波利亚的解题理论与中学教学.ppt

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1、波利亚的解题理论与中学教学现在学习的是第1页，共23页波利亚的解题表及评述波利亚的解题表及评述1波利亚的解题技巧波利亚的解题技巧2关于波利亚解题表的解释关于波利亚解题表的解释31个例子个例子学习数学要做到熟练化熟能生巧，进而出学习数学要做到熟练化熟能生巧，进而出神入化而要这样，就必须练。神入化而要这样，就必须练。华罗庚华罗庚现在学习的是第2页，共23页 波利亚的解题技巧波利亚的解题技巧解题过程分为以下四个阶段解题过程分为以下四个阶段:一、一、弄清问题弄清问题 （1 1）未知数是什么）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什么已知数据是什么？条件是什么?满满足条件是否可能足条件是否可能?要确定未知

2、数要确定未知数,条件是否充分条件是否充分?或者它是或者它是否不充分否不充分?或者是多余的或者是多余的?或者是矛盾的或者是矛盾的?（2 2）画张图）画张图,并引入适当的符号并引入适当的符号.（3 3）把条件的各部分分开）把条件的各部分分开,并把它们写下来并把它们写下来.（4 4）题目要求你干什么）题目要求你干什么?可否数学化可否数学化?现在学习的是第3页，共23页 二、二、拟订计划拟订计划1.1.考虑以前是否见过它考虑以前是否见过它?是否见过相同的问题而形式稍有是否见过相同的问题而形式稍有不同不同?你是否知道一个可能用得上的定理你是否知道一个可能用得上的定理?2.2.考虑具有相同未知数或相似未知

3、数的熟悉的问题考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题.3.3.能否利用它的结果或方法能否利用它的结果或方法?为了利用它为了利用它,是否引入某些辅助是否引入某些辅助元素元素?4.4.能否用不同的方法重新叙述它能否用不同的方法重新叙述它?5.5.回到定义去回到定义去.6.6.如果你不能解决所提出的问题如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关可先解决一个与此有关的问题的问题.7.7.是否利用了所有的已知数据是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否是否利用了所有条件？是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念考虑了包含在问题中的所有必要的概念?现在学习的是第4页，共23页三、执行计划

4、三、执行计划1 1、实现你的求解计划、实现你的求解计划,检验每一步骤检验每一步骤.2 2、你能否清楚地看出这一步骤是正确的、你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一你能否证明这一步骤是正确的步骤是正确的?3 3、把你想好的解题过程具体地用术语、把你想好的解题过程具体地用术语,符号符号,图形图形,式子表式子表述出来述出来.4 4、修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案、修正解题方向以及原来拟定的不恰当的方案.5 5、解题要求是、解题要求是:严密具有逻辑性严密具有逻辑性.现在学习的是第5页，共23页四、回顾四、回顾1.1.能否检验这个论证能否检验这个论证?2.2.你能否用别的方法导出结果你

5、能否用别的方法导出结果?3.3.能不能一下子看出它来能不能一下子看出它来?4.4.能不能把这结果或方法用于其他问题能不能把这结果或方法用于其他问题?现在学习的是第6页，共23页1个例子个例子例例1 1 已知已知k ka ab bc c0 0，求证：，求证：k k2 2(a+b+c)k+ab+bc+ca(a+b+c)k+ab+bc+ca0 0读题，读题，反复读题，这是解题时首先要认真读题，读题，反复读题，这是解题时首先要认真做的事，切莫忽视做的事，切莫忽视现在学习的是第7页，共23页弄清问题弄清问题 问题应当用自己的语言重新叙述问题应当用自己的语言重新叙述通过复述，可以通过复述，可以发现学生是否

6、理解了题意，有没有忽略重要的部分发现学生是否理解了题意，有没有忽略重要的部分凡有凡有学生来问问题，首先让他复述，切不可急急忙忙地把解答学生来问问题，首先让他复述，切不可急急忙忙地把解答告诉他告诉他因为比解答更重要的是解法，即如何从已知因为比解答更重要的是解法，即如何从已知走向未知，而将题目中的走向未知，而将题目中的“信息信息”重新编排，适当整重新编排，适当整理，正是走向未知的第一步理，正是走向未知的第一步现在学习的是第8页，共23页弄清问题弄清问题1.实际上，改变问题的提法已不仅是弄清题实际上，改变问题的提法已不仅是弄清题意，可以说是向问题的解决进了一大步意，可以说是向问题的解决进了一大步2.

7、波利亚主张波利亚主张“不断地变换你的问题不断地变换你的问题”，“我们必须一再地变化它，重新叙述它，变我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止西为止”现在学习的是第9页，共23页 拟订计划1.1.问题明确后，便是通常所说的真正的解题阶段问题明确后，便是通常所说的真正的解题阶段2.2.熟悉的问题，有一定套路的问题，不需太多思考熟悉的问题，有一定套路的问题，不需太多思考3.3.稍进一步的问题，需要一点变化，波利亚的表中稍进一步的问题，需要一点变化，波利亚的表中“你是你是否见过相同的或形式稍有不同的问题？否见过相同的或形式稍有不

8、同的问题？”可用，以唤醒你可用，以唤醒你的记忆，从大脑的信息库中找到一个可以利用的模式的记忆，从大脑的信息库中找到一个可以利用的模式4.4.真正的问题是不能照套的，需要解题者发挥某种程度真正的问题是不能照套的，需要解题者发挥某种程度的主动性与创造性主动性与创造性程度越大，问题的主动性与创造性主动性与创造性程度越大，问题的难度越大，质量越高对这类问题来说，波利亚所的难度越大，质量越高对这类问题来说，波利亚所说的说的“你以前见过它吗？你以前见过它吗？”等等，就不用再考虑了，没有等等，就不用再考虑了，没有多大用处这类问题往往是竞赛性的多大用处这类问题往往是竞赛性的.现在学习的是第10页，共23页 执

9、行拟订计划例例2 2 已知已知k ka ab bc c0 0，求证：，求证：k k2 2(a+b+c)k+ab+bc+ca(a+b+c)k+ab+bc+ca0 0 解题：抛物线y=x2(abc)xabbcca开口向上如果二次多项式x2(abc)xabbcca 的判别式=(abc)24(abbcca)满足0 那么抛物线与x轴没有交点，从而在x轴上方，恒有x2(abc)xabbcca0于是成立故，原问题化为证明成立这一计划也很清楚，但是无法证明一定成立现在学习的是第11页，共23页实现计划u在解题中，这一步是最容易的，如果计划是完善的，实现计划往往是“例行公事”，作一些机械性的计算，但计划往往是不

10、完善的，所以又往往需要回到上一步，出现一些反复u此外，计算或操作中也许有困难存在，甚至会遇到难以逾越的困难，这时原来计划必须推倒重来现在学习的是第12页，共23页检验与回顾1.解题，如同在黑暗中走进一间陌生的房间回顾，则好像打开了电灯这时一切都清楚了：在以前的探索中，哪几步走错了，哪几步不必要，应当怎样走，等等朦胧变成了自觉2.正如波利亚所说，这是“领会方法的最佳时机”，“当读者完成了任务，而且他的体验在头脑中还是新鲜的时候，去回顾他所做的一切，可能有利于探究他刚才克服困难的实质，他可以对自己提出许多有用的问题：关键在哪里？重要的困难是什么？什么地方我可以完成得更好些？我为什么没有觉察到这一点

11、？要看出这一点我必须具备哪些知识？应该从什么角度去考虑？这里有没有值得学习的诀窍可供下次遇到类似问题时应用？现在学习的是第13页，共23页 12条解题要诀单撙 1 1要享受到解题的乐趣对解题有要享受到解题的乐趣对解题有浓厚的兴趣浓厚的兴趣，能有几分，能有几分痴迷更好痴迷更好 2 2要有充足的信心要有充足的信心 3 3要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力要有百折不回的决心与坚韧不拔的毅力 4 4要做要做100100道有质量的题目道有质量的题目 5 5反复探索，大胆地跟着感觉走反复探索，大胆地跟着感觉走 6 6从简单的做起从简单的做起 7 7从不同的角度看问题从不同的角度看问题 8 8学、思结合，发

12、挥创造性，努力产生学、思结合，发挥创造性，努力产生“好想法好想法”9 9设法创造条件，不断变更问题设法创造条件，不断变更问题1010引入适当字母，向基本量靠拢引入适当字母，向基本量靠拢1111力求简单自然，直剖核心力求简单自然，直剖核心1212注意总结注意总结现在学习的是第14页，共23页关于波利亚解题表的解释关于波利亚解题表的解释1.教师应顺其自然地帮助学生，把自己看成学生，去理解学生在想什么。2.了解学生和学生已有知识和经验，再针对学生实际提供恰当建议。3.任何僵化的、机械的、迂腐的步骤必然是不利的。4.解题表必须简短，有利于形成良好的思维习惯。现在学习的是第15页，共23页关于波利亚解题

13、表的解释关于波利亚解题表的解释好问题、建议的标准：如果学生已经接近于问题的解答，那么他也许会理解这个问题所给的暗示；但如果不是这样，他可能根本看不到这个问题所要指向的要点，那么无法在他最需要的地方给他帮助如果学生理解了问题的暗示，所有的奥秘都被揭开了，几乎没有什么留给学生做的了。建议太特殊即使学生能应用他来解决手头的这个问题，但对以后会碰到的题目他们就不会了，什么也没学到，故这个建议没有启发性。现在学习的是第16页，共23页关于波利亚解题表的解释关于波利亚解题表的解释值得注意的四个方面值得注意的四个方面(1)(1)(1)(1)只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，不仅可以提高解题能只要学生

14、按照这个过程去寻找解法，久而久之，不仅可以提高解题能只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，不仅可以提高解题能只要学生按照这个过程去寻找解法，久而久之，不仅可以提高解题能力，而且还可以养成规范的思维习惯并不是所有的题目都要像表中力，而且还可以养成规范的思维习惯并不是所有的题目都要像表中力，而且还可以养成规范的思维习惯并不是所有的题目都要像表中力，而且还可以养成规范的思维习惯并不是所有的题目都要像表中那样那样那样那样“面面俱到面面俱到面面俱到面面俱到”(2)(2)(2)(2)解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的同时，应重视拓宽学解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的同时，应重视拓宽学

15、解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的同时，应重视拓宽学解题教学中，在教给学生学习方法和解题方法的同时，应重视拓宽学生的认知面，经历探索，温故知新，体会数学的应用价值，形成创新生的认知面，经历探索，温故知新，体会数学的应用价值，形成创新生的认知面，经历探索，温故知新，体会数学的应用价值，形成创新生的认知面，经历探索，温故知新，体会数学的应用价值，形成创新技能技能技能技能(3)(3)(3)(3)解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生科学观的解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生科学观的解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生科学观的解题教学时，要关注数学的文化价值，促进学生科学观的

16、形成形成形成形成(4)(4)(4)(4)正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为正确理解解题的内涵，谨防将解题异化为“题海战术题海战术题海战术题海战术”现在学习的是第17页，共23页波利亚的波利亚的启发法启发法和和 合情推理合情推理启发法启发法启发法的目的是要学习发现和创造和规则启发法的具体模式或方法：分组分解、笛卡尔模式（即万能模式）、递归模式、叠加模式、特殊化模式、一般化方法；从前往后退、设立次目标、合情推理模式；画图法、看着未知数、回到定义去、考虑相关问题、对问题进行变形、类比法，等等。现在学习的是第18页，共23页波利

17、亚的波利亚的启发法启发法和和 合情推理合情推理合情推理合情推理合情推理就是从已有的知识和具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等手段在某种情境和过程中推出可能性结论的推理这种推理的途径是从观察、实验入手，通过类比而产生联想，或通过归纳而作出猜想合情推理的实质是“发现”。波利亚呼吁:让我们教猜想吧!我国的理科教学,历来较多强调逻辑推理,而对合情推理有所忽视.现在学习的是第19页，共23页波利亚解题理论的评述及其对中学数学波利亚解题理论的评述及其对中学数学教学的影响教学的影响教师培训的方法教师培训的方法根据波利亚的做法，用来培训教师的方法主要有种：一种是“研讨”为了提高教师的数

18、学素养（主要是解题能力），波利亚说：“我并没有什么万灵药方，但我曾试过一些做法我曾经介绍和多次重复主持过一些教师研讨班，研究如何解题”；一种是“演示法”或“示范法现在学习的是第20页，共23页波利亚解题理论的评述及其对中学数波利亚解题理论的评述及其对中学数学教学的影响学教学的影响教师的数学专业课程与素质教师的数学专业课程与素质波利亚非常重视作为教师应有的数学专业素质，他提出：“教师要掌握个方面的东西知识和技巧技巧是运用知识的能力当然没有不带独立思考、独到见解和创造力的技巧数学上的技巧就是做题的能力，给出证明的能力，审断论据的能力，流利地运用数学语言的能力以及在具体情况下辨认数学概念的能力等现在

19、学习的是第21页，共23页“教师十戒”波利亚在教学实践的基础上，经过思维加工，归纳提炼出“一套见解”，他称之为“教师十戒”；前条是教师搞好教学的“充分必要条件”：（）要对自己所教课程有若趣；（）要“熟知自己的科目”；（）要清楚学生的学习过程；（）是要了解学生实际（）-（）条是讲教学目的的，着重强调培养学生的“解题能力”、“猜想能力”和“证明能力”（）是说解题教学中要让学生获得“一些可能用于解今后题目的特征”；（）-（10）条是强调“在现有条件下留给学生尽可能多的自由余地，让他们发挥其首创精神和积极性”现在学习的是第22页，共23页参考资料【1】杨骞.波利亚数学教育理论的现代启示.数学教育学报，2002，5：11-2.【2】互动百科 http:/ http:/ http:/ http:/ http:/