2021年概率论高等数学习题解答.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -习题二（ A）三.解答题1一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数(1) 试求 X 的分布律；(2) 写出 X 的分布函数解: (1)X123456p1197i363636531363636分析：这里的概率均为古典概型下的概率，全部可能性结果共36 种，假如X=1 ，就说明两次C2中至少有一点数为1，其余一个1 至 6 点均可，共有16 - 1（这里C 1 指任选某次点2C2数为 1，6 为另一次有6 种结果均可取，减1 即减去两次均为1 的情形，由于16 多2算了一次） 或 C 151 种，故 P X116 -

2、 1C236111C5123636、其他结果类似可得 .(2)0，x1P X1，1x2P X1P X2，2x3F ( x)P X1P X2P X3，3x4P X1P X2P X3PX4 ，4x5P X1P X2P X3PX4P X5，5x61，x61第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -0 ，x111，1x23620，2x33627，3x43632，4x53635，5x6361 ，x62某种抽奖活动规章为这样的：袋中放红色球及白色球各5 只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次

3、取出5 只球，如5 只球同色，就获奖100 元，否就无奖，以 X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律解：-99X 1p125126i1126留意，这里X 指的为赢钱数，X 取 0-1 或 100-1 ， 显 然 P X9921.C1051263设随机变量X 的分布律为kP Xkka、 k k.0、1、2、;0 为常数，试求常数a解： 由于aaek 0k.1，所以 ae.4设随机变量X 的分布律为X-123pi1/41/21/4(1) 求 X 的分布函数；(2) 求 P X解：1 ，2P 3X25 ， P 2x23 2第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -

4、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -(1) F ( x )0， x-1P X1， 1x20， x-11， 1x24，P X11， x3P X2，2x33，2x341， x3(2) PX1p X11 .24351PXP X2、222P 2X3PX2X3P X2P X33 .45设随机变量X 的分布律为(1) P X = 偶 数 (2) P X5(3) P X = 3 的倍数 P Xk1 、 k 2k1、2、求：2111解： (1)P X偶数112 22412 2ilim2i12 2i1，132 2(2) P X51P X4111112222 32 4115

5、1，1616(3) P X3的倍数i3311123i1lim 221 .i 1i1172 36. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 听从参数为0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）(1) 求某一天中午12 时至下午3 时没有收到紧急呼救的概率(2) 求某一天中午12 时至下午5 时至少收到一次紧急呼救的概率解：(1)X P 0.5tP 1.5P X0e1.5 .(2)0.5t2.5P x11P x01e 2.5 .7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400 次，试求至少击中2 次的概3第 3 页，共 15 页 - - - - -

6、- - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -率解：设射击的次数为X ，由题意知X B400，0.2 、P X21P X11Ck1400k 00.02 k 0.98 400 k 、由于上面二项分布的概率运算比较麻烦，而且 X 近似听从泊松分布P( )（ 其中=400× 0.02 ），所以查表泊松分布函数表得：PX218 k1e 8 ，k 0 k.PX210.280.99728. 设大事A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当 A 发生不少于3 次时，指示灯发出信号现进行5 次独立试验，试求指示灯发出信号的概率解：设 X 为大事 A 在

7、5 次独立重复试验中显现的次数， 就指示灯发出信号的概率X B5，0.3pP X31P X31(C 0 0.300.7 5C 1 0.310.7 4C 2 0.32 0.73 )55510.83690.1631.9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X（以分钟计）听从参数为 5 指数分布某顾客在窗口等待服务，如超过 10 分钟，他就离开他一个月要到银行 5 次，以 Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数写出 Y 的分布律，并求 P Y 1 解：由于 X 听从参数为5 的指数分布， 就F (x)x1e 5 ，P X101F (10)e 2 ，Y B5， e 2、就 PYkC k (e2 ) k

8、(1e 2 ) 5k 、 k0、1、5 .5PY11 -PY01 （1e 2）50.516710设随机变量X 的概率密度为(1) 系 数 a；f (x)a cosx、 0、| x | x |2 ，试求：2(2) X 落在区间(0、) 内的概率4解： (1) 由归一性知：1f (x)dx2 a cosxdx22a ，所以 a1 .24第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -(2) . P 0X44 1 cos xdx021 sin2x | 42 .040、x011设连续随机变量X 的分布函数为试求

9、：F ( x)Ax2 、0x11、x1(1) 系数 A； (2) X 落在区间 (0.3， 0.7)内的概率； (3) X 的概率密度解（ 1）由 F (x)在 x=1 的连续性可得limF (x)lim F ( x)F (1) ，即 A=1.x（ 2） P 0.3X0.7F (0.7 )1F (0.3)2x、0x10.4 .x 1（ 3） X 的概率密度f (x)F (x).0、12设随机变量X 听从 (0， 5)上的匀称分布，求x 的方程的概率4 x24 XxX20 有实根解：由于X 听从（ 0， 5）上的匀称分布，所以f ( x)10x550 其 他如 方 程4 x24 Xx2X20有

10、实 根 ， 就(4 X )216 X320 ， 即( x2)( X1)0 ，得X2 或 X1 ，所以有实根的概率为pP X2P X5 11dx1153x0dx213 设 X N(3，4)2 555(1) 求 P 2X5、 P4X10、 P X2、P X3;(2) 确定 c 使得P XcP Xc;(3) 设 d 满 足P Xd 0.9 ，问 d 至多为多少 .解:(1)由于 X N(3，4)所以P 2X5P 232X35322P0.5X312(1)(0.5)(1)( 0.5)10.84130.691510.53285第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可

11、编辑资料 - - - - - - - - - - - - -P4X10103 ()2(43)2(3.5)(3.5)2(3.5)120.999810.9996PX21P X21P2X21F (2)F (2)1(0.5)(2.5)1(2.5)(0.5)10.30230.6977P X31P X31F (3)1(0)10.50.5 .(2) P Xc1P Xc， 就 P Xc1F (c)2(c3 )1 ，22经查表得(0)1 ， 即 c3220 ， 得 c3 ；由概率密度关于x=3 对称也简单看出；(3) PXd1P Xd1F (d )1( d3 ) 20.9 ，就( d3 ) 20.1 ，即(-

12、d3 ) 20.9 ，经查表知(1.29)0.9015 ，故 - d3 21 .29 ，即 d20.42 .14设随机变量X 听从正态分布N ( 0、) ，如P( Xk0.1，试求P Xk 解 ： P Xk1P Xkk22()1PkXk10.1( k )(k )所以( k )0.95 ， p XkF (k )( k )0.95；由对称性更简单解出.15设随机变量X 听从正态分布如何变化的？N (、2 ) ，试问：随着的增大，概率P| X | < 为解 ： X N (、2) 就P XPXF ()F ()()()6(1)(1)第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精

13、品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2上面结果与无关，即无论怎样转变，(1)1P X0.6826.都不会转变；16已知离散随机变量X 的分布律为X-2-1013pi1/51/61/51/1511/30试求 YX 2 与 ZX 的分布律1111115651530-2-10134101921013解：由 X 的分布律知p2x XX所以Y 的分布律为014917111530530012317111530530YpZ 的分布律为Yp17设随机变量X 听从正态分布N (、2 ) ，求 Y = eX 的概率密度解：由于X 听从正态分布2N (、) ，所以f X ( x

14、)( x) 21e2 2，2FY ( y)P e Xy ，当 y0 时，FY ( y)0 ，就f Y ( y)0当 y0 时，FY ( y)P(Yy)P e XyP Xln yF X (lny )7第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -fY ( y)'FY ( y) F X(lny) '1 f(ln y)11Xyy2(ln y)22e2所以 Y 的概率密度为fY ( y)(ln y) 211e2 2、y 20，y0 ；y018设 X U(0， 1)，试求Y = 1 X 的概率密

15、度解由于X U (0 、1) ，f ( x)10x1，0'FY ( y)P (Yy)P 1XyP X1Y1 F X (1y)所以f Y ( y)F Y ( y)1F X (1y)f X (1y)1、 01y11、 0y10、 其他0、 其 他19设 X U(1， 2)，试求 Y2 Xe的概率密度解： X U (1、 2) ，就f (x)11x20其他FY ( y)P YyP e2 Xy当 y0 时，当 y0 时，FY ( y)P e 2 Xy0 ，FY ( y)PX1 lny21'F X (ln 2y ) ，fY ( y)'FY ( y) F ( 1 ln2y)1f(

16、1 ln y) 2 y2X101 ln y22y20 其他241 exe2y其他020设随机变量X 的概率密度为8第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -f (x)3 x2 、21x10、其他试求以下随机变量的概率密度：(1) Y13X ;(2)Y23X ;2(3)Y3X111解:(1)FY( y)P Y1yP 3XyPXy 3FX (y) 3fY1( y )'1FY ( y) F ( 13'y)1 f(1 y)X33由于f X( x)3 x 221x1所以fY( y)0113f

17、 X (y)其他、1y2 、11 y11y2 、3y31(2)32FFY( y)1830、其他yP 3XyPX3y1FX (3y) ，XXP Y218其他0fY2( y)' ( x)1F(3y) 'f(3y)Y2因 为 f X( x)3 x 221x1，0其他3 (3y) 2 、13y13 (3y) 2 、2y42所 以 fY( y)f X (3y)20、 其 他20、其他（ 3）F( y)P Y3yP X 2yY3当 y0 时，FY3( y)P X 2y0， fY3( y)' ( x)0FY33FY3当 y0 时，FY ( y)PyXyFXyF X (y ) ，fY3

18、( y)' ( x) FyF (y ) '1 fyX2yf X (y )9第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -3所以fY( y)1 fX2yyf X (0y ) 、y0，、y03 x 21x1因 为 f X( x)32，0其他y 、0y13所以fY( y)2 0、其他四.应用题1. 甲地需要与乙地的10 个电话用户联系，每一个用户在1 分钟内平均占线12 秒，并且各个用户为否使用电话为相互独立的为了在任意时刻使得电话用户在用电话时能够接通的概率为 0.99，应至少有多少电话线

19、路？解：设 X 为同时打电话的用户数，由题意知X B 10 、0.2设至少要有k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，就P Xk查表得 k=5.kC10i 0.2 i 0.810 ii 0kiei 0 i.0.99 ，其中2、2. 在一个电子仪器系统中，有 10 块组件独立工作，每个组件经过5 小时后仍能正常工作5的概率为e，其中为与工艺.系统复杂性有关的因子如该系统中损坏的组件不超过一块，就系统仍能正常工作，那么，5 小时后系统不能正常工作的概率（= 0.08）为多少？解：该问题可以看作为10 重伯努利试验，每次试验下经过5 个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-

20、 e0.4，记 X 为 10 块组件中不能正常工作的个数，就X B (10、1e 0.4 ) ，5 小时后系统不能正常工作，即X2 ，其概率为P X21P X1C0110 (1e 0.4 ) 0 (e0.4 )1010 .4 )1 (e0 .4 )10 1C(1e100.8916.3. 测量距离时，产生的随机误差X 听从正态分布N(20， 402)，做三次独立测量，求：(1) 至少有一次误差肯定值不超过30m 的概率；(2) 只有一次误差肯定值不超过30m 的概率解：由于X N (20、402 ) ，所以10第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑

21、资料 - - - - - - - - - - - - -P X30P30X30F (30)F (30)( 3020 )(3020)40(0.25)0.51870.493140(1.25)10.894413设 Y 表示三次测量中误差肯定值不超过30 米的次数，就X B (3、0.4931) ，(1)PY11P Y01C 0 0.49310 (10.4931) 31 - 0.5069 30.8698 .(2)PY1C 1 0.493110.5069 20.3801 .34. 假设一设备开机后无故障工作的时间X 听从参数为5 的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而无故障的情形下工作2 小时

22、便关机 试求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数解：当 y0 时 ， Yy 为不行能大事，知F ( y)0 ，当 0y2 时，Y 和 X 同分布 、听从参数为5 的指数分布， 知F ( y)xy 1e 5 dx1ye 5 ，当 y2 时， Yy 为必定大事 、知0 5F ( y)1 ，因此， Y 的分布函数为0、 y0yF ( y)1 - e5 ，0y2 ；1、 y25. 有甲乙两种颜色和味道都极为相像的名酒各4 杯，假如从中挑4 杯，能将甲种酒全挑出来，算为试验胜利一次(1) 某人随机去挑，问他试验胜利的概率为多少？(2) 某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10 次，胜利3

23、 次，试推断他为猜对的仍为确有区分的才能（设各次试验为相互独立的）11C解： (1) 选择胜利的概率p4；8701(2) 设 10 随机选择胜利的次数为X，就该设 10 随机选择胜利三次的概率为：X B10，7011第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -P XC3310( 1 ) k (1701 ) 7700.00036 ，以上概率为随机选择下的概率，远远小于该人胜利的概率3/10=0.3 ，因此， 可以肯定他确有区分才能；（ B）1设随机变量的概率密度为f ( x)1 、0x132 、3x

24、690其它如 k 使 得P Xk2 / 3 ，求 k 的取值范畴0、 x01x、 0x131解：由概率密度可得分布函数F ( x)、 13131、 xx2 ( x9633)、 3x6由于 P Xk2， 即 F ( k)31，易知 1k3 ；32设随机变量X 听从 (-1 ，2) 上的匀称分布，记Y1、X1、X0，试求 Y 的分布律01 ， 1x21 ，X0、解：X 服 从（1、2）的匀称分布，2f ( x)13 ，其他022，又 Y1，X0、就 P Y1P X0f ( x)dxx 0，033P Y1P X01 - P X01312第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - -

25、-精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -所以 Y 的分布律为Y2-11P3设随机变量X 的概率密度为f Y ( y) f ( x)12331、 求随机变量Y (1x2 )13 X的概率密度3323解 ： FY( y)P13 XyP X(1y )3 1F X(1y) 3 ，f Y ( y)FY ( y)1F(1'3y) f X (1y)(1y)3(1y)f X (1y)3(1y)21(1y)6、 yR ；4设 X 为连续型随机变量，其概率密度为fX(x)为偶函数，令Y = X， 证明Y 与 X 有 相同的概率密度证明：因f x (x) 为偶函数，故f

26、x (x)f x (x) ，FY ( y)f Y ( y)P Y'FY ( y)yPXf x (y)yf x ( y)P Xy1P Xy1F x (y)所以5设随机变量X 的概率密度为f(x)1、 x33 x21、80、其它F(x)为 X 的分布函数求随机变量Y = F (X)的分布函数解：随机变量X 的分布函数为F ( x)0、x13 x - 1、1x1、x88 ，明显F ( x) 0、1 ，FY ( y)PYyP F ( X )y ，当 y0 时， F ( X )y 为不行能大事，知F Y ( y)0 ，当 0y1 时，FY ( y )P 3 X1yP X(1y) 3y ，13第

27、13 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -当 y1 时， F ( X )y 为必定大事，知F Y ( y)1 ，0、y0即FY ( y)y、1、0yy11 ；6设随机变量X 的概率密度为试求以下随机变量的概率密度：f ( x)e x 、 x00、x0(1) Y1(2) Y22 X1;eX ;(3) Y3X 2 1（ 1）FY ( y)P Y1yP 2 X1yP Xy - 121y 1当 y12y10 时，即 y1 时，FY ( y)P Xy - 12y -12 0dx0 ，-y 11 y当0 时，即

28、 y>1 时，2FY1( y)P X2 e20x dx1 - e 2，所以1 y1 e 2，y1（ 2）fY21FY ( y)( y)P Y220、 yy，其他1P eX；y ，当 y0 时， e Xy 为不行能大事，就FY ( y)P eXy0 ，2当 0y1时，ln y0 ，就FY2( y)P e XyP Xln yln y0dx0 ，当 y1 时，ln y0 ，就FY ( y)P Xln yln ye0x dx11 ，y22依据f Y( y)FY ( y) 得220、y12f Y ( y)1 、 y1 ；3（ 3）14FY ( y)P Y3yyP X 2y ，第 14 页，共 15

29、 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -当 y0 时，FY ( y)P X 2y0 ，3当 y0 时，FY ( y)30、P X 2yPyXy0yyye x dx01ey ，3所以f Y( y)e、 y0 ；22 y7设随机变量X 听从参数为1/2 的指数分布， 试证 Y1(0， 1)上的匀称分布e 2 X 和 Y1e 2 X都听从区间(1) 证明：由题意知f ( x)2e 2 x 、 x0；2 X0、 x0Y1e2x ，F（ y）PY1yP ey ，Y1当 y0 时，FY（1 y）0即 fY（ y）0 ，1当 0y1 时，FY1( y)P e 2 XyPXln y 2ln y 2e22x dxy ，当 y1 时，FY1( y)PXln y 22e 2 x dx1 ，0