线性二次型最优控制问题.ppt

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1、线性二次型最优控制线性二次型最优控制问题问题线线线线性性性性二二二二次次次次型型型型最最最最优优优优控控控控制制制制问问问问题题题题是是指指线线性性系系统统具具有有二二二二次次次次型型型型性能指标性能指标性能指标性能指标的最优控制问题，它呈现如下重要特性：的最优控制问题，它呈现如下重要特性：性性性性能能能能指指指指标标标标具具具具有有有有鲜鲜鲜鲜明明明明的的的的物物物物理理理理意意意意义义义义。最最优优解解可可以以写写成成统统一一的的解解析析表表达达式式。所所得得到到的的最最最最优优优优控控控控制制制制规规规规律律律律是是状状状状态态态态变变变变量量量量的的的的反反反反馈馈馈馈形形形形式式式式

2、，便于计算和工程实现。便于计算和工程实现。可可可可以以以以兼兼兼兼顾顾顾顾系系系系统统统统性性性性能能能能指指指指标标标标的的的的多多多多方方方方面面面面因因因因素素素素。例例如如快快速速性性、能能量量消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。消耗、终端准确性、灵敏度和稳定性等。在在理理论论上上，线线性性二二次次型型最最优优控控制制问问题题是是其其它它许许多多控控制制问问题题的的基基础础，有有许许多多控控制制问问题题都都可可作作为为线线性性二二次次型型最最优优控控制制问问题来处理。题来处理。线线性性二二次次型型最最优优控控制制问问题题，在在实实践践上上得得到到了了广广泛泛而而成成功功的的应应用用。可

3、可以以说说，线线性性二二次次型型最最优优控控制制问问题题是是现代控制理论及其应用领域中现代控制理论及其应用领域中最富有成果最富有成果最富有成果最富有成果的一部分。的一部分。2022/10/1526.1 线性二次型最优控制问题的提法线性二次型最优控制问题的提法 问题6.1.1 给定线性时变系统的状态方程和输出方程给定线性时变系统的状态方程和输出方程 其其中中，X(t)是是n维维状状态态变变量量，U(t)是是m维维控控制制变变量量，Y(t)是是l维维输输出出变变量量，A(t)是是n n时时变变矩矩阵阵，B(t)是是n m时时变变矩矩阵阵。假假设设1 l m n，U(t)不不受受约约束束。若若Yr(

4、t)表表示示预预期期输输出出变变量量，它它是是l维维向向量量，则则有有 e(t)=Yr(t)Y(t)称称为为误误差差向向量量。现现在在的的问问题题是是，选择最优控制选择最优控制U*(t)使下列二次型性能指标使下列二次型性能指标 (6.1.2)（6.1.1）2022/10/153 为为最最小小，这这就就是是线线性性二二次次型型最最优优控控制制问问题题。其其中中S是是l l半半正正定定对对称称常常数数矩矩阵阵，Q(t)是是l l半半正正定定对对称称时时变变矩矩阵阵，R(t)是是m m正正定定对对称称时时变变矩矩阵阵，终终端端时时间间tf是是固固定定的的，终终端端状状态态X(tf)自由。自由。性能指

5、标（性能指标（6.1.26.1.2）的）的物理意义物理意义 式（式（6.1.2）中的第一部分）中的第一部分 称称作作终终端端代代价价，用用它它来来限限制制终终端端误误差差e(tf)，以以保保证证终终端端状状态态X(tf)具有适当的具有适当的准确性准确性。式（式（6.1.2）中的第二部分）中的第二部分 称作称作过程代价过程代价，用它来限制控制过程的误差用它来限制控制过程的误差e(t)，以保证系以保证系2022/10/154统统响应具有适当的响应具有适当的快速性快速性。式（式（6.1.2）中的第三部分）中的第三部分 称称作作控控制制代代价价，用用它它来来限限制制控控制制U(t)的的幅幅值值及及平平

6、滑滑性性，以以保保证证系系统统安安全全运运行行。同同时时，它它对对限限制制控控制制过过程程的的能能源源消消耗耗也能起到重要的作用，从而保证系统具有适当的也能起到重要的作用，从而保证系统具有适当的节能性节能性。说明说明：（1）二二次次型型性性能能指指标标是是一一种种综综合合型型性性能能指指标标。它它可可以以兼兼顾顾终终端端状状态态的的准准确确性性、系系统统响响应应的的快快速速性性、系系统统运运行行的的安安全全性性及及节节能能性性各各方方面面因因素素。线线性性二二次次型型最最优优控控制制问问题题（6.1.1）、（6.1.2）的的实实质质是是：用用不不大大的的控控制制能能量量，来来保保持持较较小小的

7、的输输出出误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的误差，以达到控制能量和误差综合最优的目的。2022/10/155 （2 2）在在在在这这这这些些些些不不不不同同同同目目目目标标标标之之之之间间间间，往往往往往往往往存存存存在在在在着着着着一一一一定定定定矛矛矛矛盾盾盾盾。例例如如，为为能能尽尽快快消消除除误误差差并并提提高高终终端端准准确确性性，就就需需较较强强的的控控制制作作用用及及较较大大的的能能量量消消耗耗；而而抑抑制制控控制制作作用用的的幅幅值值和和降降低低能能耗耗，必必然然会会影影响响系系统统的的快快速速性性和和终终端端准准确确性性。如如何何对对这这些些相相互互冲冲突突的的因素进行

8、因素进行合理折衷合理折衷，是系统设计者必须认真对待的课题。，是系统设计者必须认真对待的课题。（3 3）性性性性能能能能指指指指标标标标由由由由三三三三项项项项组组组组成成成成，若若若若各各各各项项项项出出出出现现现现不不不不同同同同符符符符号号号号，将将将将发发发发生生生生相相相相互互互互抵抵抵抵消消消消的的的的现现现现象象象象。这这样样，尽尽管管各各项项单单独独的的数数值值较较大大，但但J的的数数值值可可能能很很小小，性性能能指指标标就就无无法法反反映映各各项项指指标标的的优优劣劣。为为防防止止出出现现这这种种情情况况，应应保保证证在在各各种种实实际际运运行行情情况况下下，无无无无论论论论容

9、容容容许许许许控控控控制制制制如如如如何何何何选选选选择择择择，性性性性能能能能指指指指标标标标中中中中各各各各项项项项的的的的数数数数值值值值始始始始终终终终具具具具有有有有相相相相同同同同的的的的符符符符号号号号。又又因因是是以以极极小小值值作作为为最最优优标标准准，结结合合问问题题的的物物理理性性质质，各各项项符符号均取正值。号均取正值。（4）控控控控制制制制时时时时间间间间的的的的起起起起点点点点t t0 0及及及及终终终终点点点点t tf f，可可可可能能能能是是是是由由由由实实实实际际际际问问问问题题题题决决决决定定定定的的的的客客客客观观观观参参参参数数数数，也也也也可可可可能能

10、能能是是是是由由由由设设设设计计计计者者者者决决决决定定定定的的的的主主主主观观观观参参参参数数数数。对对后后者者而而言言，设设计者必须把希望达到的目标和计者必须把希望达到的目标和t0、tf的选择联系起来。的选择联系起来。2022/10/156课前预习和讨论课前预习和讨论1、已已经经学学过过的的最最优优控控制制问问题题的的求求解解方方法法有有哪哪些些？它它们们之之间有何联系和区别？间有何联系和区别？2、什么样的最优控制问题称为、什么样的最优控制问题称为线性二次型最优控制线性二次型最优控制线性二次型最优控制线性二次型最优控制？3、线性二次型最优控制问题、线性二次型最优控制问题有何特点有何特点有何

11、特点有何特点？4、你你认认为为问问题题6.1.1所所描描述述的的线线性性二二次次型型最最优优控控制制问问题题应应该该用什么方法求解用什么方法求解用什么方法求解用什么方法求解?为什么？为什么？5、目目目目标标标标泛泛泛泛函函函函中中中中的的的的各各各各项项项项反反反反映映映映了了了了什什什什么么么么样样样样的的的的控控控控制制制制要要要要求求求求和和和和性性性性能能能能？请具体说明！请具体说明！6、目目目目标标标标泛泛泛泛函函函函中中中中的的的的加加权权矩矩阵阵S，Q(t)和和R(t)意意味味着着什什么么？7、你认为二次型最优控制问题的、你认为二次型最优控制问题的难点在哪儿难点在哪儿难点在哪儿难

12、点在哪儿？2022/10/157上式所示的性能指标中上式所示的性能指标中加权矩阵加权矩阵S，Q(t)和和R(t)（1 1）加加加加权权权权矩矩矩矩阵阵阵阵中中中中的的的的各各各各个个个个元元元元素素素素之之之之间间间间的的的的数数数数值值值值比比比比例例例例关关关关系系系系，将将将将直直直直接接接接影影影影响响响响系系系系统统统统的的的的工工工工作作作作品品品品质质质质。例例如如，提提高高S阵阵中中某某一一元元素素的的比比重重，说说明明更更加加重重视视与与该该元元素素对对应应的的状状态态分分量量的的终终端端准准确确性性；提提高高Q(t)阵阵中中某某一一元元素素的的比比重重，说说明明希希望望与与

13、之之对对应应的的状状态态分分量量具具有有较较好好的的快快速速响响应应特特性性；而而提提高高R R(t t)阵阵阵阵中中中中某某某某一一一一元元元元素素素素的的的的比比比比重重重重，意意意意味味味味着着着着需需需需要要要要更更更更有有有有效效效效地地地地抑抑抑抑制制制制与与与与之之之之相相相相应应应应的的的的控控控控制制制制分分分分量量量量的的的的幅幅幅幅值值值值及及及及由由由由它它它它引引引引起起起起的的的的能能能能量量量量消消消消耗耗耗耗。这这只只是是大大致致趋趋势势，实实际际情情况况十十分分复复杂杂。因因此此，如如何何安安排排各各加加权权阵阵的的各各个个元元素素之之间间的的关关系系，乃乃是

14、是一一件件十十分分重重要要而而又十分困难的工作又十分困难的工作。（2 2）将将将将S S阵阵阵阵取取取取为为为为半半半半正正正正定定定定，以以以以便便便便保保保保证证证证终终终终端端端端代代代代价价价价的的的的非非非非负负负负性性性性，但但但但容容容容许许许许在在在在e e(t tf f)不不不不为为为为零零零零时时时时的的的的终终终终端端端端代代代代价价价价为为为为零零零零，这这这这相相相相当当当当于于于于不不不不考考考考虑虑虑虑与与与与之之之之相相相相应应应应的的的的终终终终端端端端误误误误差差差差。出出于于同同样样理理由由，Q(t)亦亦取取半半正正定定。但但R(t)必必须须取正定，这是因

15、为控制代价实际上可以反映控制过程的能量取正定，这是因为控制代价实际上可以反映控制过程的能量2022/10/158 消消耗耗，而而UT(t)R(t)U(t)则则反反映映各各各各瞬瞬瞬瞬间间间间的的的的控控控控制制制制功功功功率率率率，只只要要U(t)不为零，不为零，控制功率当然就不应等于零控制功率当然就不应等于零控制功率当然就不应等于零控制功率当然就不应等于零。（3 3）由由由由于于于于终终终终端端端端代代代代价价价价只只只只表表表表示示示示终终终终端端端端时时时时刻刻刻刻t tf f时时时时的的的的性性性性能能能能，因因因因此此此此，S S应应应应为为为为常常常常数数数数阵阵阵阵。至至于于Q(

16、t)及及R(t)，可可能能取取为为常常数数阵阵，也也可可能能取取为为时时变变阵阵。后后者者是是为为了了适适适适应应应应控控控控制制制制过过过过程程程程的的的的特特特特殊殊殊殊需需需需要要要要。例例如如，在在控控制制过过程程的的初初期期出出现现的的较较大大误误差差，并并非非系系统统品品质质不不佳佳所所致致，而而是是由由系系统统的的初初始始条条件件引引起起的的，因因此此，不不必必过过分分重重视视这这种种误误差差，以以免免引引起起控控制制作作用用U(t)不不必必要要的的过过大大冲冲击击，但但控控制制过过程程的的后后期期的的误误差差直直接接与与控控制制效效果果相相关关，必必须须给给予予足足够够的的重重

17、视视。只只有有把把Q(t)和和R(t)取取为为时时变变阵阵，才才能能适适应应控控制制过过程程的的这这类类时时变变需需求求。有有时时，为为了了防防止止模模型型的的失失调调，也也需需要要Q(t)及及R(t)具有时变性质。具有时变性质。2022/10/159对容许控制对容许控制对容许控制对容许控制U U(t t)和终态和终态和终态和终态X X(t tf f)的说明的说明的说明的说明 （1 1）在在在在线线线线性性性性二二二二次次次次型型型型问问问问题题题题的的的的定定定定义义义义中中中中，并并并并没没没没有有有有直直直直接接接接提提提提出出出出对对对对控控控控制制制制作作作作用用用用U U(t t)

18、的的的的不不不不等等等等式式式式约约约约束束束束，但但但但这这这这并并并并不不不不等等等等于于于于在在在在物物物物理理理理上上上上不不不不需需需需要要要要对对对对U U(t t)进进进进行行行行必必必必要要要要的的的的限限限限制制制制。实实际际上上，用用适适当当选选择择Q(t)和和R(t)数数值值比比例例的的方方法法，同同样样可可以以把把U(t)的的幅幅值值限限制制在在适适当当的的范范围围之之内内。这这样样，就就可可以以在在保保持持闭闭环环系系统统线线线线性性性性性性性性质质质质的的前前提提下下，实实实实现对现对现对现对U U(t t)的限制。的限制。的限制。的限制。（2 2）在在在在定定定定

19、义义义义问问问问题题题题时时时时，也也也也没没没没有有有有直直直直接接接接提提提提出出出出对对对对终终终终态态态态X X(t tf f)的的的的要要要要求求求求。实实际际上上，对对终终态态的的要要求求，是是利利用用性性能能指指标标的的终终端端代代价价来来反反映映的的，性性能能指指标标中中的的终终端端代代价价用用于于限限制制终终端端误误差差，它它表表明明期望终态期望终态期望终态期望终态X X(t tf f)尽量靠近误差信号尽量靠近误差信号尽量靠近误差信号尽量靠近误差信号e e(t t)=0)=0所对应的状态所对应的状态所对应的状态所对应的状态。2022/10/1510若若C(t)=I（单位矩阵）

20、，单位矩阵），Yr(t)=0，则则 于是性能指标（于是性能指标（6.1.2）变为）变为 这这时时问问题题归归结结为为：用用不不大大的的控控制制能能量量，使使系系统统状状态态X(t)保保持持在零值附近，因而称为在零值附近，因而称为状态调节器问题状态调节器问题。线性二次型最优控制问题的几种特殊情况线性二次型最优控制问题的几种特殊情况线性二次型最优控制问题的几种特殊情况线性二次型最优控制问题的几种特殊情况状态调节器问题状态调节器问题2022/10/1511若若Yr=0，则则于是性能指标（于是性能指标（6.1.2）变为）变为这时问题归结为：这时问题归结为：用不大的控制能量，使系统输出用不大的控制能量，

21、使系统输出Y(t)保持在零值附近，保持在零值附近，故称为输出调节器问题。故称为输出调节器问题。输出调节器问题输出调节器问题2022/10/1512 若若Yr(t)0，则则 于是性能指标（于是性能指标（6.1.2）可写为）可写为 这这时时问问题题转转化化为为：用用不不大大的的控控制制量量，使使系系统统输输出出Y(t)紧紧紧跟随紧跟随Yr(t)的变化，故称为的变化，故称为跟踪问题跟踪问题。跟踪问题跟踪问题2022/10/15136.2 有限时间的状态调节器问题有限时间的状态调节器问题问题6.2.1 给定线性定常系统的状态方程和初始条件给定线性定常系统的状态方程和初始条件 其其中中X(t)是是n维维

22、状状态态变变量量，U(t)是是m维维控控制制变变量量，A是是n n常数矩阵，常数矩阵，B是是n m常数矩阵。性能指标是常数矩阵。性能指标是 其其中中Q是是n n非非负负定定、对对称称的的常常数数矩矩阵阵，R是是m m正正定定、对对称称的的常常数数矩矩阵阵，t tf f是是是是给给给给定定定定的的的的终终终终端端端端时时时时刻刻刻刻，X X(t tf f)是是是是自自自自由的终端状态由的终端状态由的终端状态由的终端状态，控制函数控制函数控制函数控制函数U U(t t)不受约束不受约束不受约束不受约束。（6.2.1）（6.2.2）2022/10/1514 现现在在的的问问题题是是，要要求求确确定定

23、最最最最优优优优控控控控制制制制函函函函数数数数U U*(t t)，使使性性性性能能能能指指指指标标标标（6.2.26.2.2）达达达达到到到到最最最最小小小小值值值值。这这样样的的最最优优控控制制问问题题是是以以较较小小的的控控制制能能量量为为代代价价，使使状状态态变变量量X(t)保保持持在在零零值值附附近近，故故称称为为状状状状态态态态调节器问题。调节器问题。调节器问题。调节器问题。又又考考虑虑到到终终端端时时间间tf是是有有限限的的，故故称称为为有有有有限限限限时时时时间间间间的的的的状状状状态态态态调调调调节节节节器器器器问问问问题题题题。相相应应的的最最优优控控制制U*(t)称为最优

24、调节作用或最优调节器。称为最优调节作用或最优调节器。2022/10/1515下面应用下面应用最小值原理最小值原理最小值原理最小值原理来求解这个问题。来求解这个问题。解解：构造构造Hamilton函数函数 因为控制函数因为控制函数U(t)本身不受约束，所以有本身不受约束，所以有（6.2.3）2022/10/1516 式式（6.2.3）表表明明，最最优优优优调调调调节节节节作作作作用用用用是是是是协协协协态态态态变变变变量量量量 (t t)的的的的线线线线性性性性函函函函数数数数。但但是是，由由于于协协态态变变量量在在实实际际系系统统中中是是不不存存在在的的，自自然然也也无无法法检检测测到到。因因

25、此此式式（6.2.3）的的最最优优调调节节作作用用在在工工程程上上是是难难以以实实现现的的。为为了了便便于于在在工工程程上上实实现现，需需将将调调节节作作用用U(t)表表示示成成系系统统状态变量状态变量X(t)的函数。令：的函数。令：其中其中P(t)是是n n待定的时变矩阵。对上式两边求导数，得待定的时变矩阵。对上式两边求导数，得 规范方程规范方程 为：为：2022/10/1517 由于由于X(t)是任意的，所以有是任意的，所以有 由于终端状态由于终端状态X(tf)是自由是自由 的，故相应的协态变量的的，故相应的协态变量的 终端值为终端值为 所以，所以，矩阵黎卡提矩阵黎卡提矩阵黎卡提矩阵黎卡提

26、(Riccati)Riccati)微分方程微分方程微分方程微分方程矩阵黎卡提矩阵黎卡提矩阵黎卡提矩阵黎卡提(Riccati)Riccati)微分方程微分方程微分方程微分方程的边界条件的边界条件的边界条件的边界条件（6.2.4）2022/10/1518P P(t t)的的的的3 3个重要性质个重要性质个重要性质个重要性质由由微微分分方方程程理理论论的的存存在在与与唯唯一一性性定定理理，可可以以证证明明P(t)存在而且唯一存在而且唯一。对于任意的对于任意的t t0，tf，P(t)均为均为对称阵对称阵，即，即 P(t)PT(t)若若R是是正正定定矩矩阵阵，Q是是半半正正定定矩矩阵阵，则则P(t)（t

27、0 t tf）是是半半正正定定矩矩阵阵；若若R是是正正定定矩矩阵阵，Q是是正正定定矩矩阵阵，则则P(t)（t0 t tf）是正定矩阵。是正定矩阵。证明略。证明略。2022/10/1519命题6.2.1 问问题题6.2.1的的最最优优调调节节作作用用必必为为如如下下形形式式的状态反馈的状态反馈 其中其中P(t)是矩阵黎卡提微分方程是矩阵黎卡提微分方程 满足边界条件满足边界条件 的对称解。并且状态最优轨线的对称解。并且状态最优轨线X*(t)是状态方程是状态方程 2022/10/1520 满足初始条件满足初始条件 的解。的解。若令若令 ，则有，则有 其其中中K(t)称称为为反反馈馈增增益益矩矩阵阵。

28、这这样样就就构构成成了了一一个个状状态态反馈最优调节系统，如图反馈最优调节系统，如图61所示。所示。图图6-12022/10/1521 说明说明：设设U(t)是是任任意意的的控控制制作作用用，X(t)是是相相应应于于U(t)的的状状态态轨轨线线，性性能能指指标标（6.2.2）除除了了依依赖赖于于U(t)之之外外，还还依依赖赖于于状状态态初值初值X(t0)。因此，性能指标可记为因此，性能指标可记为 特别是当控制作用为最优值特别是当控制作用为最优值U*(t)时，性能指标记为时，性能指标记为 2022/10/1522 命命命命题题题题6.2.2 6.2.2 有有有有限限限限时时时时间间间间状状状状态

29、态态态调调调调节节节节器器器器问问问问题题题题的的的的最最最最优优优优控控控控制制制制U U*(t t)的的的的充充充充要要要要条件是：条件是：条件是：条件是：且性能指标的最小值为：且性能指标的最小值为：证证明明：命命题题6.2.2的的前前半半部部分分，即即关关于于最最优优调调节节作作用用的的充充分分性性，在在第第三三章章最最大大值值原原理理的的推推论论中中已已经经证证明明了了。在在那那里里，我我们们曾曾经经指指出出，对对于于线线性性系系统统（6.2.1）来来说说，最最大大（小小）值值原原理理是是使使性性能能指指标标（6.2.2）达达到到最最小小值值的的必必要要和和充充分分条条件件。因因此此，

30、下面只证明命题下面只证明命题6.2.2的后半部分的后半部分 因为因为 2022/10/1523 将将系系统统状状态态方方程程（6.2.1）和和黎黎卡卡提提微微分分方方程程（6.2.4）代代入入上上式，经整理得式，经整理得 分别对上式两边进行积分分别对上式两边进行积分02022/10/1524 上式进一步整理得上式进一步整理得 所以，所以，性能指标的最小值为性能指标的最小值为 2022/10/1525 由由于于R是是正正定定矩矩阵阵，上上式式最最后后一一个个等等号号的的右右端端第第二二项是非负的，故当项是非负的，故当 2022/10/1526 时，性能指标时，性能指标JX(t0)，U(t)达到最

31、小值，且为达到最小值，且为 QED 说明：由由命命题题6.2.2可可知知，若若初初始始时时刻刻为为t，初初始始状状态态为为X(t)，则则性性能能指指标的最小值为标的最小值为 2022/10/1527 命命命命题题题题6.2.3 6.2.3 有有有有限限限限时时时时间间间间状状状状态态态态调调调调节节节节器器器器问问问问题题题题的的的的最最最最优优优优控控控控制制制制U U*(t t)存存存存在在在在且且且且唯一。唯一。唯一。唯一。证明证明：1关于存在性关于存在性关于存在性关于存在性由于由于U*(t)=R1BTP(t)X(t)，而而P(t)是存在的，故是存在的，故U*(t)亦存在。亦存在。2关于

32、唯一性关于唯一性关于唯一性关于唯一性 应应用用反反证证法法。设设U*(t)不不是是唯唯一一的的，并并设设U*(t)和和 均均为为最最优优控制，则由控制，则由P(t)的唯一性，得的唯一性，得 将上述两个式子分别代入系统状态方程（将上述两个式子分别代入系统状态方程（6.2.1），得），得2022/10/1528 由由此此可可知知，X(t)及及 乃乃是是同同一一微微分分方方程程在在同同一一边边界界条条件件下下的解。根据微分方程在给定边界条件下解的唯一性，有的解。根据微分方程在给定边界条件下解的唯一性，有 从而有从而有 QED 综合命题综合命题6.2.1、命题、命题6.2.2和命题和命题6.2.3，可

33、得如下定理：，可得如下定理：*定理定理6.2.16.2.1 *给定线性定常系统的状态方程给定线性定常系统的状态方程 其中其中U(t)不受约束。初始条件不受约束。初始条件X(t0)=X0和和性能指标性能指标 则最优控制存在且唯一，最优控制的则最优控制存在且唯一，最优控制的充要条件充要条件充要条件充要条件是是 2022/10/1529 其中其中P(t)是是矩阵黎卡提微分方程矩阵黎卡提微分方程矩阵黎卡提微分方程矩阵黎卡提微分方程 满足满足边界条件边界条件边界条件边界条件 的的 唯唯唯唯 一一一一 对对对对 称称称称 解解解解。并并且且，当当Q为为半半正正定定对对称称矩矩阵阵时时，P(t)(t0 t

34、tf)是是半半正正定定对对称称矩矩阵阵；而而当当Q为为正正定定对对称称矩矩阵阵时时，P(t)是正定对称矩阵。性能指标的最小值为是正定对称矩阵。性能指标的最小值为 状态最优轨线是下列状态方程状态最优轨线是下列状态方程 满足初始条件满足初始条件X(t0)=X0的解。的解。2022/10/1530 例6.2.1 设调节对象的状态方程为：设调节对象的状态方程为：性能指标为性能指标为 其中其中q0，r0，要求确定最优调节作用和状态最优轨线。要求确定最优调节作用和状态最优轨线。解解：这是这是有限时间状态调节器问题，所以有限时间状态调节器问题，所以 其中其中p(t)满足方程满足方程 2022/10/1531

35、 利用利用分离变量法分离变量法分离变量法分离变量法解此方程，得解此方程，得 由此得由此得 其中其中 状态最优轨线是下列状态方程状态最优轨线是下列状态方程（6.2.6）2022/10/1532 的解。解此方程得的解。解此方程得 最最优优调调节节的的闭闭环环系系统统之之方方程程图图如如图图62所所示示。图图中中 表表示示信信号号 相相 乘乘。虚虚 线线 部部 分分 表表 示示 p(t)的的 求求 解解 装装 置置，p(0)可可 由由 式式（6.2.6）求求得得。特特别别当当tf=1，x(0)=1，q=1，a=1，而而r分分别别为为1，0.1和和0.02时时，其其最最优优调调节节作作用用u*(t)，

36、最最优优轨轨线线x*(t)和和黎卡提方程的解黎卡提方程的解p(t)如图如图63所示。所示。2022/10/1533图图6-22022/10/1534图图图图6-36-32022/10/1535 对图对图63的说明：的说明：由由图图63（a）可可见见，当当r很很小小时时，意意即即控控制制作作用用的的价价值值并并不不重重要要，控控制制轨轨线线x(t)将将迅迅速速回回到到零零；当当r很很大大时时，意意即即控控制制作作用用的的价价值值十十分分重重要要，状状态态轨轨线线x(t)将将衰衰减减得得很很慢。慢。如如图图63（b）可可见见，随随着着r的的减减小小，在在控控制制区区间间0，1起起始始部部分分的的控

37、控制制变变量量的的幅幅值值变变得得很很大大；当当r趋趋于于零零时时，控制变量逐渐演变成为控制变量逐渐演变成为t=0时的脉冲。时的脉冲。由由图图63（c）可可见见，随随着着r的的减减小小，p(t)在在控控制制区区间间0，1的的起起始始部部分分几几乎乎是是一一常常数数；当当r减减小小时时，p(t)仅仅仅仅在在控控制制区区间间的的最最后后部部分分才才表表现现出出时时变变的的性性质质；随随着着r的的增大，增大，p(t)就成为真正的时变了。就成为真正的时变了。2022/10/1536本节几点说明本节几点说明 若性能指标为若性能指标为 其其中中S为为半半正正定定对对称称矩矩阵阵，Q Q、R R假假假假设设

38、设设同同同同前前前前，则则定定理理6.2.1仍仍然成立，但是，然成立，但是，边界条件应改为边界条件应改为边界条件应改为边界条件应改为 这是由于在这种情况下这是由于在这种情况下 又考虑又考虑 所以所以 2022/10/1537 如果给定的如果给定的是时变系统是时变系统是时变系统是时变系统 且性能指标为且性能指标为 假假设设A(t)，B(t)，Q(t)和和R(t)的的诸诸元元素素都都是是t t（t t0 0 t t t tf f）的的的的连连连连续续续续函函函函数数数数，并并且且A(t)，B(t)，Q(t)，R(t)和和R-1(t)都都是是有有界界的的，则则定定理理6.2.1仍仍然然成成立立，只只

39、要要将将A，B，Q和和R分分别别改改为为 A(t)，B(t)，Q(t)和和 R(t)，边边 界界 条条 件件 由由 P(tf)=0改改 为为P(tf)=S即可。即可。2022/10/15386.3 无限时间的状态调节器问题无限时间的状态调节器问题 在在6.2节节讨讨论论的的状状态态调调节节器器问问题题中中，所所得得到到最最优优调调节节作作用用是是状状态态变变量量的的线线性性函函数数，可可以以实实现现状状态态反反馈馈的的闭环控制。但是，其闭环控制。但是，其反馈增益矩阵反馈增益矩阵反馈增益矩阵反馈增益矩阵 却却是是时时变变的的。这这在在工工程程实实现现上上是是极极不不方方便便的的。如如果果我我们们

40、能能够够得得到到定定常常的的反反馈馈增增益益矩矩阵阵，那那将将给给工工程程实实现现带带来来极极大大的的方方便便。从从下下面面的的讨讨论论中中将将会会看看到到，当当线线性性定定常常系系统统是是完完全全可可控控的的，并并且且终终端端时时刻刻tf趋趋于于无无限限时时，就就可可得得到到非非时时变变的的状状态态调调节节器器，即即这这时时的的反反馈增益矩阵是一个馈增益矩阵是一个定常定常矩阵。矩阵。2022/10/1539 问题6.3.1 给给定定完完完完全全全全可可可可控控控控线线性性定定常常系系统统的的状状态态方方程程和和初初始条件始条件 以及性能指标以及性能指标 其其中中Q和和R都都是是定定定定常常常

41、常对对对对称称称称正正正正定定定定矩矩矩矩阵阵阵阵。假假定定U(t)不不受受约约束束，要要求求确确定定最最优优调调节节作作用用U*(t)，使使性性能能指指标标（6.3.2）达达到到最最小小值值。该该问问题题与与上上一一节节所所讨讨论论的的问问题题相相类类似似，也也是是一一种种状状态态调调节节器器问问题题，但但是是，由由于于终终端端时时刻刻 t tf f 为为为为无无无无限限限限值值值值，故故称称为为无无无无限限限限时时时时间间间间的的的的状状状状态态态态调调调调节节节节器器器器问问问问题题题题，有有时时也也称称为为非非非非时时时时变变变变的的的的状状状状态态态态调调调调节节节节器问题器问题器问

42、题器问题。（6.3.1）（6.3.2）2022/10/1540 对对于于无无无无限限限限时时时时间间间间的的的的状状状状态态态态调调调调节节节节器器器器问问问问题题题题，可可以以将将它它看看成成是是在在上上一一节节所所讨讨论论的的有有限限时时间间的的状状态态调调节节器器问问题题中中，令令tf时时的的极极限限情况来处理。即情况来处理。即 由由上上节节定定理理6.2.1可可知知，对对于于给给定定的的系系统统（6.3.1），使使性性能能指指标标 达到最小值的最优调节作用为达到最小值的最优调节作用为 2022/10/1541 其中其中P(t)是下列矩阵黎卡提微分方程是下列矩阵黎卡提微分方程 满足边界条

43、件满足边界条件 的正定对称解。的正定对称解。可可 以以 证证 明明，正正 定定 对对 称称 矩矩 阵阵 P(t)的的 每每 个个 元元 素素 pij(t)(i，j=1,2,3,n)随随时时间间变变化化的的情情况况如如图图64所所示示。由由图图可可见见，当当tf很很大大时时，随随着着t的的减减小小pij(t)将将达达到到稳稳定定值值 ，并并且且随随着着tf的的增增加加，此此稳稳态态值值的的时时间间区区间间将将加加宽宽。当当tf时时，此此稳稳态态值值的的时时间间区区间间也也将将趋趋于于无无穷穷大大。所所以以当当给给定定的的系系统统（6.4.1）完完全可控全可控时时 而而 图图6-42022/10/

44、1542 于于是是，当当tf时时，矩矩阵阵黎黎卡卡提提微微分分方方程程就就转转化化为为如如下下矩矩阵阵黎卡提黎卡提（RiccatiRiccati）代数方程代数方程：由于性能指标（由于性能指标（6.3.2）可表示为）可表示为 所所以以系系统统（6.3.1）在在性性能能指指标标为为（6.3.2）时时的的最最优优调调节节作作用为用为 2022/10/1543*定理定理定理定理6.3.1*6.3.1*给定线性定常系统的状态方程和初始条件给定线性定常系统的状态方程和初始条件 其其中中A，B为为定定常常矩矩阵阵，系系统统（A，B）是是完完全全可可控控的的，控控制函数制函数U(t)不受约束。性能指标为不受约

45、束。性能指标为 其其中中Q，R是是定定常常对对称称正正定定矩矩阵阵，则则使使性性能能指指标标J达达到到最最小小值的最优调节作用为值的最优调节作用为 其中其中 是矩阵黎卡提代数方程是矩阵黎卡提代数方程 的唯一正定对称解。而状态最优轨线的唯一正定对称解。而状态最优轨线X*(t)是状态方程是状态方程 2022/10/1544 满足初始条件满足初始条件 的解。性能指标的最小值为的解。性能指标的最小值为 最优调节系统的方框图如图最优调节系统的方框图如图65所示。所示。图图6-52022/10/1545说明说明：对对于于无无无无限限限限时时时时间间间间状状状状态态态态调调调调节节节节器器器器，终终终终端端

46、端端状状状状态态态态必必必必须须须须为为为为零零零零，即即X()=0。不不然然，性性能能指指标标值值将将为为无无穷穷大大，问问题题将将无无解解。由由于于X()=0，所以在性能指标中设置终端代价是多余的。所以在性能指标中设置终端代价是多余的。定理定理定理定理6.3.26.3.2 定理定理6.3.1中的闭环最优调节系统中的闭环最优调节系统 是渐进稳定的。是渐进稳定的。证明证明：利用反证法来证明该定理。为此令利用反证法来证明该定理。为此令 假假设设系系统统（6.3.3）不不是是渐渐进进稳稳定定的的，则则A1必必具具有有非非负负实实部部的的特特征征根根。于于是是，当当tf时时，状状态态变变量量X(t)

47、不不会会趋趋于于零零，即即（6.3.3）2022/10/1546 由由于于Q和和R都都是是正正定定矩矩阵阵，故故当当tf时时，性性能能指指标标的最优值的最优值J*X(t0)，t0将趋于无穷大，即将趋于无穷大，即这与性能指标的最优值这与性能指标的最优值 为有限值相矛盾，所以系统（为有限值相矛盾，所以系统（6.3.3）是渐进稳定的。）是渐进稳定的。2022/10/1547定常矩阵定常矩阵 的计算方法的计算方法v直接直接求解黎卡提代数方程求解黎卡提代数方程求解黎卡提代数方程求解黎卡提代数方程v首先首先求解黎卡提微分方程求解黎卡提微分方程求解黎卡提微分方程求解黎卡提微分方程 得到其解为得到其解为 然后

48、令然后令tf，t=0或者或者tf=0，t=，则可得到则可得到 。2022/10/1548 例例例例6.3.16.3.1 二阶可控系统的状态方程：二阶可控系统的状态方程：最优控制最优控制u*(t)应使性能指标应使性能指标 取取极极小小值值。试试求求出出最最优优控控制制u*(t)，并并绘绘出出最最优优反反馈馈系系统统的的结结构图。构图。解解：已知：已知2022/10/1549 故最优控制为故最优控制为 其中，其中，P满足代数满足代数Riccati方程方程 经整理，并注意到经整理，并注意到p12=p21，得得2022/10/1550 由此得由此得 所以，最优控制为：所以，最优控制为：系统的最优反馈结

49、构图如图系统的最优反馈结构图如图66所示。所示。2022/10/1551图图6-62022/10/15526.4 输出调节器问题输出调节器问题 问问题题6.4.1 给给定定完完全全可可观观测测的的线线性性定定常常系系统统的的状状态态方方程程和和输出方程输出方程 以及性能指标以及性能指标 其其中中，Q是是定定常常半半正正定定对对称称矩矩阵阵，R是是定定常常正正定定对对称称矩矩阵阵，tf是是有有限限的的终终端端时时刻刻，控控控控制制制制函函函函数数数数U U(t t)不不不不受受受受约约约约束束束束。要要求求确确定定最最优优调调节节作作用用U*(t),使使性性能能指指标标（6.4.3）达达到到最最

50、小小值值。这这类类最最优优控控制制问问题题，称称为为输输出出调调节节器器问问题题。其其实实质质是是用用不不大大的的控控制制能能量量，使输出变量使输出变量Y(t)保持在零值附近。保持在零值附近。（6.4.1）（6.4.2）（6.4.3）2022/10/1553 考虑到输出方程（考虑到输出方程（6.4.2），式（），式（6.4.3）可写为）可写为 于于是是，加加加加权权权权矩矩矩矩阵阵阵阵为为为为Q Q的的的的有有有有限限限限时时时时间间间间的的的的输输输输出出出出调调调调节节节节器器器器问问问问题题题题就就就就转转转转化化化化为为为为加加加加权权权权矩矩矩矩阵阵阵阵为为为为Q Q 的的的的有有有