动量矩定理 (3)优秀PPT.ppt
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1、动量矩定理第1页,本讲稿共83页13-1 13-1 动量矩定理动量矩定理一、动量矩一、动量矩1.质点的动量矩质点的动量矩AB第2页,本讲稿共83页2、质点系的动量矩、质点系的动量矩其中,质点(系)对质点(系)对 O点的动量矩在点的动量矩在通过该点的通过该点的任任意轴上的投影,等于质点(系)对该轴的动量矩意轴上的投影,等于质点(系)对该轴的动量矩。第3页,本讲稿共83页OABvOABv已知A、B两物块的质量分别为 mA、mB,它们的速度为v,轮的质量不计,半径为 R。求系统对轮心 O的动量矩。第4页,本讲稿共83页OOC(1)平动刚体对)平动刚体对O点的动量矩点的动量矩(2)定轴转动刚体对转轴)
2、定轴转动刚体对转轴z的动量矩的动量矩第5页,本讲稿共83页二、动量矩定理二、动量矩定理 令:,称为刚体对于 轴的转动惯量转动惯量。于是绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。1、质点的动量矩定理第6页,本讲稿共83页根据动量定理 ,且 为定点,于是,质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩。轴投影式第7页,本讲稿共83页例:例:(前例)(前例)质量为质量为 m 长为长为 l 的摆在铅垂面的摆在铅垂面内摆动。内摆动。试写出小球的运动微分方程。试写出小球的运动微分方程。则小球对 O点的动量矩为mgu解:设小球的速度为 ,摆动的角速度为 。作用于小球
3、的外力只有 对O点有矩图中图中 角的正方向,便规定了取角的正方向,便规定了取矩的正方向。矩的正方向。第8页,本讲稿共83页根据动量矩定理列方程当 很小时,线性化2、质点动量矩守恒若 ,则 恒量;若 ,则 恒量1、宇宙星系的盘状结构;2、星体运行的近地点、远地点。解释第9页,本讲稿共83页根据质点的动量矩定理,质点系中第根据质点的动量矩定理,质点系中第 i个质点个质点:3、质点系的动量矩定理相加得其中,于是第10页,本讲稿共83页4、质点系动量矩守恒质点系动量矩定理的投影式第11页,本讲稿共83页质点系动量矩守恒举例:若两猴等重,轮无质量。谁爬得快?离合器传动第12页,本讲稿共83页A解:取小车
4、、鼓轮、重物组成质点系。以顺时针为正。图示为运送矿石的卷扬机系统。已知鼓轮的半径图示为运送矿石的卷扬机系统。已知鼓轮的半径为为 ,重量为,重量为 ,绕轴,绕轴 转动。小车和矿石总重转动。小车和矿石总重量为量为 。配重。配重 。作用在鼓轮上的力偶。作用在鼓轮上的力偶矩为矩为 ,鼓轮对转轴的转动惯量为,鼓轮对转轴的转动惯量为 ,轨道的倾角为,轨道的倾角为 。不计绳的质量及各处摩擦。求小车的加速度。不计绳的质量及各处摩擦。求小车的加速度。例:例:因为所以、相抵消。第13页,本讲稿共83页系统外力对O 轴的矩为由质点系对 O 轴的动量矩定理,有因 ,于是解得第14页,本讲稿共83页13-2 刚体定轴转
5、动微分方程把代入 动量矩定理或或与与 比较比较第15页,本讲稿共83页已知滑轮半径为 ,转动惯量为 ,带动滑轮的皮带拉力分别为 和 。求滑轮的角加速度 。例:解:根据定轴转动微分方程 物理摆的质量为 ,为其质心,摆对其悬挂点的转动惯量为 。求微小摆动的周期。例:第16页,本讲稿共83页解:以逆时针转向为正。摆的转动微分方程为方程的通解为摆动周期为工程中常用上式,通过测定零件(如曲轴、连杆等)的摆动周期,以计算其 转动惯量。第17页,本讲稿共83页图示传动轴,轴和轴的转动惯量分别为 和 ,两轮的半径分别为 、,传动比 。轴上作用主动力矩 ,轴上有阻力矩 ,转向如图。忽略摩擦。求轴的角加速度。例第
6、18页,本讲稿共83页解:分别取轴和为研究对象。受力如图。对轴对轴以逆钟向为正,轴以逆钟向为正,轴以顺钟向为正。以顺钟向为正。两轴对各自轴心的转动微分方程分别为运动学关系运动学关系解得两轴分别取不同的转向,是为了保持与运动学关系的协调性。第19页,本讲稿共83页13-3 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量转动惯量的定义式转动惯量的物理意义刚体转动惯性的度量研究转动惯量的目的要想合理地解决工程中有关刚体转动的动力学问题,必须理解转动惯量的概念,并会计算或测定转动惯量。一、简单形状物体的转动惯量计算一、简单形状物体的转动惯量计算1、均质细直杆对 轴的转动惯量第20页,本讲稿共83页均质 薄平板对
7、于边线轴的转动惯量?讨论:O质量微元杆的线密度 ,于是,第21页,本讲稿共83页2、均质薄圆环对中心轴 的转动惯量均质薄圆筒对中心轴的转动惯量?第22页,本讲稿共83页3、均质圆板对中心轴的转动惯量以薄圆环作为质量微元其中均质圆柱体对中心轴的转动惯量?第23页,本讲稿共83页二、二、均质薄平板对法向轴与切向轴转动惯量间的关系均质薄平板对法向轴与切向轴转动惯量间的关系应用 举例:第24页,本讲稿共83页 如果把刚体的质量全部集中在与 轴相距为 的点上,则此质点对 轴的转动惯量与原刚体相同。三、惯性半径(或回转半径)转动惯量的量纲为 ,工程实际中常将它表示为刚体质量 与某一长度 的平方的乘积:细直
8、杆均质圆环均质圆板第25页,本讲稿共83页四、平行轴定理四、平行轴定理定理定理:刚体对任意轴的转动惯量,等于刚体对于通过质心质心、并与该轴平行的轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。C点为质心;为质心轴,为与之平行的任一轴,距离为 。d第26页,本讲稿共83页式中 为刚体的质量,为质心 在坐标系中的 坐标。因 轴通过质心,故 从而得到在一组平行轴 中,刚体对质心轴的转动惯量为最小。第27页,本讲稿共83页求均质细直杆对垂直于杆且通过质心的轴的转动惯量。例AC例简化的钟摆,由质量分别为 和 的均质细直杆、均质圆盘组成,杆长 ,圆盘直径为 。求 摆 对于通过悬挂点 的水平轴的 转动惯
9、量。组合法第28页,本讲稿共83页于是得质量为 的均质空心圆柱体外径为 ,内径为 ,求对于中心轴 的转动惯量。例负质量法=-第29页,本讲稿共83页,设圆柱体的密度为则,其中于是可得第30页,本讲稿共83页二、实验法二、实验法工程中,对于几何形状复杂的物体,常用实验方法测定其转动惯量。第31页,本讲稿共83页 为了给予图示质量为8kg的物体B以600mm/s2向上的加速度,试求应作用于绳索A端的力FT。假设均质圆盘质量为20kg,半径为150mm,绳索在圆盘表面上无相对滑动。并计算物体B上所受的绳的张力。FTmgABra第32页,本讲稿共83页已知均质杆和均质轮的质量分别同为m,杆的角速度为
10、。求图示各种情况下,系统对轴O的动量矩。ROC400mmR=200mm(1)杆与轮焊接OC(3)轮与杆有相对转动OC(2)杆与轮自由铰接第33页,本讲稿共83页 例例 图示一半径为R的光滑圆盘,平置于光滑水平面上,并可绕通过盘心并与其垂直的轴O转动;另有一均质杆长为l、重W,A端铰接于盘的外沿,B端始终压在沿的内侧。已知R=400mm,W=100N。若在某瞬时 =3rad/s、=6rad/s2,求该瞬时杆的A、B端所受之力。ABORFBABOCFAxFAy解:解:研究杆AB。第34页,本讲稿共83页由刚体定轴转动微分方程,得:所以:由质心运动定理,得:所以:FBABOCFAxFAy第35页,本
11、讲稿共83页 滑块A、B的质量分别为mA=2kg、mB=0.5kg,用长为1m的绳连接,它们可在水平光滑杆GH上滑动。均质T形杆绕铅垂轴转动,其对z轴的转动惯量为Jz=0.8kgm2。轴承的摩擦和绳的质量略去不计。当rA=0.6m时,滑块A以速度0.4m/S沿杆向外运动,且杆的角速度为 ,求此时杆的角加速度。mBgmAg1mABODEGrArBHvBevBr(1)以滑块及杆为研究对象。(2)分析受力。(3)分析运动。(4)由动量矩守恒列方程:xyzvArvAeFExFEyFDyFDxFDz第36页,本讲稿共83页即:所以:上式两边对时间取导,得由此解得杆的角加速度为:第37页,本讲稿共83页例
12、例 均质鼓轮重P1,半径为R,对转动轴的回转半径为 。在半径为 r 的轴颈上绕一不可伸长的细绳,绳端系一重为P2的重物。可变形的细绳简化为一弹性刚度系数为k的弹簧绕于轮缘上。试列写系统运动微分方程。rRP1P2FxFyFk解:解:取鼓轮及重物组成质点系。系统只有一个自由度,选鼓轮转角 为广义坐标,顺时针为正。零点位于弹簧静变形处,即在静平衡位置满足:研究当 取任意值时的系统,受力如图由质点系的动量矩定理,建立运动微分方程:第38页,本讲稿共83页FxFyP1FTFkP2FT所以:讨论:(1)分别取鼓轮为研究对象,同样可求出系统的运动微分方程(2)描述系统的位置,既可以象上述解法中采用鼓轮的转角
13、作为广义坐标,也可以采用重物的铅垂位移。但不论那种选择,因系统为一个自由度,只需一个广义坐标。(3)取系统的的静平衡位置为零位置,才使得运动微分方程中没有出现重力。并非偶然。(4)建立系统的运动微分方程,即求出任意瞬时系统的(广义)加速度。第39页,本讲稿共83页相对质心的动量矩定理引言相对质心的动量矩定理引言前述的动量矩定理建立在惯性参考系中,其动前述的动量矩定理建立在惯性参考系中,其动量矩和外力矩的矩心(或轴)为量矩和外力矩的矩心(或轴)为固定的固定的点(或轴)。点(或轴)。质点系中各质点的动量也是其质量与质点系中各质点的动量也是其质量与绝对速度绝对速度的乘的乘积。对于一般的动点(或动轴)
14、,动量矩定理具积。对于一般的动点(或动轴),动量矩定理具有相对复杂的形式。然而,相对于质点系的有相对复杂的形式。然而,相对于质点系的质心质心(或(或通过质心的动轴通过质心的动轴),动量矩定理仍保持其简洁),动量矩定理仍保持其简洁的形式。的形式。这一定理在很多的工程实际问题中具有这一定理在很多的工程实际问题中具有重要的应用。重要的应用。第40页,本讲稿共83页13-5 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理质点系相对动系质点系相对动系C点的动量矩:点的动量矩:质点系对定系质点系对定系O点的动量矩为:点的动量矩为:一、一、质点系相对固定点与相对质心动量矩的关系质点系相对固定点与相对质
15、心动量矩的关系设动参考系设动参考系Cxyz平动,平动,第41页,本讲稿共83页质点系对任意点 的动量矩等于集中与质心的系统动量 对于 点的动量矩再加上此系统对于质心的动量矩 。(一般应为矢量和,平面问题中可取代数和。)第42页,本讲稿共83页例如例如:求质量为 、长为 的均质细长杆与质量为 、半径为 的均质圆盘对于 转轴O的动量矩。已知:杆的角速度 ,轮相对于杆的角速度为 。解:取逆钟向为正若 ,则轮为平动第43页,本讲稿共83页其中二、相对质心的动量矩定理二、相对质心的动量矩定理由质点系对于定点O的动量矩定理而于是可得第44页,本讲稿共83页质点系质点系相对于质心的动量矩相对于质心的动量矩对
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