2021年空间几何体的内切球及外接球问题.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-空间几何体的切球与外接球问题12021·全国卷 体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为()32A 12B. 3 C8D 4解析 A由于正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球的外表积为4·(3)2 12.22021·全国卷在封闭的直三棱柱ABC - A1B1C1 有一个体积为V 的球 假设 AB BC，AB 6， BC8，AA 1 3，那么 V 的最大值为 ()9A 4B. 2C 6D.32 3解析 B当球与三侧面相切时

2、，设球的半径为r1， AB BC，AB6，BC 8， 8r16r 1 10，解得 r1 2，不合题意；当球与直三棱柱的上.下底面相切时，设球的半径为r2 ，3343 39那么 2r2 3，即 r22.球的最大半径为2，故 V 的最大值为 3× 22.3.2021·模拟 在平行四边形ABCD 中，CBA120°， AD 4，对角线 BD 23，将其沿对角线BD 折起，使平面ABD平面BCD ，假设四周体ABCD 的顶点在同一球面上，那么该球的体积为 205答案：；解析：由于 CBA 120°，所以 DAB 60°，在三角形ABD 中，由余弦3定理

3、得 (23)2 42 AB2 2× 4·AB· cos 60°，解得AB 2，所以AB BD.折起后平面 ABD 平面 BCD，即有 AB平面 BCD，如以下图，可知A， B， C， D 可看作一个长方体中的四个顶点， 长方体的体对角线AC 就为四周体ABCD 外接球的直径， 易知 AC22 4225，所以球的体积为205.34.2021·右玉一中模拟 球 O 的球面上有四点S， A ， B， C，其中 O ，A ， B， C 四点共面， ABC 为边长为2 的正三角形，平面SAB平面ABC，那么棱锥S-ABC 的体积的最大值为()3A. 3

4、B.3C 23D 4选 A ； 解析 (1)由于平面SAB平面 ABC，所以点S在平面 ABC 上的射影 H 落在 AB 上，-.word.zl第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-依据球的对称性可知，当 S 在“最高点， 即 H 为 AB 的中点时， SH 最大， 此时棱锥S-ABC的体积最大223由于 ABC 为边长为2 的正三角形，所以球的半径rOC CH ×33232 × 23.在 Rt SHO 中， OH 13OC，23所以 SH23 2313 2 1，333故

5、所求体积的最大值为×× 22×1. 3435.2021·模拟 如图 7-38-19 所示，设 A ，B，C，D 为球 O 上四点， AB ，AC ，AD 两两垂直，且 AB AC 3，假设 AD R(R 为球 O 的半径 )，那么球O 的外表积为 ()图 7-38-19AB 2C 4D 8选 D ；解析：由于AB， AC， AD 两两垂直，所以以AB， AC，AD 为棱构建一个长方体， 如以下图，那么长方体的各顶点均在球面上，AB AC3，所以AE6， AD R， DE2R，那么有R2 6 (2R)2 ，解得 R2，所以球的外表积S 4R2 8.6.20

6、21·皖南八校三联 如以下图，三棱锥A-BCD 的四个顶点A， B，C， D 都在球 O 的外 表上，AC平面 BCD，BC CD，且 AC3，BC 2，CD5，那么球 O 的外表积为 ()A 12 B 7C 9 D 8 解析 A由 AC平面 BCD，BC CD 知三棱锥 A-BCD 可以补成以AC，BC，CD 为三条棱的长方体，设球O 的半径为R，那么有 (2R)2AC2BC2CD 2 3 4 5 12，所以 S 球 4 R2 12.-.word.zl第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - -

7、- -.-7 2021·质检A，B，C 在球 O 的球面上， AB 1，BC2， ABC60°，且点 O 到平面ABC 的距离为2，那么球O 的外表积为 答案： 20解析 在 ABC中用余弦定理求得 AC 3，据勾股定理得 BA为C 直角，故 BC 的中点 O1 即为 ABC所在小圆的圆心，那么 OO 1平面 ABC ，在直角三角形 OO 1B 中可求得球的半径 r 5，那么球 O 的外表积 S 4r2 20.8. 2021·中原名校一联 如图 K38- 16 所示， ABCD-A1B1C1D 1 为边长为 1 的正方体， S-ABCD为高为 1 的正四棱锥， 假

8、设点 S，A1，B1，C1，D 1 在同一个球面上， 那么该球的外表积为()图 K38-169254981A. B. C. D.16161616选 D ； 解析 如以下图作帮助线，易知球心O 在 SG1 上，设 OG 1 x，那么OB 1 SO22 x，同时由正方体的性质知B1G 1，那么在 Rt OB 1G1 中，由勾股定理得OB 2 G B222277911 11OG 2，即 (2 x)2 x2281，解得x，所以球的半径R 2 8 ，所以球的外表积S 884R2 .1692021·课标全国如图， 有一个水平放置的透亮无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容

9、器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，假如不计容器的厚度，那么球的体积为()500 866 A.3cm3B.3cm31 372C.cm3 D. 32 048cm33-.word.zl第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-解析：设球半径为R，由题可知R，R 2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即OBA 为直角三角形，如图BC 2， BA 4， OB R 2，OA R， 由 R2 (R 2)2 42，得 R5，所以球的体积为4×533500 (cm3)，应选 A 项3答案：

10、A10正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，那么这个四棱锥的外接球的外表积为()A 12 B 36 C 72 D 108 选B ； 解 析 ： 依 题 意 得 ， 该 正 四 棱 锥 的 底 面 对 角 线 长 为32 ×2 6 ， 高 为-.word.zl第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-3221×6 2 3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接2球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的外表积等于4×32 36 .11

11、 2021·质检一球 O ，过其球面上A. B.C 三点作截面，假设O 点到该截面的距离为球半径的一半，且AB BC 2， B 120 °，那么球 O 的外表积为 ()64 816 A. 3B. 3C 4 D. 9解析： 如图，球心O 在截面 ABC 的射影为 ABC 的外接圆的圆心O . 由题意知 OO 1R， OA R，其中 R 为球 O 的半径在ABC 中，2ACAB 2 BC2 2AB· BC· cos120 °122 22 2× 2× 2×2 23.AC设 ABC 的外接圆半径为r，那么 2r sin12

12、023 4，得 r 2，即 OA 2.在 Rt°321OO 1 A 中，OO2 O 1A2OA 2，即R2 4 R2，解得 R2416，故球 O 的外表积 S 4R2364 3 ，应选 A.答案： A12 2021·模拟在三棱锥A-BCD 中， AB CD 6，ACBD AD BC 5，那么该三棱锥的外接球的外表积为 解析：依题意得， 该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，-.word.zl第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-设该长方体的长.宽.

13、高分别为a.b.c，且其外接球的半径为R，那么a2 b2 62，b2c252，得c2 a2 52 ，a2b2 c2 43，即 (2R)2 a2b2 c2 43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的外表积为4R2 43 .答案： 43 132021·全国卷 正四棱锥的顶点都在同一球面上假设该棱锥的高为4，底面边长为2， 那么该球的外表积为()81A. 4B 16 C 9 D.27 4答案： A； 解析 如以下图， E 为 AC 与 BD 的交点由于正四棱锥的底面边长为2，所以1AE 2AC2.设球心为O，球的半径为R，那么OE 4R， OA R.又由于 AOE 为

14、直9角三角形，所以OA2 OE2 AE 2，即 R2 (4 R)22，解得 R，所以该球的外表积S4 49R2 44812 4 .14 2021·八校联考 如图为一个几何体的三视图，那么这个几何体外接球的外表积为()A 8 B 16 C 32 D 64答案： C； 解析 该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半径为 22，外表积为4×(22)2 32.15四棱锥S -ABCD 的全部顶点在同一球面上，底面ABCD 为正方形且球心O 在此平面，当四棱锥的体积取得最大值时，其外表积等于16 163，那么球 O 的体积等于 ()-.word.zl第 6 页，

15、共 7 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -.-42A.3B.1623C.3223D.642 3答案： D ； 解析 由题意，当此四棱锥的体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥设球O1的 半 径 为R ， 那 么AC 2R ， SO R ， AB 2 R ， 那 么 有 (2 R)2 4××222R·2 R2 R2 16 163，解得 R22，球 O 的体积为4R336423.162021·调研 直三棱柱ABC-A1 B1C1 的各顶点都在同一球面上，假设AB AC AA1 2，BAC 90°，那么该球的体积等于 答案： 43；解析 设该球的球心为O ，ABC 所在圆面的圆心为O1，那么 OO 1平面 ABC 且 OO1 1.在 ABC 中，由于 AB AC 2， BAC90°，所以 ABC 外接圆的半径 r112BC 2AB2 AC2 2，所以该球的半径Rr2 O1O222 12 3，所 4以该球的体积VR3 43.3-.word.zl第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -