2021年向量知识点归纳与常见题型总结.docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -向量知 识点归纳与常见题型总结高三理科数学组全体成员一.向量学问点归纳1与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量为只有大小的量（称标量） ，而向量既有大小又有方向；数量 可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小. 记号“ a b ”错了，而| a | | b | 才有意义 .有些向量与起点有关，有些向量与起点无关. 由于一切向量有其共性（大小和方向） ，故我们只争论与起点无关的向量（既自由向量）. 当遇到与起点有关向量时，可平移向量.平行向量（既共线向量）不肯定相等，但相等向量肯定为平行向量，既向量平行

2、为向量相等的必要条件.单位向量为模为1 的向量，其坐标表示为（x、 y ） 、 其中 x . y 满意x2y2 1（可用（ cos、sin）（ 0 2）表示） . 特殊：AB| AB |表示与 AB 同向的单位向量；uuuruuur例如：向量(uAuBuruAuCur)(0) 所在直线过ABC 的内心 ( 为BAC 的角平分线所在直线 ) ；| AB | AC |uuuruuuruuuruuurABAC例 1.O为平面上一个定点， A.B.C不共线，P 满意OPOA( uuuruuuur)0、).就点 P 的轨迹肯定通过三角形的内心；| AB | AC1(变式 )已知非零向量AB 与AC 满意

3、 ( AB|AB |AC+|AC |AB)·BC =0 且 |AB |AC2· =|AC |、 就 ABC 为( )A. 三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形(06 陕西 ) 0 的长度为0，为有方向的，并且方向为任意的，实数0 仅仅为一个无方向的实数.有向线段为向量的一种表示方法，并不为说向量就为有向线段.（ 7）相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量为a ；) 2与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍为一个向量. （三角形法就和平行四边形法就）当两个向量a 和 b 不共线时， ab 的方向与 a .b 都不相

4、同， 且 | ab | | a | | b | ；当两个向量a 和 b 共线且同向时，ab .a .b 的方向都相同， 且 | ab | a | b | ；当向量 a 和 b 反向时，如 | a | | b | ， ab 与a 方向相同，且 | ab |=|a |-|b | ；如| a | | b | 时 、 ab 与 b方向相同，且| a b |=|b |-|a |.向量与向量相减，其差仍为一个向量. 向量减法的实质为加法的逆运算.三角形法就适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法就适用于共起点的向量求和；ABBCAC ; ABACCB1第 1 页，共 8 页 - - - - - - - -

5、- -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 2： P 为三角形ABC 内任一点，如CBPAPB、R ，就 P 肯定在（）A .ABC 内部B.AC 边所在的直线上C .AB 边上D.BC 边上2例 3.如AB·BCAB0，就 ABC为： A.Rt B. 锐角 C. 钝角D.等腰 Rt特殊的：ababab 、例 4.已知向量a(cos、 sin)、 b(3、1) ，求| 2ab | 的最大值；分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里为三角）的最值问题，为通法；解：原式 = | (2 cos3、2 sin1) |(2 cos3) 2(2 sin

6、1) 2=88 sin() ；当且仅当32k5(k6Z ) 时，| 2ab | 有最大值 4.评析： 其实此类问题运用一个重要的向量不等式“ | a | b | | ab | | a | b |”就显得简洁明快；原式量同向）；| 2a | b |= 2 | a | b |2124 ，但要留意等号成立的条件（向围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.如， ABBCCA0 、 （在 ABC中）ABBCCDDA0 .( ABCD中)判定两向量共线的留意事项：共线向量定理对空间任意两个向量a.b(b 0 ) ， ab存在实数使a= b假如两个非零向量a ， b ，使 a = b （ R

7、），那么 a b ；反之，如 a b ，且 b 0，那么 a = b .这里在 “反之” 中，没有指出 a 为非零向量， 其缘由为 a =0 时，与 b 的方向规定为平行.数量积的8 个重要性质两向量的夹角为0 . 由于向量数量积的几何意义为一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正.可负.可以为零，故向量的数量积为一个实数.设 a . b 都为非零向量，e 为单位向量，为 a 与 b 的夹角，就e aae| a |cos.(| e |1) abab0 （=90°，cos0)在实数运算中ab =0a =0 或 b=0. 而在向量运算中ab = 0a = 0 或 b = 0

8、 为错误的，故 a0 或 b0 为 ab =0 的充分而不必要条件.当 a 与 b 同向时 ab = | a | b |(=0、cos=1);当 a 与 b 反向时， ab =-| a | b |(= 、cos=-1) ，即 a b 的另一个充要条件为| ab | a |rrrr| b |. 当为锐角时， a . b 0，且 a.b 不同向， a b0 为为锐角的必要rrrr非充分条件 ；当为钝角时， a . b 0，且 a.b 不反向， a b分条件 ；0 为为钝角的必要非充例 5. 如已知 a(、2) ， b(3、2) ，假如 a 与 b 的夹角为锐角，就的取值范畴为2第 2 页，共 8

9、页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - - （答：4 或0 且1 ）；33例 6.已知 i 、 j 为相互垂直的单位向量，a求实数的取值范畴；i2 j ，bij ；且 a 与 b 的夹角为锐角，分析：由数量积的定义易得“a、 bab0 ”，但要留意问题的等价性；解：由 a 与 b 的夹角为锐角，得ab120. 有1 .2t1而当 at b(t0)、 即两向量同向共线时，有得t22.此时其夹角不为锐角；故、22、 1.2评析： 特殊提示的为：a、b为锐角与 ab0 不等价； 同样a、 b为钝角与 ab0不等价；极易疏忽特

10、例“共线”；特殊情形有aa22a= | a | ；或| a | =aa2=a=x2y 2 .如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 (x1 、y1 )、(x2 、y2 )、 就| a | =( x1x ) 2( y1y ) 222 | a b | a | b |；（因cos1）数量积不适合乘法结合律.如 (ab)ca (bc). （由于 (ab)c 与 c 共线，而 a(b c)与 a 共线）数量积的消去律不成立.如 a . b . c 为非零向量且acbc 并不能得到ab 这为由于向量不能作除数，即 1 为无意义的 .c(6) 向量 b

11、 在 a 方向上的投影bcos a ba(7) e1 和 e2 为平面一组基底、 就该平面任一向量auuuruuur1 e12 e2 (1、2 唯独 )特殊： .OP 1 OA2 OB 就121为三点 P.A. B 共线的充要条件.留意：起点相同，系数和为1；基底肯定不共线1 uuuruuuruuur例 7.已知等差数列an的前n 项和为Sn ，如BOa1 OAa200 OC ，且 A.B. C2三点共线（该直线不过点O），就 S200（）A 50B. 51C.100D.101例8. 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3、1) 、 B (1、3) 、 如点 C 满意OC1OA2OB

12、 、 其中1 、2R 且12 1 、 就点 C 的轨迹为 （ 直线 AB）3第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -例 9.已知点A、B、C 的坐标分别为(3、1)、 (5、2)、 (2 t 、2t ) .如存在实数、使 OCOA(1)OB 、就 t 的值为 :A. 0B. 1C. 0 或 1D.不确定例 10 以下条件中，能确定三点2A、 B、 P 不共线 的为：222A MPsin20 MAcos20 MBB MPsec20 MAtan20 MBC MP2sin20 MA2cos70 MBD

13、MP2csc31 MA2cot31 MB分 析 ： 本 题 应 知 ：“ A、 B、 P 1 ” ；共 线 ， 等 价 于 存 在、R、 使 MPMAMB 且uuur(8)1uuuruuuruuur 在ABC 中 ， PGuuuruuuruuurr3 (PAPBPC )1G 为ABC 的 重 心 ， 特 别 地PAPBPC0P 为ABC 的重心；ABBCAD 就 AD 过三角形的重心；2例 11.设平面对量a1 .a2 .a3 的和 a1a2a30 ；假如向量b1 .b2 .b3 ，满意 bi2 ai，i且 a 顺时针旋转30o 后与bi 同向，其中i1、2、3，就（ D）（ 06 河南高考）

14、Ab1b2b30Bb1b2b30C b1b2b30D b1b2b30uuuruuuruuuruuuruuuruuur PAPBPBPCPCPAP 为ABC 的垂心；uuuruuur向量(uAuBuruAuCur| AB | AC)(0) 所在直线过ABC 的内心 (BAC 的角分线所在直线) ；|uuuruuuruuuruuuruuuruuurr | AB | PC| BC | PA| CA | PB01PABC 的内心； ( 选) S AOBxA y B2xB y A ;uuuruuuruuuruuuruuur且满意OBOCOBOC2OA，就例 12.如 O 为 VABC 所在平面内一点，

15、的外形为 （答：直角三角形） ；VABC例13 . 如 D 为ABC 的 边 BC 的 中 点 ，ABC 所 在 平 面 内 有 一 点 P ， 满 足uuuruuuruuurruuur0 ，设PABPCP| AP | uuur| PD |，就的值为 （答： 2）；uuuruuuruuurro例 14.如点 O 为 ABC 的外心，且OAOBCO0 ，就内角 C 为 （答： 120 ）；(9) . P 分P1P2 的比为、 就P1P =P P2 、 0 内分 ;0 且 -1 外分 .OP OP1OP2; 如 1 就 OP 1(2OP + OP ); 设 P(x、y)、P1(x 1、y 1)、1

16、x1xP2 (x 2、y 2) 就1x2、x; 中点12x1x2、x2重心x 1x 23x 3 、y1y2y.1yy1y2 .2yy1y 23y3 .说明： 特殊留意各点的次序，分子为起点至分点，分母为分点至终点，不能转变次序和分子分母的位置；例 15.已知 A（ 4， -3 ），B（ -2 ， 6），点 P 在直线 AB上，且 | AB |3|4AP | ，就 P 点的坐第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -标为（）（ 2， 0），（ 6， -6 ）uuurxxh(10) .点P( x、 y)

17、 按 a(h、 k)平移得P (x 、 y )、 就 PP a或y函 数 yykf (x) 按a(h、k)平移得函数方程为：ykf (xh)说明：（ 1）向量按向量平移，前后不变；（ 2）曲线按向量平移，分两步：确定平移方向-与坐标轴的方向一样；按左加右减，上加下减（上减下加）例16.把函数yr2 x2 的图象 按向量a(2、2)平移后得到的解析式为 ；y2 x28x6例 17.函数 ysin 2 x 的图象按向量a 平移后， 所得函数的解析式为ycos 2 x1，就 a （答： (、1) ）4结论：已知A( x1 、 y1 )、 B ( x2 、y2 )、 l : AxByC0 、 过A、

18、B 的直线与 l 交于点 P 、 就 P 分AB 所成的比为Ax1 Ax2By1 By 2C、 如用此结论 、 以下两题将变得很简洁.C例 18.已知有向线段PQ 的起点 P 和终点Q 的坐标分别为(1、1)、 (2、2) ，如直线 l 的方程为 xmym0 ，直线 l 与 PQ 的延长线相交 、 就 m 的取值范畴为 .解 : 由解得Ax1Ax 23 mBy1C得By 2C231 2 m2 3m、 由于直线l 与 PQ 的延长线相交、 故1 、变式 : 已知点 A(2、-1)、B(5、3).如直线l : kxy10 与线段 AB 相交 、 求 k 的范畴 .提示 :由Ax1 Ax2By1C得

19、:By2C2k25k20 及直线过端点得1k25uuuruuuruuuruuur（ 11）对空间任一点O和不共线的三点A.B.C，满意 OPxOAyOBzOC ，就四点 P.A.B. C为共面xyz1 留意：（ 1）起点相同（ 2）系数和为1；（ 12） 空间两个向量的夹角公式cosa，b=a1b1a2a2a2b2 a2b2a3b3b2（ a ( a1 、a2 、 a3 ) ，b2b (b1、b2 、 b3 ) ） .123123（ 13）空间两点间的距离公式如 A( x1 、 y1 、 z1 ) ， B( x2 、y2 、 z2 ) ，就uuuruuuruuur22 2d A 、 B =|

20、AB |AB AB(x2x1 )( y2y1 )( z2z1 ).（ 14）点 Q 到直线 l 距离 h1(| a | b |)2| a |(a b)2( 点 P 在直线 l 上，直线 l 的方向向量uuuruurua= PA ，向量 b= PQ ).（ 15）正弦定理abc2R （ R 为三角形的外接圆半径）sin Asin Bsin C5第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -说明：正弦定理可直接进行边角转换；例 15：在ABC 中，a、 b、 c 分别为角A、 B 、C 的对边，且cosBb

21、，求 B 的大小；提示： cos Bbsin B2BcosC2accos C2ac2sin Asin C3例 16：在ABC 中，如 sin C2cos Asin B ，就此三角形必为 三角形（等腰）提示： c2cosAbcb 2c222bca 222bab（ 16）余弦定理a 2b2c22bc cos A ; b 2c2a22ca cos B ;c2a 2b 22ab cos C .（ 17）面积定理S1 ah1 bh1 ch （ h . h .h分别表示a.b.c 边上的高） .abc222abc1 Sab sin C1bc sin A1ca sin B .2221uuuruuur2uuu

22、ruuur21 uuur uuuruuuruuur S OAB(| OA | | OB2|)(OA OB )=OAgOB tan 2(为 OA、OB 的夹角 )（ 18）三角形内角和定理在 ABC中，有ABCC( AB)CAB2222C22( AB) .说明：（ 1）三角形具有丰富的内涵（隐含条件）：两边之和大于第三边；：斜边大于直角边；：正（余）弦定理；：面积公式；：内角和为1800 ；：大角对大边： tan Atan BtanCtan Atan Btan C： 正弦.余弦函数的单调性；锐角三角形中有：AB2ABsin A 2sin(2B )cos B钝角三角形中有（C 为钝角）： AB2A

23、Bsin A 2sin(2B )cos B例 17： 定义在 R 上的偶函数f ( x1)f ( x) ，且在 3、2 上为减函数，、为锐角三角形的两个角，就（） A.f (sin)f (cos)B . f (sin)f (cos)C . f(sin)f (sin)D. f (cos)f (cos)（ 19）平面两点间的距离公式uuuruuuruuur2 2d A、 B = | AB |AB AB(x2x1 )( y2y1 )(A ( x1 、 y1 ) ， B( x2 、 y2 ) ).（ 20）向量的平行与垂直设 a= ( x1 、 y1 ) 、b=( x2 、y2 ) ，且 b0，就a

24、bb= ax1 y2x2 y10 .ab(a0)a· b=0x1 x2y1 y20 .（ 21）线段的定比分公式设uuuruuurP1( x1 、y1) ， P2 (x2 、 y2 )， P (x、 y)为线段P1 P2 的分点 、为实数，且 P1PPP2 ，就6第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -xx1x2uuuruuuruuuruuuruuuruuur1OPOP1OP2OPtOP(1t)OP （ t1） .12yy1y2111（ 22） 平面对量的综合问题向量的“双重身份”注定了

25、它成为中学数学学问的一个重要交汇点，担当多项内容的媒介也就成了理所当然的事情， 数的特性使得它与 “函数， 三角， 数列， 不等式， 导数” 有众多的联系， 成为高考中一个新的亮点； 形的特性又使它必定与 “平面几何， 解析几何， 立体几何”紧密相关，以表达它的工具作用；我们应当第一做到的为具有向量语言的“翻译”才能；即把抽象的向量语言，转换成直观的“图形语言”或者可操作的“运算形式”；一般来说，夹角问题总为从数量积入手，长度问题就从模的运算性质开头（一般需先平方），而共线，共点问题多由数乘向量处理；例 19设平面对量a(3 、21 )、 b2( 1 、23 ) ，如存在不同时为0 的两个实数

26、2s、t 及实数 k0 ，使 xa(t 2k) b、 ysat b 且 xy ；（ 1）求函数关系式sf (t) ；（ 2）如函数 sf (t ) 在 1、) 为单调函数，求k 的取值范畴；分析：由数量积的坐标运算，不难得出sf (t) 的解析式，含参数必引起争论，运用“整体思想” 可简化运算；上恒成立” ；f (t) 在 1、) 为单调函数， 等价于“f ' (t )0 或 f' (t )0 在 1、)解：（ 1）a(3 、 21 )、 b2( 1 、23 ) ，2| a | b |1、 且 a b0 ，又xyxy0 即 a(t 2k ) b (satb)0 由此得：st 3

27、kt（ 2）f ' (t )3t 2k ，又f (t) 为单调函数，如 f (t ) 为增函数，就f ' (t )0 ，恒有3t 2k、而t1、) ，0k3如 f (t ) 为减函数，就f ' (t )0 ，恒有3t 2k、而t1、) ，这样的 k 不存在综上 0k3 .评析：此题掩盖了很多重要的学问点和数学思想方法，与“在学问网络交汇点设计试题”的高考命题思想相吻合；ABAC例 20 .在ABC中，1 BABC，3，又E 点在BC边上，且满意| AB |2| BA |23 BE2EC，以 A .B 为焦点的双曲线经过C . E 两点 .求此双曲线的方程.分析： 遇到的

28、首要问题即“建系” 和“向量语言” 的解读； 深刻懂得向量运算的几何意义，就显得万分重要了；解: 以线段 AB 的中点 O为原点，直线AB 为 x 轴建立平面直角坐标系， A（ -1 ， 0），B（ 1， 0）作 CD AB 于 D，由已知ABAC1 ， | AC |cosA=1 ，即 | AD |= 1 ，| AB |2227第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -同理又BABC3 ， | BD |= 3 ，| BA |22x 2y 21设双曲线的方程为1(a>0、b>0)、C(-、

29、h)、 E(x1、y 1)又 31a 2BE2 EC ，h2b 21x 251y 2h 52又 E.C 两点在双曲线上，2214ab21262、 解答： a =、b =、双曲线的方程为：7x -7 y2 =1.244h7761、a2b2125a225b2评析：解析几何与向量的综合，主要表现为用向量的语言来表述题意（如共线，垂直常表现为向量等式， 有时也涉及向量的坐标形式） ，其实其本质内容仍为本章节的学问的整合；此题中关键在懂得两个向量等式（也即“向量的投影” ）的几何意义，我们只要具备数学语言的“翻译”才能和简洁的向量坐标运算的基础学问就可以了；例 21设x、 yR，且 xy1 ，求证： (

30、11 )(11 )9xy分析：观看不等式的结构特点，可以联想向量数量积的性质“解决，不失为一种别致的想法；a b| a |b | ”，构造向量证：设 a(1、1 )、 bx(1、1 ) ，就 a b1 y1，而 | a | xy| b |(11)(11 ) ；xy由 a b| a | b | 得， (ab) 2| a |2 | b |2 ，(11 )(11 )(1xy1) 2xy(12) 29.xy评析：依据题目所含代数式的结构特点，合理构造向量的坐标，运用向量数量积的性质“ a b| a | b | ”可以解决很多代数问题；同样将几何图形中的线段“向量化”也可争论几何图形的性质；这就为新奇别致的解题方法 - 向量法；“构造法”为一种制造性思维， 表达了更高层次的思维价值；该例子在于唤起大家的“向量应用意识” ，认真体会，别有乐趣；8第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -