2021年微分方程试题及部分应用题答案整理版.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -第十章微分方程习题一.填空题：（ 33）1-1-40 . 微分方程( y' ) 3y' ''4 x2 y' '43 x的阶数为.1-2-41 . 微分方程xy'22 yy'xy0 的阶数为.2d sdss01-3-42 . 微分方程dx2dx的阶数为.( 4)1-4-43 . ( y)4 y' ' '10y' '5 ysinx 的阶数为.dy1-5-44 .微分方程 dx2 xy满意条件y' |x 01的特解

2、为.dy1-6-45 .微分方程 dxy0的通解为.1-7-46 .方程 y 'xe y的通解为.1-8-47 . 方程 y'y lny 的通解为.1-9-48 .方程y' '4 y'4 y0 的通解为.1-10-49 .方程1-11-50 .方程y' 'y' '4 y'4 y'4 y13 y0 的通解为.0 的通解为.1-12-51 .已知特点方程的两个特点根r1为2、 r23、 就二阶常系数齐次微分方程1-13-52 .微分方程y' 'xe的通解为.1-14-53 .微分方程y'

3、 'e2 xsinx 的通解为.1-15-54 .如P( x、 y)dxQ (x、y) dy0 为全微分方程 、就 P、 Q 应满意.yxf (x、 y)dx1-16-55 .与积分方程x0等价的微分方程初值问题第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -为.x2 x1-17-56 .方程( xyy 2 ) dx( x 22 xy)dy0 化为齐次方程为.1-18-57 .通解为 yC1 eC 2 e(C1 、 C2 为任意常数 ) 的微分方程为.1-19-58 .方程 y'2x y

4、e满意条件y x 00 的特解为.1-19-59 .方程xydx1x 2 dy0 化为可分别变量方程为1-20-60.方程 y'2xy的通解为y 21-21-61 . 方程x2 dydxxy dydx化为齐次方程为1-22-62 . 如ycost 为微分方程y' '9 y0 的解、就.1-23-63 .如 QdQ Ce kt 满意 dt0.03Q、就k.1-24-64 . y'2 y 的解为1-25-65 .某城市现有人口 50( 万)、设人口的增长率与当时的人口数x ( 万) 和1000x 的积成正比 、就该城市人口x(t ) 所满意的微分方程为21-26-6

5、6 . 圆 xy2r2满意的微分方程为1-27-67 .yxaea满意的微分方程为dyP( x) yQ( x)1-28-68 .一阶线性微分方程dx的通解为.1-29-69 .已知特点方程的两个根r1程为.2、 r23 、就二阶常系数线性齐次微分方1-30-70 .方程 y25 x为微分方程xy'2 y 的解.1-31-71 .二阶常系数非齐次微分方程的结构为其一个特解与之和.1-32-72 .二阶常系数齐次线性微分方程等实根，就其通解为.y' 'py'qy0 对应的特点方程有两个不1-33-73 .将微分方程为( xyy 2 )dx(x 22xy)dy0 写成

6、齐次微分方程的标准形式第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -二.挑选题：（ 29）2-1-56 .微分方程x dydx2 y的通解为 ()2A. yxB.y5 x2C.yCx 2D.yCx2-2-57 . 微分方程xydx1 x 2 dy0 的通解为 ()A. ye 1 x 2B. yCe 1 x 2C. yC arcsin xD.yC1x22-3-58 .以下方程中为全微分方程的为()A. ( x2y)dxxdy0B.ydxxdy0C.(1xy) ydx(1xy)dy0D.(x 2y 2 )

7、dxxydy02-4-59 .以下函数组中 、 线性无关的为 ()A. e 2 x 、 e3 xB. cos 2 x、 sin 2 xC.sin 2 x、cos x sin xD.lnx、ln x2x3 xx3 x2-5-60 .方程y' '2 y'3 y0 的通解为 ()x3 x3 xxA. yC1 eC 2 eB.yC1eC 2 eC.yC1eC 2 eD.yC1eC 2 e2-6-61 .方程y''y0 的通解为 ()A. yC sin xB.yC cos x C. ysin xC cos xD. yC1 sin xC 2 cos x2-7-62

8、. 以下方程中为可分别变量的方程为()dyA. dxx3 y3xyxB. (e23y)dx2xydy0dyx4y3dy1y 2C. dxxy2D. dxxyx3 y2-8-63 . 微分方程 y'y cot x0 的通解为 ()A. yC cos xB.yC sin xC.yC tan xD.yC csc x第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2-9-64 .已知微分方程y' 'yp0 的通解为 yxe 2 (C1C2 x) 、 就 p 的值为 ()1A.1B.0C.

9、21D.42-10-65 .微分方程y'2 y0 的通解为 ()A. ysin 2 xCB.y4e 2xCC.yCe2 xD.yCexdy2-11-66 .方程 dx2 xy的通解为 ()x 2A. eCx 2 CxB. eC.Cx 2eD.e(xC )2xxx2-12-67 .y ''e的通解为 y()xA. eB.eC.eC1xC 2D.eC1 xC 2dy2-13-68 .微分方程 dx1 xe2满意 yx 01 的特解为 ()A. y1 x2e 21B.1 xy2e 23C.y1 x2e 2yCD.11 x1e 2222-14-69 .微分方程x3 dx -yd

10、y0 的通解为 ()x2y 2Cx 2y 2Cx 2y 20x2y 21A. 42B. 42C. 42D. 422-15-70 . 微分方程3x dx -ydy0 的通解为 ()x 3y 3A. x 2y 22B.x3y 39C.x3y 311D.332-16-71 . 过点(0、2) 的曲线 、 使其上每一点的切线斜率都比这点纵坐标大5的曲线方程为 ()A. yx 23B.yx25C.y3e x5D.yCe x5dy2-17-72 .齐次方程 dxy tan xyx 化为可分别变量的方程 、应作变换 ()A. yux 2B.yu 2 x2C.yuxD.yu 3 x 3第 4 页，共 15 页

11、 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2-18-73 . 设方程 y'的解、 就()P (x) yQ( x) 有两个不同的解y1 、 y2 、 如y1y2也为方程A. B.0C.1D.、为任意常数2-19-74 . 方程xdyxdx2 ydx 的通解为 ()A. yCx 2xB.yC sin 2 xxC.ycos2 xCD.yx 2C2-20-75 .下面各微分方程中为一阶线性方程的为()2A. xy'yxB. y'xysin xC. yy'xD. y' 2xy2-21-76

12、.曲线上任一点 P的切线均与 OP垂直的曲线方程为()y'xy'xy'yy'yA. yB. yC. xD. x2-22-77 .方程 y'y0、 y(3)2 的解为 ()A. y2e3 xB.y2e3 xC.y2e x 3D.y2e x 32-23-78 . 微分方程 y'ylnx 的通解为 ()A. ye x ln xB.yCe x ln xC.yex ln x xD.yCe x ln x x2-24-79 .以下哪个不为方程y ''4 y 的解 ()A. y2e 2xB.ye2 xC.ye 2xD.y2e x2-25-80 .

13、方程y (4 )xy 3x 5 y' 'y 6 y 'sin y0 的阶为 ()A. 6B. 5C. 4D. 32 x2-26-81 .假如一条曲线在它任意一点的切线斜率等于y，就这条曲线为 ()A. 椭圆B.抛物线C.双曲线D.圆第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -2-27-82 .以下可分别变量的方程为()dyA. dxx3 y3xyB.(e x3 y2 )dx2 xydy0dyxyC.dxxyD.dy1dxxyy2x3 y2-28-83 .微分方程 y'

14、y cot x0 的通解为 ()A. yC cos xB.yC sin xC.yC tan xD.yC csc x2-29-84 . 已知微分方程y' 'yp0 的通解为 yx1e2 (CC2 x) 、 就 p 的值()1A. 1B. 0C.21D.4三.运算题：（ 59）3-1-52 .sec2x tanydxsec2y tan xdy03-2 - 53.xy 'y ln y03-3-54 .3e xtanydx(2ex ) sec2ydy023-4-55 . (1yx 2x 2 y 2 ) y 'x 2 ydyxe x3-5-56 .dxyey3-6-57

15、. (1x) ydx(1y) xdy0第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -3-7-58 .cos x sinydycos y sinxdx 、y | x 043-8-59 .( x 21) y'2 xy 20、 y(0)03-9-60 .y'2y ln x、 y(e)13-10-61 .cos x sinydycos y sin xdx 、y |x 043-11-62 . ( xy)dy(x - y)dx0dyx3-12-63 .dxy(ln yln x)23-13-64 .

16、 ( y2 xy) dx2x dy0xy'yyx tan3-14-65 .x3-15-66 .xy'y( xy) ln xyxy 23-16-67 .x2 dydxxy dydxxy'3-17-68 .yyx 、y | x 12y'x13-18-69 .yyx x 、y |x ee3-19-70 .xy'yx2y 2 、 y |2第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -3-20-71 .y'1 y xsin xx、y | x13-21-72 .y&

17、#39;3 y xx4 e x3-22-73 .y' 2 xy4 x33-23-74 .y'1 y x1ln x3-24-75 .1xy'yxe2 xx3-25-76 .y'y tan xsecx 、y |x 003-26-77 .y'1 y xsin xx、y | x13-27-78 .2 x2y'2 y1x1x、y |x 003-28-79 .xy'yxln x 、y | x eedy3-29-80 .dx2 xyxe x2dy3-30-81 . dxdy3-31-82 . dxdy3-32-83 . dxyy2 xyy 2 (cos

18、 xxy 5xy 40sin x)第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -dy1 y3-33-84 . dx31 (132 x) y 4dyy2x3-34-85 .dx2xy3-35-86 .y' 'y'x3-36-87 .3-37-88 .yy''y3 y' '( y' ) 210103-38-89 .3-39-90 .3-40-91 .y''y''y' '3y 、3 y 22、2

19、y0y |x 01 、y |x 31 、y'|x 02y'|x 313-41-92 .3-42-93 .3-43-94 .3-44-95 .3-45-96 .y' 'y''y' 'y' 'y' '4 y'5 y'4 y03 y'4 y0 、y |x00 、y'| x052 y'4 y'13 y0y 029 y0 、y |x 00 、y'|x 0153-46-97 .4 y' '3-47-98 .4 y' '4 y

20、'y4 y'y0 、y |x 00 、y |x00 、y'|x030 、2exy |x00 、y'|x010 、y |x 02 、y'| x 002 、y'| x 003-48-99 .y' '4 y'13 y3-49-100 . y' '4 y' 4 y3-50-101 .2 y' 'y'3-51-102 . y''yyxecos x3-52-103 . y' '6 y' 9 y( x1)e3 x3-53-104 .y '&#

21、39;y '2 y2ex第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -3-54-105 . y''2 y' 3 y2 x13-55-106 . y ''ysin 2 x0 、y | x1 、y | x13-56-107 . y' '3 y' 2 y5 、y |x 01 、y' |x 02y |6y' |333-57-108 . y' '10 y'9 ye 2x 、x 07 、x 073-58

22、-109 .y''yx4 xe、y | x 00 、y' |x 013-59-110 . y' '5 y' 6 yxe2 x四.应用解答题：（ 14）4-1-9 .一曲线通过点这曲线方程 .(2、3) 、它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分、求x2ty(t)dtyx1 x34-2-10 .已知 0 1t 23、求函数y(x)4-3-13 .求一曲线 、这曲线通过原点 、并且它在点( x、 y) 处的切线斜率等于2x4-4-14 .试求y ''y .x 的经过点yM (0;1) 且在此点与直线x12相切的积分曲线 .4-5-15

23、 .设某曲线 、 它上面的任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形面积总等于2、 求这条曲线的方程所满意的微分方程.4-6-16 .已知某曲线经过点求它的方程 .(1、1) 、它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标、x4-7-17 .设可导函数( x) 满意( x) cos x2(t ) sin tdt0EQx2 p 21、求(x) .4-8-10 .已知某商品需求量 Q对价格 p 的弹性为 Ep、最大需求量为Q1000、求需求函数 Qf ( p) .第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -4-9

24、-11 .设质量为 m 的物体在高空中静止下落、空气对物体运动的阻力与速度成正比.求物体下落的数率 v 与时间 t 的关系 、再求物体下落距离与时间t 的关系4-10-12 .在串联电路中 、设有电阻 R、电感L和沟通电动势 EE 0 sint 、在时刻t0 时接通电路 、求电流 i 与时间 t 的关系 (E0 、为常数).4-11-13 .如图、位于坐标原点的我舰向位于x 轴上A(1、0)点处的敌舰发射制导鱼雷、鱼雷始终对准敌舰 、设敌舰以常数v0 沿平行与 y 轴的直线行驰 、又设鱼雷的速度为2v0 、求鱼雷的航行曲线方程.4-12-14 .依据体会可知 、某产品的纯利润 L 与广告支出

25、x 有如下关系dLk (AL )dx，（其中 k0、 A0 ）、如不做广告 、即 x0 时纯利润为 L 0 、且 0L 0A 、试求纯利润 L 与广告费 x 之间的函数关系 .4-13-15 .在宏观经济争论中 、知道某地区的国民收入y 、国民储蓄 S 和投资 I均为时间 t 的函数 、且在任一时刻 t 、储蓄S(t ) 为国民收入1y(t ) 的 10 、投资额I (t)为国民收入增长率dy1dt 的 3.设 t0 时国民收入为 5( 亿元)、假定在时刻 t 的储蓄全部用于投资 、 试求国民收入函数 .4-14-16 .试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.五.证明题：（ 2）5-1-

26、18 .设y1 ( x)、y2 (x) 为二阶齐次线性方程y' 'p( x) y'q( x) y0 的两个解 、 令w(x)y1 ( x) y1 '( x)y2 ( x) y2 '(x)y1 ( x) y2' ( x)y1 '( x) y2(x)证明:w( x) 满意方程 w'p( x)w0第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -dyP( x) yQ ( x)5-2-19 .设y1 、y2 、y3 为线性方程dx的 3 个相异特解

27、 、y3证明y2y1y1 为一常数 .部分应用题答案487在串联电路中、 设有电阻R、 电感 L 和沟通电动势E电路 、 求电流 i 与时间 t 的关系 ( E 0 、为常数 ).E 0 sint 、 在时刻 t0 时接通解.设 ii (t)Ri、 由回路电压定律L di dtE0 sintdi、 即 dtRE 0LLsinti(t )R dteLE 0sinteR tL dtC eRtEL 0sinRtte L dtC L=LR tCeL=E0R22 L 2C(R sintLE0L cost)将 i |t 00 代入通解得R 22 L2i (t)E0(R 22 L 2R tLeLR sint

28、L cost )488. 设质量为m 的物体在高空中静止下落、 空气对物体运动的阻力与速度成正比. 求物体下落的数率v 与时间 t 的关系 、 再求物体下落距离与时间t 的关系解： .物体重力为wmg 、 阻力为 Rkv 、 其中 g 为重力加速度、k 为比例系数 .由牛顿其次定律得k dtmm dvdtm dtkmgkvmdvk v、从而得线性方程dtmktgv |0t0、mvegedtC gCe mk、 将 v |t 0Cg0 代入通解得k第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -vm g(

29、1k te m )Sm gtk2mge mtC21k、 再积分得kk、Cgm2将 S |t 00 代入求得1k 2Sm gt kk2tmg (e m1) k 2489. 如图 、 位于坐标原点的我舰向位于x 轴上A(1、0) 点处的敌舰发射制导鱼雷、 鱼雷始终对准敌舰 、 设敌舰以常数行曲线方程 .v0 沿平行与y 轴的直线行驰、 又设鱼雷的速度为2v0 、 求鱼雷的航解：设鱼雷的航行曲线方程为yy(x) 、 在时刻 t 、 鱼雷的坐标巍巍P ( x、y) 、 敌舰的坐标为Q(1、v0t ) .y'v0tyx1y' 2 dx2v t因鱼雷始终对准敌舰、 故1x、 又弧 OP 的

30、长度为00、从以上两式消去(1v0 t 得x) y ''y'112y' 2y'(1、 即x) y' '11y'22依据题意 、 初始条件为y(0)0 、y'( 0)0令 y'(1p 、 原方程化为x) p '11 2p 2、 它为可分别变量得方程、解得 p1p2C1 (11x) 2y'、 即1y'2C1 (11x) 2将 y' (0)0 代入上式得 C11 、 故 y'1y'21(1x) 2x)1211而 y'1y'21y'y'(12y

31、'、 得1(1x)221(1x) 2y积分得1、 将(1x) 21 (133x) 2C 2y( 0)2C 20 代入上式得3 、y所以鱼雷的航行曲线为1(1x) 21 (1332x) 23第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -dLk( AL )490依据体会可知、 某产品的纯利润L 与广告支出x 有如下关系dx，（其中k0、 A0 ）、 如不做广告 、 即 x0 时纯利润为L 0 、 且 0L 0A 、 试求纯利润L 与广告费 x 之间的函数关系.dL解：依题意得dxk ( AL )

32、L |x0、L 0 、 解可分别变量得微分方程、 得通解LACekx 、 将 L | x 0L 0 代入通解 、 得 CL 0A 、 所以纯利润L 与广告费x 之间的函数关系为491L ( x)A( LA)e kx.在宏观经济争论中、 知道某地区的国民收入y 、 国民储蓄S 和投资 I 均为时间 t 的函数 、 且在任一时刻t 、 储蓄S(t ) 为国民收入1y(t) 的 10 、 投资额I (t)为国民收入增长率dy1dt 的 3 .设 t0 时国民收入为5(亿元 )、 假定在时刻t 的储蓄全部用于投资、试求国民收入函数.S解：依题意 :1yI10、1dy3dt、 解之得通解y3 tCe10、 将y |t 05 代入通解得C5 、所以国民收入函数为3 ty5e10492试建立描述市场价格形成的动态过程的数学模型.解：设在某一时刻t 、 商品的价格为p(t )、 因供需差价、 促使价格变动. 对新的价格、又有新的供需差、 如此不断地调剂价格、 就构成了市场价格形成的动态过程.dp假设价格p(t ) 的变化率dt与需求和供应之差成正比. 记需求函数为f ( p、 r ) 、 供应函数为 g ( p)、 其中dpr 为参数 . 于为得微分方程dtk f( p、 r )g ( p )、p (0)