2021年函数中的任意和存在性问题(整理).docx

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1、精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -函数中的恒成立.恰成立和能成立问题教学目标：结合详细函数，争论关于任意与存在性问题的一般解题方法过程与方法通过争论详细函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系问题：已知函数f ( x)2k 2 xk、 x 0、1 ，函数g ( x)3 x22(k 2k1) x5、 x1、0 ，当 k6 时，对任意x1 0、1 ，为否存在x21、0 ，g (x2 )f ( x1 ) 成立 .如 k2 呢？变式 1： 对任意 x1 0、1 ，存在 x21、0 ， g( x2 )f (x1 ) 成立，求 k 的取值范畴

2、.f (x) 的值域为 g ( x) 的值域的子集即可.变式 2： 存在 x10、1 x 21、0 ，使得g ( x2 )f ( x1 ) 成立，求 k 的取值范畴 .g ( x ) 的值域与f ( x ) 的值域的交集非空.变式 3： 对任意 x10、1 ，存在 x21、0 ，使得g( x2 )f (x1 ) 成立，求 k 的取值范畴 .gmin ( x)f min (x)小结： 对函数中的存在性与任意性问题: 相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.例 1：（ 1）已知x22 xaf (x)、对任意 xx1、)、f ( x)0恒成立，求实数 a 的取值范畴；（ 2）

3、已知f ( x)x22xa x，对任意 x1、) ，f ( x) 的值域为 0，），求实数 a 的取值范畴；分析 ：此题第（ 1）问为一个恒成立问题，由于x1，f ( x)x22 xa x0 恒成立，就此问题等价于(x)x 22xa0(x1) 恒成立，又等价于x1时(x) 的最小值0 恒成立 .由于a3 .(x)(x1) 2a1在 x1 时为增函数，所以min ( x)(1)a3 ，于为 a30 ，第（ 2）问为一个恰成立问题，即当 x1 时，f ( x) 的值域恰为0、) 、与（1）不同的为，（ 1）为 x1时， f (x)0恒成立，因此答应在x1时，f (x) 的取值为 2、) ， 3、)

4、 ， - 等等 .而 f ( x) 的值域为0、) ，就当 x1 时，f ( x) 只能取0、) ，而不能为其他.第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -f ( x)x 22 xa xxa2 ，当 a x0时，由于 x1， f ( x)xa2 x3 与其值域为0、)冲突，所以有a留意到当 a0 .0 时， 函数 yx、 ya 都为 1、 x) 上的增函数， 因而f ( x) 也为 1、) 上的增函数 .于为f (x) 在 x1 时的最小值为f (1) ，令f (1)0 ，即 1a210，得 a3

5、.小结： 1.解恒成立题 的基本思路为：如xD 、 f ( x)A 在 D 上恒成立，等价于f ( x)在 D 上的最小值f min ( x)A 成立，如f (x)B 在 D 上恒成立，就等价于f (x) 在 D 上的最大值f max ( x)B 成立 .2.解决恰成立问题的的基本思路为：如xD 、 f( x)A 在 D 上恰成立，等价于f (x) 在 D 上的最小值f min ( x)A ，如 xD 、 f( x)B 在 D 上恰成立，就等价于f (x)在 D 上的最大值f max ( x)B .恰成立问题：如不等式在区间上恰成立 、 就等价于不等式的解集为；如不等式在区间上恰成立 、 就等

6、价于不等式的解集为.例 2： 函数fxx2xa 2a（ 1）定义域为区间1、2 ，求实数 a 的取值范畴 .（ 2）在区间 1、2 上有意义，求实数a 的取值范畴；分析：（ 1）由题意知不等式x2xa 2a0 的解集为 -1、2 ，即 x2xa 2a0 的解集为 -1、2 ，就 x2xa 2a0 的两根为 -1，2 就 a 2a2a1或 a2（ 2）由题意知，不等式x2xa 2a0 在-1、2 上恒成立即: a 2ax 2x、 x1、2恒成立a2a(x 2x) max 、 x1、2x2x1 21( x)x1或 x2 时，( x2x)2a 2a2a1 或 a224能成立问题（存在） ：max如在

7、区间上存在 实数使不等式成立 、就等价于在区间上； 如在区间上存在 实数使不等式成立 、就等价于在区间上的.练习 1.如已知不等式在实数集上的解集不为空集，求实数的取值范畴 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -练习 2. 已知两函数f ( x)8 x 216xk 、 g( x )2x 35 x24x ， k 为实数；（）对任意的x3、3 ，有f ( x )g( x) 成立，求实数k 的取值范畴；（）对任意的x13、3 ，x 23、3 ，有f ( x1 )g( x 2 ) 成立，求实数k 的取值范畴；（）对任意的x23、3，总存在x13、3 ，有f ( x1 )g( x2 )成立，求实数k 的取值范畴；练习 3.已知函数f ( x)mx3、g (x)x2xm2（ 1）求证：函数f (x)g ( x) 必有零点（ 2）设函数G ( x)f ( x)g ( x)1如 | G (x) | 在1、0上为减函数，求实数m 的取值范畴；第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - - -