弹性力学 第五章讲稿.ppt

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1、弹性力学 第五章第一页，讲稿共十一页哦弹性力学变分法，又称为弹性力学变分法，又称为能量法能量法。因其中的泛。因其中的泛函就是弹性体的功和能量。函就是弹性体的功和能量。泛函泛函是以函数为自变量的一种函数。是以函数为自变量的一种函数。变分法变分法，是研究泛函及其极值的求解方法是研究泛函及其极值的求解方法。例如：弹性力学问题中，一般函数例如：弹性力学问题中，一般函数以坐标作以坐标作为自变量为自变量，而弹性体的应变能是以应力应变而弹性体的应变能是以应力应变为自变量的函数，属于泛函。为自变量的函数，属于泛函。54 弹性体的形变势能和外力势能弹性体的形变势能和外力势能一一.变分法的概念变分法的概念第二页，

2、讲稿共十一页哦外力势能外力势能外力做了功，必然消耗了相同值的势能。当取 时的外力势能为零，则：1.1.弹性体上的外力功和外力势能（平面问题）弹性体上的外力功和外力势能（平面问题）外力为外力为恒力恒力时所做的功：时所做的功：二二.常用泛函的计算常用泛函的计算第三页，讲稿共十一页哦2.2.应力的功和形变势能（内力势能）应力的功和形变势能（内力势能）单位体积单位体积上，应力所做的功上，应力所做的功单元体单元体注意系数注意系数不同不同第四页，讲稿共十一页哦对于平面应力问题或平面应变问题，单位体积上应力对于平面应力问题或平面应变问题，单位体积上应力所做的功都是所做的功都是假设没有转化为非机械能和动能，则

3、应力所做的功全部转假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部转化为弹性体的化为弹性体的内力势能内力势能，又称为，又称为形变势能形变势能，或，或应变能应变能，存贮于物体内部。存贮于物体内部。单位体积的形变势能称单位体积的形变势能称形变势能密度形变势能密度。注：有势力（外力）做功后，势能减小，内力做功注：有势力（外力）做功后，势能减小，内力做功后，形变势能（内力势能）增加。后，形变势能（内力势能）增加。第五页，讲稿共十一页哦整个弹性体的形变势能是整个弹性体的形变势能是将物理方程代入，将物理方程代入，平面应力问题的形变势能密度平面应力问题的形变势能密度可可用用形变形变表示为表示为再将几何方程代

4、入可用再将几何方程代入可用位移位移表示为表示为第六页，讲稿共十一页哦（1 1）U是应变或位移的二次泛函，故不能应用叠加是应变或位移的二次泛函，故不能应用叠加原理。原理。（2 2）应变或位移发生时，）应变或位移发生时，U 总是正的，即总是正的，即（3 3）U的大小与受力次序无关。的大小与受力次序无关。（4 4）U1 1对应变的导数，等于对应的应力：对应变的导数，等于对应的应力：形变势能形变势能U的性质的性质第七页，讲稿共十一页哦3.弹性体的总势能弹性体的总势能外力势能和内力（形变）势能之和外力势能和内力（形变）势能之和例题例题 试证明，在同样的应变分量的情况下，平面应变试证明，在同样的应变分量的情况下，平面应变情况下单位厚度的形变势能大于平面应力情况下情况下单位厚度的形变势能大于平面应力情况下的形变势能。的形变势能。证：平面应力情况下，第八页，讲稿共十一页哦单位厚度的形变势能是：对于平面应变情况，只需第九页，讲稿共十一页哦因此，平面应变的形变势能因此，平面应变的形变势能UU 大于平面应力的形变势能大于平面应力的形变势能U U 。第十页，讲稿共十一页哦 试证明试证明平面应力情况下，第十一页，讲稿共十一页哦