2021年概率论习题答案随机变量的数字特征.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -第3章 随机变量的数字特点1，在以下句子中随机地取一单词，以X 表示取到的单词所包含的字母个数，试写出X 的分布律并求 E ( X ) .“They found Peking greatly changed”解：依据题意，有 1/5 的可能性取到 5 个单词中的任意一个；它们的字母数分别为 4，5，6，7，7；所以分布律为X4567E( X )1 (455p k677)1/51/51/52/529 / 5 .2，在上述句子的29 个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所包含的字母数，写出Y 的分布律并

2、求E (Y ) ；解：个单词字母数仍为，；这时，字母数更多的单词更有可能被取到；分布律为Y4567p k4/295/296/2914/29E(Y )1 ( 44295566714)175/29.3，在一批 12 台电视机中有 2 台为次品，如在其中立即地取3 台，求取到的电视机中包含的次品数的数学期望；解：依据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2 台的概率分别为C 36C1C 29C 2 C11p1030C1211，p21031C122

3、2，p210；32C1222所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为E6011911222221 (台) ；24，抛一颗骰子，如得6 点就可抛其次次，此时得分为6+（其次次所抛的点数），否就得分就为第一次所抛的点数，不能再抛；求所得分 数的分布律，并求得分的数学期望；解：依据题意，有 1/6 的概率得分超过 6，而且得分为 7 的概率为两个 1/6 的乘积（第一次 6 点，第 2 次 1 点），其余类似；有 5/6 的概率得分小于 6；分布律为Y123457891011121111111111166666363636363636pk得分的数学期望为1E(123645)1(7836910111

4、2)49；(点)125，（1）已知 X () ，P X5P X6 ，求E ( X ) ；（ 2）设随机变量 X 的分布律为P Xk62、3、4、，、k1、22k问 X 的数学期望为否存在？6解：（ 1）依据 X () ，可得5 eP X55.eP X 6.6 ，因此第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -运算得到6 ，即 X (6)；所以E (X )=6；（ 2）依据题意，依据数学期望的公式可得E ( X )(1) kk 11 kP Xk(k 11) k 1 k62 k261)k 1 1(2k

5、1k6 ln 2，2因此期望存在；（利用了ln(1x)(1) nx、nn 0n11x1 ）（不符书上答案）6，（1）某城市一天水的消费量X （百万升计）为一个随机变量，其概率密度为f ( x)xe x / 3 / 9、x0，求一天的平均耗水量；0、其他（ 2）设某动物的寿命X （以年计）为一个随机变量，其分布函数为F ( x)0、x5125 、x5x 2求这种动物的平均寿命；解：（1）一天的平均耗水量为E( X )xf ( x)dxx2 e09x / 3dxxd (e203x / 3 )02xe03x / 3dx2xd( e0x / 3 )02e x / 3 dx06 （百万升）；（ 2）这种

6、动物的平均寿命为E (X )xdF ( x)xd (1525)x 250 dxx2510 （年）；7，在美国，致命的汽车事故所占的比例X 的概率密度为第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -f ( x)42x(1x) 5 、0x1，0、其他求 X 的数学期望；解： E( X )xf ( x)dx1242 x(105x)dx1267 x d (1x)07x2 (11x)60114x (10x) 6 dx12xd (10x)72x(11x) 7012(10x)7 dx=1/4；8，设随机变量X 具有

7、概率密度如下，求E ( X ) ；f ( x)2(11/ x2 )、1x2；0、其他解： E( X )xf ( x)dx22x(111/ x 2 )dx( x 222ln x)132 ln 2；9，设随机变量X 具有概率密度如下，求E ( X ) ；f ( x)3(13(10、x) 2x) 2/ 2、/ 2、1x00x1其他解： E( X )xf ( x)dx03 x (11 2x)2 dx13x (102x)2 dx03x (112x) 2 dx3x (1102x)2 dx0 ；（对第一个积分进行变量代换xy ）10，设 X B( 4、 p)，求数学期望E(sinX ) .2第 4 页，共

8、13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解：E (sinX )24ksinC4k 02kk(1p ) 4 kCCp4p411(1p )33p 3(1p )14 p(1p)(12 p2 p 2 )；（不符书上答案）11，设球的直径 R 听从区间(0、 a) 上的匀称分布， 求球体积 VR3 / 6 的数学期望；1/ a、0xa解：R 的概率密度函数为f ( x)0、其他 ，所以E(V )ar 3061 dra；3a2412，设随机变量 X 的概率密度为f (x)0.3e0.3 x 、x0 ，另有 X 的函数 g(

9、 X )0、XX 2 、0X04 ，求数学期望0、其他E g ( X ) ；16、X4解： E g ( X )g( x) f(x)dx4x 20.3e00.3x dx160.3e40.3x dx1 (2009584e 1.2 ) （不符书上答案）13，设随机变量X 1 、 X 2 、 X n 相互独立， 且都听从区间( 0、1) 上的匀称分布，记 Y1min(X 1 、 X 2 、 X n ) ， Ynmax(X 1、X 2 、 X n ) ，求E(Y1 )、 E (Yn ) ；解：由于X i (i1、2、n) 的分布函数为F ( x)0、x、01、x0x1，所以可以求出 x1Y1、 Yn 的

10、分布函数为第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -0、Fmin ( y)1(1y)yn 、00y1 ，Fmax ( y)0、yy n 、0y01 ；1、y11、y1Y1、 Yn 的密度函数为n(1y) n 1、0y1nyn 1 、0y1f min ( y)0、， f max ( y)；其他0、其他所以 Y1 、Yn 的数学期望为E(Y1 )yf min( y)dy1ny (10y)n1 dy1n(10y) n1 dy1n(10y) n dy1，n1E(Yn )yf max( y)dy1ny n

11、dyn；0n114，设随机变量 (X、Y) 具有分布律Y01203/289/283/2813/143/14021/2800X求 E ( X )、 E (Y )、 E ( XY ) ，E ( XY )、 E(3 X2Y ) ；解：求出边缘分布律如下03/289/283/2815/2813/143/14012/2821/28001/28XY012P XkP Yk10/2815/283/281第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -E( X )2kP Xk 0k1 / 2 ，E (Y )2kPYk 0

12、k3 / 4 ，E( XY )22j 0 i 0ijP XiPYj113 /143 / 14 ，E( XY )22(ij 0 i 0j )P Xi PYj7 / 281 / 4 ，E(3X2Y )22j 0 i 0(3i2 j ) P Xi P Yj 84 / 283 ；15，在上题中，求Emin(X 、Y )、 EY/( X1) ；解： Emin(X 、 Y )22j 0 i 0min( i、j) P XiPYj13 /143 / 14 ，EY /( X1)22j 0 i 0 ij P X 1i PYj18 / 289 / 14 ；16，设随机变量具有概率密度f ( x、 y)24xy、 0

13、、0x1、0y其他1、 xy1求 E ( X )、 E (Y )、 E ( XY ) ；解： E( X )xf ( x、 y)dxdyR R11 ydy24x2 ydx002 / 5 ，E(Y )yf ( x、 y)dxdyR R11 ydy24 y 2 xdx002 / 5 ，E( XY)xyf ( x、 y)dxdyR R11 ydy24x 2 y2 dx002 / 15；17，某工程队完成某种工程的天数X 为随机变量，具有分布律第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -10111213140

14、.20.30.30.10.1Xp k所得利润（以元计）为Y1000(12X ) ，求E (Y )、 D (Y ) ；解：依据题意，可得利润的分布律为200010000-1000-20000.20.30.30.10.1Yp k因此，E(Y )20000.210000.310000.120000.1400 （元）E(Y 2 )2000 20.21000 20.3(1000) 20.1(2000) 20.11600000D(Y )E (Y 2 )E(Y ) 21440000 ；18，设随机变量 X 听从瑞利分布，其概率密度为f ( x)xx2 /( 2 2e0、2 ) 、x0其他其中0 为常数，求E

15、 (X )、 D( X )、D( X ) ；解： E( X )xf ( x) dxxx2 /( 2 22e02 ) dxxe x 2 /( 2 2 )0e x 2 /( 202 ) dx，2E( X 2 )x2 f(x)dxxx 2 /( 23e202 ) dxx2 ex 2 /( 2 2 )02xe0x 2 /( 22 ) dx22 ex2 /( 2 2 )022 ，D ( X )E ( X 2 )E ( X ) 2(2/ 2)2 ，D ( X )( 2/ 2)；（此题积分利用了e x 2 / 2 dx0，这个结果可以从标准正态分布密度函数中得到）2第 8 页，共 13 页 - - - -

16、- - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -19，设随机变量 X 听从几何分布，其分布律为P Xk(1p) k1 p、k1、2、，其中 0p1为常数；求E ( X )、 D (X ) ；解： E( X )kP Xk 1kpkk (11p )k 111，pp 2pE( X 2 )k 2 P Xkk 1pk 2 (1k 1p) k 1pk (kk 11)(1p) k 1k (1k 1p) k 1p( 2p 31 )21 ，p 2p 2p所以，D ( X )E( X 2 )2E ( X )11p 2p1p ；p 2此题利用了幂级数求和中先积分再求

17、导的方法；设s( p)k (1k 1p) k 1 ，p就s( p)dp1(1p) kk 111 ，所以ps( p)p's( p)dp11 ；类似的，设p 2(1p ) 2S( p)k (kk 11)(1p )k1 ，就经过两次积分以后可得到，在经过p两次求导得到S( p)2；p 320，设随机变量 X 具有概率密度为kkf ( x; k、)xk 1 、x0、x其中 k0、0 为常数；（1） ） 如 k1 ，求E ( X ) ；（2） ） 问当k1 时，E ( X )为否存在？第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - -

18、 - - - - - - -（3） ） 如 k2 ，求D ( X ) ；（4） ） 问当k2 时，D ( X ) 为否存在？解：（1）当 k1 时，E( X )xf (x)dxkdxkkkxk1 dxk；x kk1（ 2）当 k1 时，E( X )1 dx x，即 E ( X ) 不存在；（ 3），当 k2 时，E( X 2 )x 2 f( x)dxkkk2x k 1 dxk2 ，所以，D( X )E( X 2 )E( X )k21kk；22k2(k1) 2(k1)2 (k2)2（ 4）当 k2 时， E( X 2 )x 2 f( x)dx2dx x，所以D ( X ) 不存在；21，（1）在

19、 14 题中，求Cov ( X 、Y )、XY ；（ 2）在 16 题中，求Cov( X 、Y )、XY ，D ( XY ) ；（ 3）在其次章习题第14 题中，求Cov ( X 、 Y)、XY ；解：（1）依据 14 题中结果，得到Cov( X 、 Y )E ( XY )E ( X )E (Y)3 / 141 / 23 / 49 / 56 ；由于 E ( X 2 )2k 2 P Xk 0k4 / 7 ，E (Y 2 )2k 2 P Ykk 027 / 28 ，所以 D ( X )E ( X 2 )E ( X ) 29 / 28 ，D (Y )E (Y 2 )E (Y) 245 / 112 ，

20、；Cov ( X 、 Y)5XYD ( X )D (Y )5（ 2）依据 16 题结果可得：Cov( X 、Y )E ( XY )E ( X )E (Y )2 / 152 / 5 22 / 75 ；第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -由于E( X 2 )x 2 fR R( x、 y)dxdy11 ydy24x 3 ydx001/ 5 ，E(Y 2 )y 2 f2R R( x、 y)dxdy11 ydy24y 3 xdx001/ 5 ，所以，D ( X )E( X 2 )E ( X )1 /

21、 25， D (Y )E (Y 2 )2E(Y )1 / 25D ( XY )D ( X )D (Y )2Cov ( X 、 Y )2 / 75 ，Cov( X 、Y)2XY；D( X )D(Y)3（ 3）在第 2 章 14 题中，由以下结果00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38XY012P XkP Yk0.160.340.501得到，E (X )1.14 ， E (Y )1.34 ， E ( XY)1.8 ， E ( X 2 )1.9 ， E (Y 2 )2.34 ，所以，Cov( X 、Y )E ( XY )E ( X ) E

22、 (Y )0.2724 ；D ( X )E ( X 2 )2E (X )0.6004 ，D (Y )E (Y 2 )2E (Y )0.5444 、Cov( X 、Y)XY0.27240.4765 .D ( X )D (Y)0.571722，设随机变量 (X、Y) 具有D ( X )9、 D (Y )4 ，XY1 / 6 ，求D ( XY ) ，D( X3Y4) ；解：依据题意有D ( XY )D (X )D (Y )2Cov ( X 、Y )D( X )D(Y)2XYD ( X )D(Y)942(1 / 6)611 ；第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品wor

23、d 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -D ( X3Y4)D ( X4)D (3Y )2Cov ( X4、3Y )2D ( X )9 D (Y )6Cov ( X 、 Y )9366(1/ 6)651 ；2223，（ 1）设随机变量X 1 、 X 2 、 X 3 相互独立，且有E( X i )0、 E( X i)1 ，i1、2、3 ，求 EX1 ( X 24X 3 )；2（ 2）设 X 1 、 X 2 、 X 3 相互独立，且都听从区间（0， 1）上的匀称分布，求 E ( X 12 X 2X 3 )；22222解：（1）由于 X 1 、 X 2 、 X 3 相互独立，

24、所以222E X 1 ( X 24X 3 )E( X 1 ) E( X 24X 3 )E X 28X 2 X 316X 32E X 28X 2 X 316 X 3 E X 28E X 2 E X 3 16E X 3222101617 ；2（ 2）依据题意，可得E( X i )1/ 2、E( X i)D ( Xi )E( X i )1/ 3 ，i1、2、3 ；E ( X12 X 2X 3 )22E X 1224X 22X 34 X 1 X 22X 1 X 34 X 3 X 2 2E X14E X 2 E X 3 4E X 1 E X 2 2E X 1 E X 3 4E X 3 E X 2 141

25、1111 ；3332224，设随机变量 (X、Y) 具有概率密度f ( x、 y)1、y0、x、0x1其他验证 X、Y不相关，但 X、Y不为相互独立的；解：由于E ( X )xf (x、 y)dxdyR R1xdxxdy0x2 / 3 ，E(Y )yf ( x、 y) dxdyR R1xdxydy0 ，0x第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -E( XY)xyf ( x、 y)dxdyR R1xdxxydy0 ，0x所以，Cov( X 、Y )E ( XY )E ( X ) E (Y )0

26、，即，验证了 X、Y不相关；又由于， f( x)f ( x、 y) dyx1dy2x， 0x1 ；Xx0、其他11dx，1y0fY ( y)f ( x、 y)dxy 11dx， 0y11y，1y，0y0.50.5y1 ，y0， 其他0，其他明显，f ( x、 y)f X (x)fY ( y) ，所以验证了 X、Y不为相互独立的；25，将 n 只球(1 n号）放入 n 只盒子(1 n号）中去，一只盒子装一之球；如一只球装入与之同号的盒子中， 称为一个配对；记 X 为总的配对数，求 E ( X ) ；解：引入随机变量定义如下1第i 个球落入第X ii 个盒子0第i 个球未落入第 i 个盒子就总的配对数 XnX i ，而且由于i 1P X i11 ，所以，nX N (n、1 ) ； n故所以，E( X )n11 ；n（第 3 章习题解答完毕）第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - - -