510.0526 X1 、K、 X n设为总体2) 的样本，2 为样本均值和样本方差，当X 、X N (、Sn20时，求：1） P ( X);4.4722） P (| S2 22|);23）确定 C，使 P (SX解1）C)0.90 .Q X 2N (、)X N(0、 1)nXPXP4.4724.472PX10.841320222222

27、22 ） PSPS222322PS2221S23P222P9.519S2228.52219S其中=22(19) 、就2PS22219S2P9.5228.5P 9.5228.50.950.050.93）第 15 页，共 38 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -SX1X20PcP<P<其中，T =XS /20XSct (19) ，就S /20cPScPT <200.9Xc所以：20t0.9 (19)=1.328 、运算得： cc3.3676 .27设总体X 的均值与方差2 存在，如X 1 、 X

28、2 、 X n 为它的一个样本，X 为样本均值，试证明对ij ，相关系数r ( X i1X 、 X jX ).n1证明r ( XiX 、 X jX )cov(X iX 、 X jX )D ( X iX )D( X iX )D ( X jX )D( X jX )n12nC ov( XX 、 XX )E( X XX XXXX X )12ijijijn所以：r ( X i1X 、 X jX ).2n128.设总体X N (、) ，从该总体中抽取简洁随机样本X 1 、 X 2 、 X 2 n (n1) ， X为它的样本均值，求统计量Tn( X i2i 1X n i2 X )2的数学期望 .解因 X N (、) ， X 1 、 X 2 、 X 2 n (n