微积分基础知识讲稿.ppt

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1、关于微积分基础知识第一页，讲稿共五十二页哦2参参 考考 书书 目目微积分学习指导微积分学习指导高等数学高等数学同济大学数学系同济大学数学系 编（高等教育出版社）编（高等教育出版社）第二页，讲稿共五十二页哦31.基础基础:函数函数,极限极限,连续连续 2.微积分学微积分学:一元微积分一元微积分(上册上册)(下册下册)3.向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何4.无穷级数无穷级数5.常微分方程常微分方程主要内容主要内容多元微积分多元微积分第三页，讲稿共五十二页哦4 高等数学研究的主要对象是高等数学研究的主要对象是函数函数，主要研究函数的，主要研究函数的分析性质分析性质（连（连续、可导、可积等

2、）和续、可导、可积等）和分析运算分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法极限方法，也，也称为称为无穷小分析法无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。学的一个显著标志。由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：概念更复杂概念更复杂理论性更强理论性更强表达

3、形式更加抽象表达形式更加抽象推理更加严谨推理更加严谨第四页，讲稿共五十二页哦5 因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。象思维和逻辑推理的能力。学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅

4、是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。好了数学。第五页，讲稿共五十二页哦6极限方法极限方法1 1）计算圆的周长计算圆的周长圆内接正圆内接正n 边形边形Or)第六页，讲稿共五十二页哦72 2）切线的斜率）切线的斜率第七页，讲稿共五十二页哦8abxyo3)3)计算曲边梯形面积计算曲边梯形面积曲边梯形面积为曲边梯形面积为第八页，讲稿共五十二页哦94)4)无

5、穷级数无穷级数第九页，讲稿共五十二页哦10一、基本概念一、基本概念1.1.集合集合:具有某种特定性质的对象的具有某种特定性质的对象的全体全体.组成集合的事物称为该集合的组成集合的事物称为该集合的元素元素.P（x）表示元素具有性质）表示元素具有性质 第第0 0章章 基本知识基本知识第十页，讲稿共五十二页哦112.2.邻域邻域:第十一页，讲稿共五十二页哦121.定义定义 设设x和和y是两个变量，是两个变量，D是一个给定的数集，是一个给定的数集，若对于若对于x D，变量变量y按照确定的法则总有按照确定的法则总有 确定的数值和它对应，则称确定的数值和它对应，则称y是是x的函数的函数记作记作自变量自变量

6、因变量因变量二、函数二、函数第十二页，讲稿共五十二页哦13函数的两要素函数的两要素:定义域定义域与与对应法则对应法则.自变量自变量对应法则对应法则f因变量因变量约定约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值切实数值.第十三页，讲稿共五十二页哦14 (1)符号函数符号函数几个特殊的函数举例几个特殊的函数举例1-1xyo第十四页，讲稿共五十二页哦15(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线第十五页，讲稿共五十二页哦16有理数

7、点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函数狄利克雷函数第十六页，讲稿共五十二页哦17(4)取最值函数取最值函数yxoyxo 在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中,对应法则对应法则用不同的式子来表示的函数用不同的式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数.第十七页，讲稿共五十二页哦18三三.函数的几种特性函数的几种特性设函数设函数 (1)有界性有界性使使称 A为上界，为上界，B为下界。为下界。(2)单调性单调性为为有界函数有界函数.当当 时时,称称 为为 I 上的上的单调增函数单调增函数;称称 为 I 上的单调减函数单调减函数.第十八页，讲稿共五十二页哦19(3)奇偶性奇偶

8、性且有且有若若则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若则称则称 f(x)为为奇函数奇函数.说明说明:若若在在 x=0 有定义有定义,为奇函数时为奇函数时,则当则当必有必有例如例如,偶函数偶函数双曲余弦双曲余弦 记记第十九页，讲稿共五十二页哦20例例1 1 判断函数判断函数 的奇偶性的奇偶性.解：解：f(x)是奇函数是奇函数.例例2 2 设设f(x)在在R R上定义，证明上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。数的和。证明：设证明：设显然显然 g g(x x)是偶函数，是偶函数，h h(x x)是奇函数是奇函数,而而 故命题的证故命题的证.第二十页，讲

9、稿共五十二页哦21(4)周期性周期性且且则称则称为为周期函数周期函数,若若称称 l 为为周期周期(一般指最小正周期一般指最小正周期).周期为周期为 周期为周期为注注:周期函数不一定存在最小正周期周期函数不一定存在最小正周期.例如例如,常量函数常量函数狄里克雷函数狄里克雷函数x 为有理数为有理数x 为无理数为无理数第二十一页，讲稿共五十二页哦四四.反函数反函数若函数若函数为单射为单射,则存在逆映射则存在逆映射称此映射称此映射为为 f 的的反函数反函数.DWDW22第二十二页，讲稿共五十二页哦23习惯上习惯上,的反函数记成的反函数记成图形关于直线图形关于直线对称对称.单调性一致单调性一致第二十三页

10、，讲稿共五十二页哦24例如例如,对数函数对数函数互为反函数互为反函数,它们都单调递增它们都单调递增,其图形关于直线其图形关于直线对称对称.指数函数指数函数第二十四页，讲稿共五十二页哦25例例1 1 证明若函数证明若函数 y=y=f f(x)(x)是奇函数且存在反函数是奇函数且存在反函数 x=x=f f 1 1(y),(y),则反函数也是奇函数则反函数也是奇函数。证明：证明：反函数是奇函数。反函数是奇函数。例例2 2解解:当当x x 0 0时时,y,y 1,1,当当xx0 0时时,y1,x=y-1,y N2 时时,有有收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当使当 n N1 时时,假设假设从而从

11、而矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时时,故假设不真故假设不真!满足的不等式满足的不等式第四十六页，讲稿共五十二页哦47两边夹准则两边夹准则证证:由条件由条件(2),当当时时,当当时时,令令则当则当时时,有有由条件由条件(1)即即故故 第四十七页，讲稿共五十二页哦48第四十八页，讲稿共五十二页哦49例例.证明数列证明数列是发散的是发散的.证证:用反证法用反证法.假设数列假设数列收敛收敛,则有唯一极限则有唯一极限 a 存在存在.取取则存在则存在 N,但因但因交替取值交替取值 1 与与1,内内,而此二数不可能同时落在而此二数不可能同时落在长度为长度为 1

12、 的开区间的开区间 使当使当 n N 时时,有有因此该数列发散因此该数列发散.第四十九页，讲稿共五十二页哦50例例(P10)(P10)证明证明 若若X2k-1a,Xa,X2k2ka(k),a(k),则则数列数列Xn收敛于收敛于a。证：对任证：对任0,0,K1,当当kK1 时时X2k 落在落在a-,a+,a+即即满足满足|2k2k-a|-a|(1)(1)K2当当kK2时时X2k-1 落在落在a-,a+,a+即即满足满足|2k-12k-1-a|-a|(2)(2)取取N=max2KN=max2K1 1,2K,2K2 2-1,-1,当当nN,必有必有XnXn落在落在a-,a+,a+即即满足满足|n n-a|-a|第五十页，讲稿共五十二页哦51例例解解由夹逼定理得由夹逼定理得第五十一页，讲稿共五十二页哦感感谢谢大大家家观观看看第五十二页，讲稿共五十二页哦